第14讲中心对称(人教版)(原卷版+解析)

第14讲中心对称【人教版】·模块一中心对称·模块二中心对称图形·模块三关于原点对称的点的坐标·模块四课后作业模块一模块一中心对称1.中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。【考点1中心对称的概念及性质】【例1.1】如图，△ABC与△A

A．OB=OB' B．∠ACB=∠A'B'C' 【例1.2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BBA．4 B．33 C．233【例1.3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4【变式1.1】如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为________．【变式1.2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′【考点2中心对称作图】【例2.1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，以点O为对称中心，画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B【例2.2】如图所示．(1)请你在图中画出△A′B(2)请你在图中△ABC的边上找一个点作出△DEF，使其与△ABC关于点成中心对称，使△DEF与△ABC合成的图形为平行四边形．【变式2.1】已知四边形ABCD按要求画出图形．(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形；(2)在图②中，画出以四边形ABCD外一点O为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形．模块二模块二中心对称图形中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。【考点1中心对称图形的概念】【例1.1】下列图形：①平行四边形；②线段；③等边三角形；④直角三角形，是中心对称图形的有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【例1.2】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1.1】下列新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1.2】如图，O是▱ABCD的对称中心．这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形．【考点2作中心对称图形】【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．【变式2.1】如图，6×6的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接AB，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．

(1)在图1中画出四边形ACBD，使其为中心对称图形．(2)在图2中画出线段EF，使得EF⊥AB，且EF=2AB．【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．【考点3中心对称图形的性质】【例3.1】如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线的交点，AB=7，过点O的直线分别交AB和CD于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点A'处，点D落在点D'处，若AF=3，则DE的长为（

）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【例3.2】如图所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，【变式3.1】如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB，G、H是BC边上的点，且3GH=BC，若S1,S2分别表示△EOF和△GOHA．S1S2=23 B．S【变式3.2】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3,AC=2,∠CAB=90°，则AE的长是________．模块三模块三关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【考点1关于原点对称的点的坐标】【例1.1】在平面直角坐标系中，点M与点N−1,2关于原点对称，则点M的坐标是（

A．−1,−2 B．1,2 C．1,−2 D．−1,2【例1.2】在平面直角坐标系中，有A(5，−3)，B0，4，C−4，0A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A【例1.3】已知点A3a−9,2−a关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″【变式1.1】点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴距离是5，到y轴距离是2，则点M关于原点的对称点M′的坐标是（

A．2,5 B．−2,5 C．5,−2 D．−【变式1.2】点P（3，-4）与点Q（-3，4）关于________对称.【变式1.3】把点Pm+3，n−5先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到点N，若点N关于原点的对称点M的坐标为−3，−6，则m+n=_________【考点2作已知图形关于原点对称的图形】【例2.1】如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为O0,0，A−2，3，

(1)请在图中作出与△AOB关于原点O对称的图形△A(2)点A′的坐标是________；点B【例2.2】如图，正三角形ABC在第一象限内．

(1)作出△ABC关于x轴为对称轴的对称图形△A(2)作出△ABC关于原点O为对称中心的对称图形△A(3)△A1B【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若(2)若△A2B2C(3)△ABC的面积为______；(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A模块四模块四课后作业1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（

）A．点G B．点H C．点I D．点J3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（

）A．8 B．10 C．15 D．304．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A．① B．② C．③ D．④5．在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有________个．6．若点P2m−3n,2、Q−3,n−m关于原点对称，则7．若点A1,m与点B8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A3,39．已知点Pa+1，−10．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是_____________，进行了轴对称变换的是___________．（填序号）11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2，(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若(2)若△A2B2C2和(3)△ABC的面积为_______________；(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3第14讲中心对称【人教版】·模块一中心对称·模块二中心对称图形·模块三关于原点对称的点的坐标·模块四课后作业模块一模块一中心对称1.中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。【考点1中心对称的概念及性质】【例1.1】如图，△ABC与△A

