2026届北京市朝阳区高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）

第1页2026届北京市朝阳区高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：________________姓名：________________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分适用对象：高三冲刺阶段试卷类型：模拟检测注意事项：1．本试卷围绕高考冲刺阶段的核心考点设计，重在检测基础整合、综合运用与规范表达能力。2．答题前请将学校、班级、姓名、考号填写清楚；选择题用规定方式填涂，非选择题写在相应作答区。3．作答时应写出必要的推理、计算与说明。凡只写结果而无关键步骤的解答题，按评分标准酌情扣分。4．全卷共22题，其中选择题10题、填空题6题、解答题6题；满分150分，考试时间120分钟。题型选择题填空题解答题总分分值3018102150选择题答题栏题号12345678910答案填空题答题栏题号111213141516答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合，，则等于（）A．B．C．D．3．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．4．等比数列中，，，且公比为正，则其前5项和为（）A．45B．63C．93D．1265．袋中有3个红球、2个白球，从中不放回地连续随机取出2个球，则“第二次取到红球”的概率为（）A．B．C．D．6．平面向量，满足，，且夹角为，则等于（）A．B．C．D．7．函数在区间上的最大值为（）A．-1B．1C．3D．58．正方体的棱长为1，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．一组数据为2，4，5，7，7，则这组数据的方差为（）A．B．C．D．410．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在答题栏相应位置。11．展开式中的系数为__________。12．不等式的解集为__________。13．抛物线上的点到其准线的距离为__________。14．直线被圆所截得弦长为__________。15．等差数列中，，，则为__________。16．若正实数满足，则的最大值为__________。三、解答题：本题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题14分）已知函数。（1）将化为只含二倍角的形式，并求其最小正周期与最大值；（2）求方程在区间上的全部解。学生作答区：18．（本小题15分）如图形化描述：四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且。（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离。学生作答区：19．（本小题16分）某校高三数学组进行“函数与导数”专题考前检测，随机抽取10名学生的得分（满分20分）如下：12141515161718181920第1人第2人第3人第4人第5人第6人第7人第8人第9人第10人规定得分不低于18分为“优秀”。（1）求这10名学生得分的平均数；（2）从这10名学生中随机抽取3人参加二次讲评，设其中“优秀”人数为，求的分布列与数学期望；（3）若从这10名学生中随机抽取1人，优秀学生在下一次同专题检测中达标的概率为0.8，非优秀学生达标的概率为0.5。已知被抽取学生下一次检测达标，求该生本次为“优秀”的概率。学生作答区：20．（本小题17分）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，长半轴长为2。（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，过的直线与椭圆的另一个交点为，求的坐标（用表示）；（3）记椭圆的左、右焦点分别为，求三角形面积的最大值及此时的取值。学生作答区：21．（本小题20分）已知函数，定义域为。（1）求的单调区间与最大值；（2）证明：对任意，都有，并说明等号成立的条件；（3）设，若关于的方程在上有且仅有一个解，求的值。学生作答区：22．（本小题20分）已知数列满足，且对任意正整数，有（1）证明：；（2）求的通项公式；（3）设，求，并求满足的最小正整数。学生作答区：

