第14讲圆内接四边形与正多边形(原卷版+解析)

第14讲圆内接四边形与正多边形1．掌握圆内接四边形的概念和定理；2．掌握圆与正多边形的关系；知识点、圆内接四边形1．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。知识点、正多边形与圆（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积考点一：已知圆内接四边形求角度例1．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，线段是的直径，、为上两点，如果，那么的度数是（

）

A． B． C． D．2．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．

3．如图，四边形是的内接四边形，点C是弧的中点，连接，若，求的度数．考点二：求四边形外接圆的直径例2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4【变式训练】1．如图，已知的半径为，内接于，，则（

）A． B． C． D．2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°.求⊙O半径的长.考点三：求正多边形的中心角例3．正八边形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【变式训练】1．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（）A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形2．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则___________．

3．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____考点四：已知正多边形的中心角求边数例4．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【变式训练】1．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．482．圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______3．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．考点五：正多边形和圆的相关概念例5．如图，正五边形内接于，连接，则（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（

）

A． B． C． D．S2．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．

3．如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．

1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（

）A．90° B．100° C．110° D．120°5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．39．（2022·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（

）A．2mm B． C． D．4mm10．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．11．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．12．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为_____．13．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．14．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．15．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可）16．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点是正方形，的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．17．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）1．为的内接三角形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．或2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（

）A． B． C． D．4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．105．如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点，连接，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．7．如图，四边形内接于，如果，则的度数是（

）

A． B． C． D．8．如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，四边形内接于，，则的度数为______．10．若四边形是圆内接四边形，若它的内角，则_________．11．如图，是内接四边形的一个外角，若，则的大小为__________．

12．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是________度．（写出一个即可）

13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则______．

14．如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形，将前下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，为的中点，连接．

（1）图1中的正方形纸片边长为______；（2）将正方形绕点顺时针旋转______度，与重合，此时长为______．15．如图，正六边形内接于，求的度数．16．如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．17．如图，四边形是的内接四边形．平分，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．18．如图，四边形ABDC是的内接四边形，AD是对角线，过点A作交DB的延长线于点E，．(1)求证：；(2)连接BC，若BC为的直径，求证：．19．如图，点、、、都在上，，．(1)求的度数；(2)求的度数；20．已知在中，，点平分平分，过点的⊙分别交于点．

(1)求的度数；(2)连接，求证：是等边三角形；(3)若，则⊙的半径______________．

第14讲圆内接四边形与正多边形1．掌握圆内接四边形的概念和定理；2．掌握圆与正多边形的关系；知识点、圆内接四边形1．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。知识点、正多边形与圆（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积考点一：已知圆内接四边形求角度例1．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质得到，得到，由是的直径，得到，再根据求出的度数．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，正确理解圆内接四边形的性质求出是解题的关键．【变式训练】1．如图，线段是的直径，、为上两点，如果，那么的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，连接，由线段是的直径，，证明，，结合四边形为的内接四边形，的．【详解】解：如图，连接，

∵线段是的直径，，∴，，∵四边形为的内接四边形，∴；故选A【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键．2．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．

【答案】/130度【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算，利用圆内接四边形的性质求得的度数．【详解】解：为的直径四边形内接于故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3．如图，四边形是的内接四边形，点C是弧的中点，连接，若，求的度数．【答案】【分析】解：根据圆内角四边形的性质以及圆周角定理求解即可．【详解】解：∵点C是弧的中点，∴∴∴∴【点睛】此题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点二：求四边形外接圆的直径例2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．【变式训练】1．如图，已知的半径为，内接于，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=，故答案为：C．【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．【答案】【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．则，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圆的面积为．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°.求⊙O半径的长.【答案】.【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【详解】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ADB=45°，∴∠ACB=∠ADB=45°，∴BC=AB=2，∴AC=，∴⊙O半径的长为：.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考点三：求正多边形的中心角例3．正八边形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【答案】B【分析】直接用360度除以边数即可得到答案．【详解】解：，∴正八边形的中心角等于45度，故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正n边形的中心角度数为是解题的关键．【变式训练】1．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（）A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形【答案】A【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意得解得，，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．2．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则___________．