A．OB=OB' B．∠ACB=∠A'B'C' 【答案】B【详解】根据中心对称的性质解决问题即可．解：∵△ABC与△A'B∴OB=OB'，∠ACB=∠A'B'C故A，C，D正确，故选：B．【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．【例1.2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BBA．4 B．33 C．233【答案】A【分析】在直角△ABC中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1∴AB=2AC=2，∴BB故选：A．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．【例1.3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4【答案】12【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，OB=4∴AB=3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【变式1.1】如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为________．【答案】40°【分析】根据线段AB和CD关于点O成中心对称，可以证明△ABO≌△CDO，则∠B=∠D，从而可以得到答案．【详解】解：∵线段AB和CD关于点O成中心对称，∠B=40∵AO=CO，BO=DO，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴∠B=∠D，∴∠D的度数为40∘故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【变式1.2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′【答案】3【分析】利用中心对称的性质解决问题即可．【详解】解：∵△ABC与△A′B∴△ABC≌△A∴点A与点A′是对称点，BO=B′O，故①②③正确，④不正确，故答案为：3．【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质．【考点2中心对称作图】【例2.1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，以点O为对称中心，画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B【答案】见解析【分析】根据画中心对称图形的方法画图即可．【详解】解：如图所示，△A．【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，熟知画中心对称图形的方法是解题的关键．【例2.2】如图所示．(1)请你在图中画出△A′B(2)请你在图中△ABC的边上找一个点作出△DEF，使其与△ABC关于点成中心对称，使△DEF与△ABC合成的图形为平行四边形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】（1）将三角形三个顶点分别中心对称后，直接连线即可；（2）取格点F，作平行四边形ABCF，可知M是对角线AC中点，则M即所求点；或取格点D，作平行四边形ABDC，可知M是对角线BC中点，则M即所求点．【详解】（1）解：如图所示，△A（2）解：如图所示，取格点F，使得四边形ABCF是平行四边形，连接FA,FB由图可知，四边形ABCF即为所求平行四边形，则M是对角线AC中点，对角线交点M即为所求点．或取格点D，使得四边形ABDC是平行四边形，连接DC,DB，由图可知，四边形ABDC即为所求平行四边形，则M是对角线BC中点，对角线交点M即为所求点．【点睛】此题考查中心对称，解题关键是图形的中心对称可转化为点的中心对称．【变式2.1】已知四边形ABCD按要求画出图形．(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形；(2)在图②中，画出以四边形ABCD外一点O为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C对应点位置进而得出答案．（2）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C，D对应点位置进而得出答案．【详解】（1）解：如图，四边形A′（2）如图，四边形A′【点睛】此题主要考查了旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．模块二模块二中心对称图形中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。【考点1中心对称图形的概念】【例1.1】下列图形：①平行四边形；②线段；③等边三角形；④直角三角形，是中心对称图形的有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形求解即可．【详解】解：中心对称图形有：平行四边形、线段，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【例1.2】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据中心对称图形是绕着一点旋转180°后可以完全重合的图形和轴对称图形是沿着一条直线折叠后可以完全重合的图形即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B项不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形是绕着一点旋转180°后可以完全重合的两个图形，轴对称图形是沿着一条直线折叠后可以完全重合的图形，熟记中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键．【变式1.1】下列新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据中心对称的定义：将图形绕一点旋转180°与原图形完全重合的图形叫中心对称图形，直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，A选项不是中心对称图形，不符合题意；B选项不是中心对称图形，不符合题意；C选项是中心对称图形，符合题意；D选项不是中心对称图形，不符合题意；故选C；【点睛】本题考查中心对称的定义：将图形绕一点旋转180°与原图形完全重合的图形叫中心对称图形．【变式1.2】如图，O是▱ABCD的对称中心．这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形．【答案】不是，作图见解析．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断，然后根据中心对称图形的概念作图即可．【详解】解：这个图形不是中心对称图形，根据一个图形绕着某一点旋转180°后，不能够与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形，如图：【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是熟记相关概念．【考点2作中心对称图形】【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD即为所求；②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCD即为所求；③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCD即为所求；④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCD即为所求．

【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°能够和原图形重合．【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．【答案】见解析【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：如图所示，一共有三种情况：【点睛】此题考查了画中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【变式2.1】如图，6×6的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接AB，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．

