2025-2026学年安徽省安庆市迎江区田家炳中学高二下册期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省安庆市迎江区田家炳中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.某班有4名男生和3名女生，现从中选出3人参加校运动会志愿者服务，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A.24种 B.30种 C.35种 D.40种2.已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若a2+a8=18，则S10=（）A.60 B.90 C.100 D.1803.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知多项式，则a2=（）A.15 B.20 C.60 D.805.若函数在定义域上为增函数，则实数a的范围为（）A.（0，1] B. C.[e,+∞） D.6.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（）A.360种 B.480种 C.540种 D.720种7.定义在R上的函数f（x）满足f′（x）-f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（）A.（-∞，1） B.（1，+∞） C.（-∞，0） D.（0，+∞）8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M．若，则E的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.关于二项式（2x-1）5的展开式，下列说法正确的有（）A.常数项为-1 B.含x3项的系数为-80

C.各项系数之和为1 D.二项式系数之和为1610.下列有关计数问题的结论中，正确的有（）A.将一个圆面等分成4个扇形区域，按顺时针依次记为A，B，C，D．用4种不同的颜色涂色，要求相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法有84种

B.用4种不同的颜色给正三棱柱ABC-DEF的6个顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点颜色不同，则不同的涂色方法有264种

C.将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，不同的放法有种

D.将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，允许有空盒，不同的放法有种11.设函数f（x）=2x3-3ax2+1，则（）A.当a＞1时，f（x）有三个零点

B.当a＜0时，x=0是f（x）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴

D.存在a,使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演.若甲不站在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有

种.13.设函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

.14.“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第

行中从左到右第12与第13个数的比为3：4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}和等比数列{bn}，满足a1=b1=1，a2=2b2，a3=2b3-1.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn.16.(本小题15分)

已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=5x-9.

（1）求实数a,b的值；

（2）求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD.

（1）求证：PA⊥BD；

（2）若PA⊥AB，且PA=AB=1，∠BAD=120°，求平面APD与平面CPD所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，同时F2也是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点.若点A是曲线E与C在第一象限的交点，且，点A的横坐标为.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求椭圆E的标准方程；

（3）设椭圆E的左、右顶点分别为A1、A2，过F1的直线l与椭圆E交于P、Q两点（P、Q不与A1、A2重合），记直线PA2、QA1的斜率分别为k1、k2，证明：为定值.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2+x+1（a∈R）.

（1）当时，求证：对于任意x＞0，函数f（x）的图象恒在g（x）图象的上方；

（2）设h（x）=f（x）-g（x），讨论h′（x）在（0，+∞）上的单调性；

（3）已知数列{an}满足，其前n项和为Sn，利用（2）中的结论，证明：对任意正整数n,都有：①；②Sn＞ln（n+1）.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】AD

12.【答案】24

13.【答案】

14.【答案】27

15.【答案】an=3n-2，

16.【答案】a=-8，b=1

最大值为3-8ln2，最小值为-4

17.【答案】证明：连接AC交BD于O，连接PO，

由ABCD为菱形，得BD⊥AC，

由PB=PD，得BD⊥PO，又因为AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，又因为PA⊂平面PAC，故PA⊥BD

18.【答案】y2=4x

设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：x=my-1，

联立，得（8m2+9）y2-16my-64=0，

Δ=256m2+256（8m2+9）＞0，

，，

因为A1（-3，0），A2（3，0），所以，

所以．

由，，得my1y2=-4（y1+y2），

所以为定值

19.【答案】f（x）=ex，g（x）=ax2+x+1（a∈R），

当a=时，令h（x）=f（x）-g（x）=ex-x2-x-1（x＞0），

则h′（x）=ex-x-1，，令m（x）=h′（x），则m′（x）=ex-1＞e0-1=0，

所以m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）=e0-0-1=0，

所以h（x）在（0，+∞）单调递增，则h（x）＞h（0）=e0-0-0-1=0，即f（x）＞g（x）．

故对于任意x＞0，函数f（x）的图象恒在g（x）图象的上方

当a≤时，h′（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞时，h′（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，+∞）单调递增

由（2）知，当a=0时，h′（x）在（0，+∞）单调递增，

所以h′（x）＞h′（0）=0得h（x）在（0，+∞）单调递增，

所以h（x）