2027届高考数学一轮复习5.3平面向量的数量积（课件）

第三讲平面向量的数量积知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一向量的夹角a与b的夹角为______时，则a与b垂直，记作a⊥b.[0，π]知识点二平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.|a||b|cosθ投影投影向量|a|cosθe知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝______________.x1x2＋y1y2(5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________；a∥b⇔a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．x1x2＋y1y2＝02．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．归

纳

拓

展1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|.5．投影向量的表示：双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)|a·b|＝|a|·|b|.(

)(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×题组二走进教材[答案]

CA．12 B．4C．3 D．1[答案]

D4．(必修2P36T2改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量为________.题组三走向考场5．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________.考点突破·互动探究平面向量数量积的运算——师生共研A．4 B．5C．6 D．8[答案]

CA．10 B．13C．18 D．26[答案]

B名师点拨：计算平面向量数量积的主要方法1．利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.3．利用基底法求数量积．4．灵活运用平面向量数量积的几何意义．【变式训练】A．－2 B．－1C．1 D．2[答案]

C[答案]

A向量的模、夹角——多维探究角度1向量的模(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(

)[答案]

B名师点拨：平面向量的模的解题方法2．若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”角度2向量的夹角(2026·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为(

)[答案]

C名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项2．注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．角度3平面向量的垂直(2023·新课标Ⅰ卷，3,5分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1

B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1[答案]

D[解析]

由题意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故选D.角度4向量的投影(2025·安徽江淮十校模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为(

)[答案]

B名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项【变式训练】A．45° B．135°C．60° D．120°[答案]

B向量中的最值(范围)问题——师生共研名师点拨：求向量模的最值(范围)的方法，通常有：1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解．【变式训练】A．[4,5] B．[5,7]C．[4,6] D．[5,8][答案]

B名师讲坛·素养提升三角形的四“心”3．外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．类型一平面向量与三角形的“重心”问题A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB边的中点[答案]

C类型二平面向量与三角形的“外心”问题A．外心 B．内心C．重心 D．垂心[答案]

A类型三平面向量与三角形的“垂心”问题A．重心 B．垂心C．外心 D．内心[答案]

B类型四平面向量与三角形的“内心”问题A．重心

B．外心 C．垂心 D．内心[答案]

D提能训练练案[32]A组基础巩固一、单选题[答案]

A2．(2025·全国模拟)已知向量a，b满足a＝(2,1)，b＝(－2，m)，若a·b＝－5，则m＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2[答案]

B[解析]

因为a·b＝－5，所以a·b＝2×(－2)＋m＝－5，解得m＝

－1，故选B.3．(2026·四川达州模拟)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝(

)[答案]

C[答案]

C[答案]

A[答案]

A[答案]

AA．[6,14] B．[6,12]C．[8,14] D．[8,12][答案]

D二、多选题9．(2026·江西模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4，m)，则(

)[答案]

AD10．(2025·河北保定三模)已知平面向量a＝(－1，－2)，b＝(1，

－3)．a与b的夹角为θ，则(

)A．a∥bB．a⊥(a－b)C．θ＝45°[答案]

BC[答案]

ACD三、填空题12．(2026·江西新余模拟)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(x,3)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是__________________.13．(2026·广东模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则

cos〈a＋b，b〉＝________.[答案]

－4B组能力提升1．(2026·陕西延安模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(x，－1)，若a⊥(2a－3b)，则a＋3b＝(

)A．(8，－2) B