(1)在图1中画出四边形ACBD，使其为中心对称图形．(2)在图2中画出线段EF，使得EF⊥AB，且EF=2AB．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解即可；（2）根据题意和表格的特点求解即可．【详解】（1）如图所示，四边形ACBD即为所求作四边形．

（2）如图所示，EF即为所求．

【点睛】本题考查作图-中心对称，垂直等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可求解．（2）根据中心对称的性质画出图象即可求解．【详解】（1）解：如图所示，答案不唯一，画出一种即可．（2）如图所示，答案不唯一，画出一种即可．【点睛】本题考查了图案设计，轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的性质是解题的关键．【考点3中心对称图形的性质】【例3.1】如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线的交点，AB=7，过点O的直线分别交AB和CD于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点A'处，点D落在点D'处，若AF=3，则DE的长为（

）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【答案】C【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则AF=EC，再根据平行线四边形的性质，可知CD=AB=7，继而即可求得DE【详解】∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意，则则点E和点F关于O中心对称∴AF=EC=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7，DE=DC−EC=7−3=4，故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称图形的性质，理解中心对称图形的性质是解题的关键．中心对称图形性质：①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分②成中心对称的两个图形全等．【例3.2】如图所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，【答案】12【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得到A,O,C共线与B,O,D共线，再利用30°与直角三角形的性质得到BD=OA=OC=12,证明PQ=OA=12,作DK∥AC，使得DK=PQ=12，连接BK交AC于Q，则四边形DPQK为平行四边形，得到DP+BQ=KQ+BQ=BK的值最小，再证明△BDK是等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，∵△AOD和△COB关于点O中心对称，∴OD=OB,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOD=60°，∴∠DAO=30°,∴OD=1同理：OB=1∴BD=OD+OB=1∵AP=OQ∴AP+PO=PO+OQ,∴PQ=OA=12，作DK∥AC，使得DK=PQ=12，连接BK交AC于Q，则四边形DPQK为平行四边形，∴DP=QK,此时DP+BQ=KQ+BQ=BK的值最小，∵DK//∴∠KDB=∠AOD=60°,∵DK=BD=12,∴△BDK是等边三角形，∴BK=BD=12,

∴DP+BQ的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3.1】如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB，G、H是BC边上的点，且3GH=BC，若S1,S2分别表示△EOF和△GOHA．S1S2=23 B．S【答案】B【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB=S△BOC=14S平行四边形ABCD=s∵EF=12AB，3GH=BC∴S1=12s，S2=13∴S1故选：B．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．【变式3.2】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3,AC=2,∠CAB=90°，则AE的长是________．【答案】5【分析】根据中心对称的性质以及勾股定理即可求解AE的长．【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称∴点A,C,D在同一直线上，∵∠CAB=90°∴∠D=90°∴AC=CD,AB=DE∵AB=3,AC=2∴AD=2AC=2×2=4∴AE=D故答案为：5．【点睛】本题主要考查中心对称的性质以及勾股定理，熟练掌握成中心对称的图形对应边相等，对应角相等的性质以及勾股定理是解决本题的关键．模块三模块三关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【考点1关于原点对称的点的坐标】【例1.1】在平面直角坐标系中，点M与点N−1,2关于原点对称，则点M的坐标是（

A．−1,−2 B．1,2 C．1,−2 D．−1,2【答案】C【分析】根据点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均互为相反数即可得．【详解】解：∵点M与点N−1,2∴点M的坐标是1,−2，故选：C．【点睛】本题考查了点坐标与原点对称，熟记点坐标关于原点对称的变换规律是解题关键．【例1.2】在平面直角坐标系中，有A(5，−3)，B0，4，C−4，0A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A【答案】D【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．【详解】解：A、点A(5，−3)与点BB、点B0，4与点CC、点C−4，0与点DD、点A(5，−3)与点D故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点Px,y关于原点O【例1.3】已知点A3a−9,2−a关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″【答案】2<a<3【分析】先根据对称性得出A″【详解】解：∵点A3a−9,2−a关于原点对称的点为A∴A′∵点A′关于x轴对称的点为A∴A″∵点A″∴9−3a>02−a<0解得：2<a<3．故答案为：2<a<3．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，关于x轴对称的点的特点，关于原点对称点的特点，解题的关键是列出关于a的不等式组9−3a>02−a<0【变式1.1】点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴距离是5，到y轴距离是2，则点M关于原点的对称点M′的坐标是（