参考答案与解析说明：选择题每题3分，填空题每题3分；解答题按各题评分标准给分，过程正确但表述不完整时酌情扣分，最终答案错误但关键过程正确时按相应步骤给分。一、选择题答案速查题号12345678910答案BAACCACBCA二、填空题答案速查题号111213141516答案152155三、逐题解析1．答案B。因为，所以。对应点坐标为，在第二象限。2．答案A。由得，即；由得。所以。3．答案A。由且得。因此。4．答案C。设公比为，由得，故。于是。5．答案C。不放回连续取球时，第二次取到红球的无条件概率等于任意指定位置为红球的概率，即。也可按第一次分类验证：。6．答案A。根据数量积公式，，所以。7．答案C。，临界点为。比较，，，，最大值为3。8．答案B。直线在底面上的射影为。设所成角为，则，，高为1，所以。9．答案C。平均数为。方差。10．答案A。令。当时，在上最小值不小于；当时最小值为，需；当时最小值为。综上。11．答案15。展开式通项为。令，得，系数为。12．答案。定义域为，由得，所以解集为。13．答案2。抛物线的准线为，点到准线的距离为。14．答案。圆心到直线的距离为，半径。弦长为。15．答案155。由得，所以。因此。16．答案。由且，得。，所以最大值为。17．答案与评分标准（14分）解：（1）由二倍角公式，故最小正周期为，最大值为。（2）由得，即。当时，，所以，得。评分标准：正确化简为二倍角形式3分；写出周期2分；写出最大值2分；建立三角方程3分；结合区间完整求出三个解4分。18．答案与评分标准（15分）解：（1）因为底面是正方形，所以。又因为平面，所以。直线与相交且都在平面内，故平面。（2）以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量可取，直线的方向向量为。设所成角为，则（3）平面方程为，故点到该平面的距离为评分标准：证明两条垂直关系并推出线面垂直5分；正确建系或给出等价向量表示3分；求得法向量与夹角正弦4分；写出平面方程并求距离3分。19．答案与评分标准（16分）解：（1）平均数为（2）“优秀”人数为4，非优秀人数为6。随机抽取3人，可取，且X0123P数学期望可由分布列计算，也可用超几何期望，。（3）设事件为“本次优秀”，事件为“下一次达标”。则，，。由全概率公式，；由条件概率公式，评分标准：平均数计算正确3分；确定优秀与非优秀人数2分；写出超几何分布公式3分；分布列完整4分；期望正确2分；条件概率计算正确2分。20．答案与评分标准（17分）解：（1）由长半轴长为2，得；离心率，得。于是，椭圆方程为（2）右顶点。把代入椭圆方程，得其中一个根为。设另一个根为，由根与系数关系可得故。（3）焦点为，底边，三角形面积为令，则，当且仅当时等号成立。故最大面积为，此时，即。评分标准：求出并写出方程4分；正确代入直线方程并利用根与系数关系5分；写出点坐标3分；建立面积表达式3分；求最大值与对应2分。21．答案与评分标准（20分）解：（1）。当时；当时。所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为。（2）由（1）知对一切，，即，所以。等号当且仅当时成立。（3）令。显然恒为方程的一个解。若，由（2）可知，且等号仅在成立，故方程有且仅有一个解。若，则，其极大点为。此时，且，所以右侧函数先增后减；又，故除外还存在一个大于1的解。若，则极大点。由于，且，所以在内存在一个解；又是另一个解，故不满足唯一性。综上。