【答案】/48度【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．【详解】解：连接,

∵点O是正六边形的中心，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．3．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．【详解】（1）如图，连接OB、OC，则，是内接正三角形，中心角，∵点O是内接正三角形ABC的内心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）如图1，连接OB、OC，四边形ABCD是内接正方形，中心角，同（1）的方法可证：；如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是内接正五边形，中心角，同（1）的方法可证：，故答案为：，；（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，的度数与正方形边数的关系是，的度数与正五边形边数的关系是，归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键．考点四：已知正多边形的中心角求边数例4．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．【变式训练】1．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．2．圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______【答案】5【分析】根据正多边形的中心角计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角．3．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6【分析】类比探究：通过证明可得，则．拓展应用：通过证明可得，则．【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．考点五：正多边形和圆的相关概念例5．如图，正五边形内接于，连接，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵，∴，故选D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．【变式训练】1．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（

）

A． B． C． D．S【答案】C【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．【详解】解：如图所示：

将正六边形可分为6个全等的三角形，∵拼成的四边形的面积为S，∴每一个三角形的面积为，∵剩余部分可分割为4个三角形，∴剩余部分的面积为．故选C．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．2．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．

【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角，∴，∴，∴共需要正五边形的个数（个），故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．3．如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．

【答案】【分析】连接，，根据正方形的性质得到，，利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接，，∵四边形是正方形，∴，，∵正方形边长为a，∴，∴，即半径长为．

【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故选：B.【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．【详解】∵四边形内接于，∴，由圆周角定理得，，∵∴故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．【详解】解：是等边三角形，，，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（

）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．【详解】∵为⊙的直径，∴，又∵，∴，又∵四边形内接于⊙，∴，∴，故答案选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正确；∵点是上一动点，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°，∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正确；如图，延长DA至点E，使AE=DC，∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．6．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可．【详解】解：正六边形的中心角的度数为：，∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合，∴旋转角的大小不可能是；故选B．【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键．7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，∴∠COD==60°，则∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故选：D．【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．8．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3【答案】C【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，∴∴R=3连接OC和OD，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=，∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故选C【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．9．（2022·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（

）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．【详解】连接CF与AD交于点O，∵为正六边形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形的边长为4mm，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．10．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．【答案】40°/40度【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．12．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为_____．【答案】/144度【分析】先求解再利用圆的内接四边形的性质求解再利用圆周角定理可得的大小.【详解】解：∠DCE＝72°，四边形ABCD是⊙O内接四边形，故答案为：【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键.13．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．【答案】80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出即可．【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴．故答案为．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．14．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．【答案】30【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE，交CF与点O，连接OA，在正六边形中，，，故答案为：30．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．15．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可）【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角，，角可以为或或或或，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．16．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点是正方形，的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解．【详解】如图所示，点即为所求．连接由得：是正方形中心，在和中，．【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．17．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．【详解】证明：（1），，，，又,四边形是平行四边形．（2）如图，连接，四边形是的内接四边形【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．1．为的内接三角形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得的度数．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴．∴的度数是或．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．3．如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解．【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接，则，四边形是的内接四边形，，，，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角．4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论．【详解】解：连接，，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，∵，∴，∴这个正多边形的边数，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．5．如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所多对的圆周角是圆心角一半定理即可．【详解】如图，连接，，

∵六边形是圆内接正六边形，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．6．如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点，连接，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，证明，可得，由四边形为圆的内接四边形，可得，，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，∵为直径，∴，

∵，∴，∵四边形为圆的内接四边形，∴，∵，∴，∴；故选B【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．7．如图，四边形内接于，如果，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵四边形内接于，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∴，∴弧所对的圆心角的度数为．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．9．如图，四边形内接于，，则的度数为______．【答案】/度【分析】根据圆内接四边形的对角互补求解即可．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形，熟知圆内接四边形的对角互补是解答的关键．10．若四边形是圆内接四边形，若它的内角，则_________．【答案】/72度【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由，即可求解．【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形对角互补的性质列方程．11．如图，是内接四边形的一个外角，若，则的大小为__________．

【答案】/72度【分析】根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵是内接四边形的一个外角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键．12．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是________度．（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【详解】解：，则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则______．

【答案】【分析】连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接，，

∵多边形是正五边形，∴，∴，∴的度数为．故答案为：．【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理等知识．解题的关键是掌握中心角和圆周角定理．14．如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形，将前下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，为的中点，连接．

（1）图1中的正方形纸片边长为______；（2）将正方形绕点顺时针旋转______度，与重合，此时长为______．【答案】45【分析】（1）利用正方形的性质有勾股定理即可求解；（2）连接，，利用正多边形内角和定理可求得，推出四边形是菱形，再利用勾股