电工电子技术课件 13网络的图网络矩阵与网络方程

第13章网络的图、网络矩阵、网络方程

本章主要内容：

1、网络的图电网络可以抽象成线图，进而借助图论知识研究电路根据网络的图，讨论如何列写独立的KCL、KVL方程。

2、网络矩阵图有三种矩阵表示法，则基氏方程相应有三种矩阵形式

3、网络方程网络方程的矩阵形式，便于理论推导和计算机辅助计算

13.1网络的图

图论：图的理论，一种数学工具，根据由“点”和“线”组成的“图”的性质，分析研究各种系统。1、网络的图网络的支路表示成“线段”→“线”、“支路”b网络的节点表示成“点”→“点”、“节点”n电路的图

13.1网络的图2、连通图：任意2个节点之间至少存在一条路径电路的图

电路的图连通图非连通图

非连通图：13.1网络的图3、有向图：标明支路方向的图（该方向为u、i参考方向）无向图：4、回路：闭合路径，其中除了起始点外，其它支路和节点均只许经过一次，方向用箭头表示有向图13.1网络的图5、树：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。

树上的支路称为树支，其余支路称为连支

将全部节点连通起来的最少支路集合13.1网络的图7、割集：将连通图分割成两个分离部分至少要拿掉的一组支路集合割集{3，4，5}

非割集{3，4，5，6}

割集的作法：作闭合面，将图一分为二，再确认基尔霍夫电流定律的推广：割集电流代数和为零13.2基本回路和基本割集问题引出：如何列写独立且完备的基氏方程？1、基本回路：确定了树之后的单连支回路，方向取连支方向（1）对全部基本回路列写的KVL方程是独立的、完备的因此称基本回路是一组独立回路（2）在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。基本回路数等于连支数彼此线性无关可推出全部KVL方程13.2基本回路和基本割集2、基本割集：确定了树之后的单树支割集，方向取树支方向（1）对全部基本割集列写的KCL方程是独立的、完备的（2）在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量。13.2基本回路和基本割集例题13.1：已知网络的图。(1)选择一组独立的支路电压，并用以表达其它支路电压；(2)选择一组独立的支路电流，并用以表达其它支路电流。解：选择树:{1,2,3,4}，树支电压是一组独立的支路电压连支电流是一组独立的支路电流13.3关联矩阵及对应矩阵形式的基式方程

图的数学表示法-----矩阵表示法，有三种：

1、关联矩阵A：N个结点b条支路的图可以用nb的矩阵描述ajkajk=1

支路k从结点j

联出ajk=-1

支路k从结点j联入ajk=0

支路k与结点j无关A’

=nb支路b结点n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，第j行k列元素定义为：表示节点与支路的关联关系13.3关联矩阵及对应矩阵形式的基式方程例A’

=1234123456

支结-110-1000-1-10011000-1-1001110矩阵中任一行可从其他n-1行中导出，即只有n-1行独立省略任意一行，得到关联矩阵A

A=(n-1)b支路b结点（n-1）被划去的行对应于参考节点13.3关联矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、A阵形式的基氏方程(1)KCL方程A矩阵形式的KCL:

AI

=0其中：流出独立节点

A阵写成矩阵形式支路电流向量13.3关联矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、A阵形式的基氏方程(2)KVL方程支路电压=节点电压之差其中：

AT写成矩阵形式13.4基本回路矩阵及对应矩阵形式的基式方程1、基本回路矩阵B表示基本回路与支路的关联关系。1支路j

在回路i中方向一致-1支路j

在回路i中方向相反0支路j

不在回路i中bij=B=l

b支路b基本回路l每一行对应一个基本回路，每一列对应一条支路，第i行j列矩阵元素定义为：13.4基本回路矩阵及对应矩阵形式的基式方程例：选1、2、3为树支，4、5、6为连支456B

