2025-2026学年北京市第三十一中学高一下册期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市第三十一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设向量，，若，则x=（）A.2 B.1 C.-1 D.03.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A′B′C′D′，其中A′B′∥D′C′，，A′B′=3，，则四边形ABCD的周长为（）A.

B.

C.

D.4.已知向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c+acosB=bcosA，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知5-2i是关于x的方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，则m=（）A.10 B.-10 C.5 D.-57.已知m,n,l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m∥n,n⊂α，则m∥α

B.若α⊥β，α∩β=l,m⊥l,则m⊥α

C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ

D.若α⊥β，l⊥β，则l∥α8.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B，C，D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数，则下列选项正确的是（）A.z的虚部为-i B.z2为纯虚数

C.|z|=2 D.在复平面内对应的点位于第二象限10.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，则

B.

C.若为单位向量，则

D.向量可以作为平面内的一个基底11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1中点，则下列说法正确的是（）A.直线B1D1与BE是异面直线

B.CD1∥平面A1BE

C.AC⊥BE

D.三棱锥B1-A1BE的体积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，，，若，则λ+μ=

.13.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1.则异面直线A1C，B1C1所成角的大小是

.

14.已知复数z满足|z+1|+|z-1|=2，则|z+3-4i|的最大值是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=（a2+a-2）+（a2-7a+6）i,其中a∈R.

（1）若z∈R，求a的值；

（2）若z是纯虚数，求a的值；

（3）若z对应的点在第一象限，求a的取值范围.16.(本小题15分)

已知向量=（1，2），=（2，-1），=（m,2），m∈R.

（1）当（+）⊥（λ-）时，求实数λ的值；

（2）当∥（+）时，求向量与的夹角的余弦值.17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1.

（1）若，求tanB；

（2）若b2+c2=8，求b,c.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点.

（1）证明：DF∥平面PBE；

（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面DFG∥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.(本小题17分)

如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1.

（1）证明：BD⊥PC；

（2）求点A到平面PBD的距离；

（3）F是棱PC的中点，证明：BF∥平面AEC.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】ABC

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】60°

14.【答案】

15.【答案】a=1或a=6；

a=-2；

（-∞，-2）∪（6，+∞）．

16.【答案】1；

．

17.【答案】解：（1）在△ABC中，因为D为BC中点，，AD=1，

则=，解得a=4，

在△ABD中，，

由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD•ADcos∠ADB，

即=7，解得，

则，=，

所以；

（2）在△ABD与△ACD中，

由余弦定理得，

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