A．2,5 B．−2,5 C．5,−2 D．−【答案】B【分析】可先根据题意得到点M的坐标；然后由“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”得到M′【详解】解：∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2，∵点M在第四象限，∴M坐标为2,−5．∴点M关于原点对称的M′的坐标是−2,5故选：B．【点睛】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．【变式1.2】点P（3，-4）与点Q（-3，4）关于________对称.【答案】原点；【分析】根据：如果两点关于y轴对称，则两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；如果两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.【详解】因为，点P（3，-4）与点Q（-3，4）两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.所以，两点关于原点对称.故答案为原点【点睛】本题考核知识点：点的坐标和中心对称.解题关键点：理解点的坐标和中心对称关系.【变式1.3】把点Pm+3，n−5先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到点N，若点N关于原点的对称点M的坐标为−3，−6，则m+n=_________【答案】5【分析】先根据平移方式求出Nm+5，n−1，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出m【详解】解：∵把点Pm+3，n−5先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到点N，∴N又∵N和M−3∴m+5=3，解得m=−2，∴m+n=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，关于原点对称的点的坐标特征，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．【考点2作已知图形关于原点对称的图形】【例2.1】如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为O0,0，A−2，3，

(1)请在图中作出与△AOB关于原点O对称的图形△A(2)点A′的坐标是________；点B【答案】(1)见解析(2)2,−3，4,−2【分析】（1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到△A（2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．【详解】（1）解：如图所示：△A

（2）解：∵A−2，3，B∴A′2,−3，故答案为：2,−3，4,−2．【点睛】本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．【例2.2】如图，正三角形ABC在第一象限内．

(1)作出△ABC关于x轴为对称轴的对称图形△A(2)作出△ABC关于原点O为对称中心的对称图形△A(3)△A1B【答案】(1)见解析(2)见解析(3)关于y轴对称【分析】（1）作A、B、C三点关于x轴的对应点，再顺次连接即可；（2）作A、B、C三点关于原点的对应点，再顺次连接即可；（3）由图易得，两个三角形关于y轴对称．【详解】（1）如图：

△A（2）如上图，△A（3）由图可知，△A1B1C【点睛】本题考查了作简单图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本做法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称；③按原图形中的方式顺次连接对称点．【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若(2)若△A2B2C(3)△ABC的面积为______；(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A【答案】(1)0,3(2)4,−2(3)7(4)见解析【分析】（1）由题意可知，△ABC是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A（2）根据中心对称的性质可得答案；（3）利用割补法求三角形的面积即可；（4）根据旋转的性质作图即可．【详解】（1）解：∵A−1,4，A∴△ABC是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A∵C−3,5，∴C1的坐标为故答案为：0,3；（2）解：∵△A2B2C2和∴B2的坐标为4,−2故答案为：4,−2；（3）解：△ABC的面积为3×3−1△ABC的面积为72故答案为：72（4）解：如图，△A【点睛】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、中心对称、三角形的面积，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键．模块四模块四课后作业1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、圆是中心对称图形，故本选项合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（

）A．点G B．点H C．点I D．点J【答案】C【分析】如图，连接BE，CF，根据交点的位置可得答案．【详解】解：如图，连接BE，CF，根据交点的位置可得：对称中心为I，故选C【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（

）A．8 B．10 C．15 D．30【答案】C【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，则阴影部分的面积为12故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．4．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】利用中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．5．在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有________个．【答案】3【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．【详解】在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的是圆、正六边形、正八边形，故答案为：3．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，即把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键．6．若点P2m−3n,2、Q−3,n−m关于原点对称，则【答案】4【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列出方程组，然后求出m、n的值，再相加计算即可得解．【详解】解：∵点P2m−3n,2、Q∴2m−3n=−解得：m=3n=1∴m+n=3+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关干原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．7．若点A1,m与点B【答案】−1【分析】由点A1,m与