=123456

支回01-1100

11-1010110001BtBl如果支路按先树支后连支顺序编号，且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵B的右边存在单位矩阵。13.4基本回路矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、B阵形式的基氏方程基本回路的B矩阵形式的KVL：BU=0其中：B阵(1)KVL方程用树支电压表示连支电压写成矩阵形式支路电压向量13.4基本回路矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、B阵形式的基氏方程连支电流是一组独立的支路电流变量(2)KCL方程B矩阵形式的KCL：BTIl=I

BT用连支电流表示树支电流13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程1、基本割集矩阵C割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，cij=1支路j在割集i中且与割集方向一致-1支路j在割集i中且与割集方向相反

0支路j不在割集中

C

=(n-1)b支路b割集c行对应基本割集，列对应支路元素定义：13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程例：选1、2、3支路为树123456

C

=支割集c1c2c31000-1-1

010-1-1-1

001110Cl1tc1c3c2如果支路按先树支后连支顺序编号，且基本割集编号顺序与树支相同，则在矩阵C的左边存在单位矩阵。13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、C

阵形式的基氏方程(1)KCL方程基本割集的写成矩阵形式c1c3c2C阵C矩阵形式的KCL：CI=0用连支电流表示树支电流13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程2、C

阵形式的基氏方程(2)KVL方程树支电压是一组独立支路电压变量

CTC矩阵形式的KVL：CTUt=U用树支电压表示连支电压13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程CCI=0CTUt=U小结：ABKCLAI=0BTIl=IKVLATUn=UBU=013.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程分析：例题13.2：某网络图的连支电流树支电阻基本割集矩阵求：连支电压。CI=0ItUtCTUt=U13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程特勒根定理证明两个有向图相同的集中参数电路证明：AI=0ATUn=U13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程网络矩阵之间关系1)A阵与B阵关系(连支电流是一组独立变量)2)B阵与C阵关系13.5基本割集矩阵及对应矩阵形式的基式方程例:已知基本回路矩阵求：基本割集矩阵,

并画出网络图。解：1２３５４①②③[B]=12345

支回10100

-11010-10001l3l4l513.6广义支路及其方程的矩阵形式基氏方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式广义支路：（复频域）13.6广义支路及其方程的矩阵形式b条支路的支路方程矩阵形式:支路k方程:简写为:

若Z存在逆矩阵，令得：支路电压向量支路电流向量支路阻抗矩阵支路源电流向量支路源电压向量13.6广义支路及其方程的矩阵形式互感元件：支路方程的矩阵形式为含受控源支路：含VCCS支路支路方程的矩阵形式为非对角阵在对角阵基础上变动13.7节点电压方程的矩阵形式AI＝0推导：节点电压方程：令

节点电压方程简化为：节点导纳矩阵节点源电流向量13.7节点电压方程的矩阵形式例题13.3：列写矩阵形式的节点电压方程，并求出各广义支路的电压和电流。分析：需求解：13.7节点电压方程的矩阵形式解：根据图写出关联矩阵A

根据网络图并对照电路(a)写出计算13.7节点电压方程的矩阵形式节点电压方程：解得节点电压：广义支路电压：广义支路电流：适于复杂电路计算机求解13.8状态方程的专用树列写法线性动态电路状态方程标准形式(1)对只联接一个电容的节点列KCL方程。(2)对只包含一个电感的回路列KVL方程。(3)消去非状态变量(4)整理成标准形式步骤：对于简单电路可根据KCL、KVL和元件方程直接列写。当电路比较复杂时，可通过专用树来列写对于线性电路，选择uC和iL为状态变量13.8状态方程的专用树列写法专用树：用全部电容、电压源和必要的电阻作为树支，全部电感、电流源和剩余的电阻自然都是连支。除了下面两种情况，专用树总是可以找到的：（1）电路中含电容和(或)电压源回路（2）电路中含电感和(或)电流源割集13.8状态方程的专用树列写法

通过专用树列写状态方程的步骤：1选取状态变量。一般取电容电压和电感电流2作专用树，用全部电容、电压源和必要电阻作为树支，用全部电感、电流源和剩余电阻作连支。3以树支电压和连支电流作为电路变量。4列单电容树支割集的KCL方程列单电感连支回路的KVL方程。5消去非状态