评分标准：求导正确2分；单调区间与最大值正确4分；由最大值证明不等式4分；明确等号条件2分；第三问分类讨论6分；结论完整2分。22．答案与评分标准（20分）解：（1）因为。若，则，从而。由数学归纳法得对任意正整数成立。（2）由，两边取倒数并整理。令，则又，所以，即。（3）由通项公式，因此令，得，即。故满足条件的最小正整数为。评分标准：归纳证明正性4分；构造并得到等差关系5分；求出通项公式4分；裂项求和5分；求出最小整数2分。综合评分标准与规范要求本部分用于统一整卷阅卷口径。选择题、填空题以最终答案为主，答案唯一且书写清晰即可得分；若答案栏中出现两个及以上互相矛盾的答案，该小题不得分。解答题重在过程，阅卷时以关键步骤、逻辑链条和计算结果共同判定，不能只看最终数值。选择题评分遵循“一题一答”的原则。考生若只在草稿区域写出推理而未在答题栏写出选项，按未作答处理；若选项字母正确但旁边计算痕迹有误，以答题栏选项为准。若涂改后无法辨认选项，应按无效答案处理。填空题评分以化简后的等价答案为准。区间、集合、根式、分数、三角值等形式只要数学意义完全一致，均可给分；但端点开闭、正负号、根号外系数、分母有理化与否不影响值的，按等价答案处理。若条件要求最值而只写取得最值时的变量，不给满分。解答题的过程分以“关键转化是否成立”为主要依据。只写结论、没有说明关键依据的，原则上不得超过该问分值的一半；若思路正确但代数计算出现局部错误，后续能够保持同一错误逻辑并完成合理推导，可在相应步骤内酌情给分。三角函数题重点考查恒等变形、周期判断和方程求解。第17题中，若能正确使用二倍角公式但合并为辅助角形式时符号出错，应给化简部分的部分分；若求解方程时漏掉端点，应扣除区间讨论分；若周期写成原函数角频率对应的错误周期，应在周期分内扣除。立体几何题重点考查空间位置关系与向量方法。第18题中，证明线面垂直必须明确两条相交直线均在同一平面内，且待证直线分别垂直于这两条直线。若只写“由图可知垂直”而没有平面内相交直线的说明，证明部分不能得满分。立体几何中采用坐标法时，建系应与题设垂直关系一致，点坐标应完整列出。法向量可以通过观察、叉乘或解方程得到，只要能代入夹角公式并说明线面角与方向向量、法向量之间的关系，即可按正确方法给分。距离计算需使用点到平面距离公式。概率统计题评分关注样本统计量、随机变量取值、概率模型和条件概率。第19题中，平均数计算若只有求和无除以样本容量，应扣平均数结果分；分布列必须列出随机变量的全部可能取值，概率之和应为一。若只写期望而不写分布列，不能取得分布列对应分值。条件概率题应明确事件含义。若考生能正确列出“本次优秀”“下一次达标”两个事件，并运用全概率公式求出达标概率，再用条件概率公式求反向概率，即可得满分。若把优秀人数比例与达标条件混同，导致直接写成0.8或0.4，应判为模型错误。解析几何题评分关注方程建立、代入消元、根与系数关系、几何量表达和最值处理。第20题中，求椭圆方程必须先确定长半轴、焦距和短半轴；若把离心率误认为短半轴与长半轴之比，则从方程建立处开始扣分。解析几何中，直线过右顶点并与椭圆交于另一点，代入后已知一个根为右顶点横坐标。若考生直接解出另一交点坐标，或用根与系数关系求出，均视为有效方法。面积最大值部分必须说明绝对值处理与参数取值，不可只写最大面积。导数题评分关注定义域、导数符号、单调性、极值最值以及参数分类。第21题中，若未写定义域就直接求导，但后续符号讨论始终在正实数范围内进行，可不额外扣分；若把导数符号在两个区间上的正负判断颠倒，则单调性与最大值相应扣分。不等式证明可由函数最大值推出，也可构造差函数证明。阅卷时应看考生是否得到全局最大值不超过零，并说明等号成立条件。若只写“这是常见不等式”而无证明，不得取得证明过程分；若证明完整但未说明等号条件，应扣相应说明分。参数方程唯一解问题必须围绕恒有解与额外解进行讨论。第21题第三问中，考生需注意x等于1始终是解，再分别判断参数小于1、等于1、大于1时是否产生另一解。若只求极值而没有回到“有且仅有一个解”的要求，应扣结论分。数列题评分关注递推式可用性、正性证明、换元构造、通项求解和裂项求和。第22题中，先证明各项为正是后续取倒数的依据。若考生未经说明直接取倒数，但通项推导正确，可在严谨性处扣少量分，不影响主要计算分。裂项求和题应写清楚相邻项相消的结构。若只写出求和结果而未说明如何相消，不能取得裂项过程的全部分值。求最小正整数时，应把严格不等式转化为整数范围，若写成大于等于十五而得十五，应扣最终整数分。书写规范方面，解答题应分问作答。每一问的结论应单独成句，关键公式或等量关系应放在清楚位置，避免把多个推理步骤挤在同一行导致阅卷无法辨认。若因书写混乱造成结论无法判定，按不能辨认的部分扣分。单位与对象要对应。概率题中的概率、期望、人数，解析几何题中的坐标、面积、斜率，立体几何题中的角的正弦值、距离，均应写明对应对象。若答案数值正确但对象错置，例如把角的正弦值写成角度，应按概念错误扣分。运算过程出现等价变形时，应保持条件不丢失。涉及平方、开方、绝对值、参数取值、区间端点时，必须回代检验或说明限制。若因忽视正负号导致答案多出或漏掉，应按该问结果分和部分过程分扣除。本卷所有解答题都允许使用等价方法。三角题可用辅助角或展开比较；立体几何可用传统几何证明或空间向量；概率统计可用组合计数或超几何分布公式；解析几何可用代入消元或参数化；导数题可用导数表或图像性质配合严密证明；数列题可用换元或数学归纳法。阅卷时应避免因方法不同而机械扣分。只要考生的推理没有改变题目条件，得到的中间式与标准解法等价，且最终结果正确，应按相应步骤给分。若方法新颖但存在未证明的跳步，应在该跳步影响的分值内扣分。主观题结果化简要求以准确为先。根式、分式、三角函数值、区间答案若未化成最简但与标准答案等值，可给结果分；若未化简导致答案含义不明确，例如把最大面积写成含参数表达式而未求最大值，则不能给最终结论分。本卷为高考冲刺模拟检测，评分应兼顾基础性和选拔性。基础步骤如求导、代入、列式、确定取值范围，是给分的主要落点；综合步骤如分类讨论、最值判定、唯一性论证，是区分高分答案的主要依据。答卷复核时，应先核对客观题答题栏，再核对填空题，再逐题检查解答题。对于解答题，先看每问是否有明确结论，再看结论是否由前面步骤推出，最后核对计算细节。不要因为最终答案正确而忽视关键证明缺失。若同一小题内前一问结果被后一问使用，前一问出错但后一问使用该错误结果进行自洽推导，后续步骤可按“承前错误”处理，即不给前一问结论分，但在后一问中保留方法分和相对正确的运算分。若考生在同一题中写出两个互相矛盾的解法，且未明确哪一个为最终答案，应以最后明确写出的结论为准；若无法判断最终答案，按不确定答案处理。若一个解法正确、另一个解法错误但最终答案明确正确，可在规范表达处扣少量分。对于需要证明的结论，不能只写“显然”“易得”代替关键推理。尤其是线面垂直、函数最大值、参数唯一性和裂项求和这类步骤，必须展示主要依据。若缺少的只是简单算术运算，不影响评分；若缺少的是核心逻辑，应扣相应过程分。对于含有表格的概率统计题，分布列中的概率应与表头变量一一对应。若概率列顺序正确但变量值顺序颠倒，导致对应关系混乱，应视混乱程度扣分。若概率全部正确但未写期望计算过程，只写期望结果，可给期望结果分但不给完整过程分。对于解析几何最值题，常见有效路径包括利用基本不等式、换元、函数单调性或判别式。只要能说明最大值何时取得，并给出对应斜率取值，即可按最值部分满分处理。若只证明不超过某值但未说明能取到该值，应扣取得条件分。对于导数分类讨论题，区间端点和极限行为是判断根的个数的重要依据。若考生只写极值点而不说明函数在两端的趋势，不能完整证明“还有一个解”或“没有其他解”。因此第三问的高分答案必须同时体现极值、端点趋势和已知根。对于数列递推题，换元后得到等差数列是核心。若考生把递推式整理为倒数关系但没有命名新数列，也能清楚推出逐项增加一的规律，可给相同分值。若在通项中把n写成n加一导致后续求和全部错位，应扣通项及求和相应分。整卷评分结束后，应核对分值合计。选择题满分三十分，填空题满分十八分，解答题满分一百零二分，全卷满分一百五十分。每道解答题的得分不得超过题目分值，各小问得分相加后应与总分表一致。本套试卷的评分标准强调可操作性。阅卷者应根据考生呈现的真实步骤给分，不因书写风格不同而扣分，也不因答案形式与标准解完全一致但缺乏必要理由而给满过程分。最终评分应体现“会做、做对、说清楚”的统一。分题细化评分执行说明第17题阅卷时，应把三角恒等变形作为第一层判断。考生若写出二倍角关系但没有把函数合并成辅助角形式，仍可获得基本变形分；若辅助角形式正确但周期写成二倍角之前的周期，应扣周期判断分。方程求解时，端点零和圆周率对应的解都要保留，缺少任一端点均要扣区间筛选分。第17题第二问如果考生采用图像法，应清楚给出函数在给定区间内与水平线的交点个数，并写出对应横坐标。仅画示意图而没有数值解，不得取得结果分；若图像判断正确、数值书写有一个小误差，可保留图像分析的部分分。第18题证明部分应区分“线线垂直”和“线面垂直”。考生必须先说明正方形对角线互相垂直，再说明侧棱垂直底面推出侧棱与底面内直线垂直，最后利用线面垂直判定定理。缺少任一逻辑层次，按证明完整性扣分。第18题向量解中，方向向量和法向量的选取可以相差非零常数倍，不影响结果。若坐标系原点选择不同，只要各点坐标相对关系正确，仍按正确建系给分。若把线面角正弦与直线方向向量和法向量夹角的余弦关系混淆，应在夹角公式处扣分。第18题距离部分，若考生通过体积法求点到平面距离，也可给分。体积法中应明确同一个四面体在不同底面下的体积相等，并正确求出底面面积。若体积表达正确但面积计算错，保留建模分并扣计算分。第19题平均数计算需要写出总分与人数的关系。若考生把样本容量误写为九或十一，后续统计量都将受影响，平均数不得分；但若第二问仍依据优秀人数四人、非优秀人数六人进行组合计算，第二问可独立给分。第19题分布列阅卷时，应检查每个概率的分子是否与抽样模型匹配。随机抽取三人且不考虑顺序，应使用组合数；若考生使用排列数但分子分母同乘了相同的排列因子，结果正确，可以给分。若使用二项分布模型，则模型不符合不放回抽样，应扣模型分。第19题条件概率部分，若考生直接列出分式并得出十六分之三十一，虽然没有命名事件，但分子表示优秀且达标、分母表示总达标的意义清楚，可给主要分。若分母只取优秀学生达标概率，说明没有完成全概率合成，应扣关键分。第20题第一问中，若考生先写出椭圆一般标准式，再由题设确定参数，属于规范解法。若把焦点放在纵轴上，将导致方程整体错误；除非后续自行发现并改正，否则第一问不得满分，后续与坐标轴相关的结果也应相应扣分。第20题第二问中，交点M不是右顶点A，答案中必须排除已知交点。若考生写出两个交点并没有指明另一个交点，结果表述不完整。若通过联立方程直接求根，应注意二次项系数不为零，且直线斜率为任意实数时表达式均成立。第20题第三问的面积表达式只依赖M点纵坐标的绝对值。若考生漏写绝对值但后续把参数取正讨论，需判断是否覆盖负斜率情形；若最后给出两个斜率，且最大值正确，可保留结果分。若只给出一个斜率，应扣取得条件分。第21题第一问必须体现定义域为正实数。若考生把导数零点以外的区间写成全实数范围，说明区间意识不足，应扣单调区间分。若只写最大值为零但没有说明在何处取得，最大值结论不完整。第21题第二问采用函数最大值证明时，应从已求单调性推出全局最大值，再把不等式整理成目标形式。若考生用切线思想证明，也应写明对数函数在一点处切线的位置关系，并给出等号条件。第21题第三问中，参数等于一是充分且必要的结论。必要性证明不能只凭直观判断，应分别说明参数小于一和大于一时都会出现除一以外的另一个解。若只讨论其中一侧参数，结论范围不完整。第22题第一问的数学归纳法应包含初始成立、归纳假设、归纳推出三个环节。若考生使用递推式直接说“因为分子分母都为正”，但没有指出起始项为正，证明不完整。若完整写出递推正性，可得该问满分。第22题第二问换元后应得到首项为一、公差为一的等差数列。若考生把新数列首项写错，通项随之错误；若只是符号命名不同，但递推关系和首项均正确，按正确答案给分。通项结果应写成关于n的表达式。第22题第三问中，求和式的每一项都来自相邻两项的乘积。若考生先写出通项再代入乘积并完成裂项，可得过程分。若直接套用调和项求和而没有相消结构，通常不能得到正确结果，应根据实际推导给分。客观题解析在讲评中可用于定位易错点，但正式评分仍以答题栏为