自动控制原理习题答案6

第六章线性离散系统的分析与校正

习题及答案

6-1试求以下函数的z变换

(1)e(t)=aT

⑵e(r)=r2e-3/

L/\S+1

⑶E(s)=—

s-

L/、5+3

(4)t(5)=-------------

S(S+1)(5+2)

1z

解(1)E(z)=Yanz-r,=---------=------

M\-azz-a

T2Z(Z+1)

(2)

(z-—

由移位定理：

23T3T23T3T

z\t2e-3l]=Tze(ze+\)Tze-(z+e-)

(93J)3

~、s+111

(3)

E(s)=­r="+—

5S

zTz

E(z)=-------------T

z-l(z-1)2

⑷

E⑸若+含

..5+33

cn-lim-------------

ST。(54-1)(5+2)2

..s+32

c,=lim--------=—=-2

ST-Is($+2)-1

rs+31

c、=hm-------=—

s+2s($+1)2

3/22

-----------+--1--/2--

SS4-1s+2

3z2zz

E(z)=

2(z-l)z-e~T+2(z-e-2T)

6-2试分别用局部分式法、鼎级数法和反演积分法求以下函数的z反变换。

10z

(1)E(z)=

(z-l)(z-2)

EV\3+z

⑵

IQz

解(1)E(z)=

(z-l)(z-2)

①局部分式法

E(z)-10-1()1()

z(z-l)(z-2)z-1z-2

-IQzIQz

E(z)=

(z-1)(z-2)

^(H7')=-10X1+1DX2M=10(2M-1)

②显级数法：用长除法可得

lOzlOz

E(z)==10Z-,+30Z-2+70Z-3+/1

(z-l)(z-2)Z2-3Z+2

/(/)=105Q-T)+305(-2T)+70^(/-3T)+A

③反演积分法

Res【E(z)•z叫f=lim=-10

Res[E(z).z"”L=lini=[0x2〃

e(〃T)=—1()x1+1()xT=10(2"-1)

/什)=之10(2"-1好”〃乃

〃二0

⑵-)二一3+/zi+D1T+D

1-2z+z-2Z2-2Z+1(Z-1)2

①局部分式法

E(z)_l-3z_-23

z(z-1)2(z-1)2z-1

-2z3z

E(z)=

(z-1)2z-1

-2

e(0=­/-3xl(r)

QOr_)"]8

/(/)=Z-nT-3-〃T)=Z(-2〃-3)3(—〃r)

M=oLT」n=o

②辕级数法：用长除法可得

-,2-3

E(z)=1％+」=-3-5z-lz--9z-A

Z2-2Z+1

/(t)=-3J(r)-5J(7-7')-7火-27)-9凶-3T)-A

③反演积分法

式〃T)=Res[E(z)•Z〃TJ=1limA[(-3z2+z).zn'']

1.・

=lim[-3(〃+l)z"+nz>,-i]=-2n-3

/«)=Z(-2〃—3)S(f—仃)

n=0

6-3试确定以下函数的终值

7z-'

(1)E(z)=

(1-z-1)2

0.7921

⑵E(z)=

(Z-1)(Z2-0.416Z+0.208)

TV-1

解(1)e=lim(l-z-1)---------=8

sszf(1-z-1)2

e”=lim(z-l)E(z)

S'2-»l

(2)0.792z20.792

=lim.—1

ez2-0.416z+0.2081-0.416+0.208

6-4差分方程为

。(%)—4c(4+l)+c(女+2)=0

初始条件：c(0)=0,c(l)=lo试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,3,4。

解依题有

c(k+2)=4c(A+1)-c(k)

c(0)=0,c(l)=l

以2)=4x1-0=4

C(3)=4X4-1=15

<•(4)=4x15-4=56

6-5试用z变换法求解以下差分方程：

(1)c(k+2)-6c(k+1)4-8c、(&)=r(k)

r(k)=l(^),c(k)=0(k<0)

(2)c(k+2)+2c(k+1)+c(k)=r(k)

c(0)=c(T)=0〃(〃)=〃，(/?=0,1,2,A)

(3)c(k+3)+6c*+2)+llc"+l)+6c(Q=0

c(0)=c(l)=l,c(2)=0

(4)c{k+2)+5c(k+1)+6c(攵)=cos(左"/2)<?(())=c(l)=0

解

(1)令，=一7,代入原方程可得：c(T)=0o对差分方程两端取z变换，整理得

z

C(z)=F------火⑶=----------

z2-6z+8(z-2)(z-4)z-1

C(z)_1111j_1

z3z-12z-26z-4

〜\1z1z1z

C(z)=--------------------------1------------

3z-l2z-26z-4

Mnw

c(Z2T)=-xl-lx2+-x4

326

(2)对差分方程两端取z变换，整理得

C'(Z)=-............:--=------------7

Z2+2Z+1(Z-1)2(z+l)2(z-l)2

Res\c(z)-zn-1].=-lim——r-z"-1

LI1g必|_(z+l)2

dz”

=lim=吧心k+1产一2(2+1)-"]

—Idz(Z+方

方一22r

Res[c(z)•znl].=-lim------•z”

LI1!…dz(z-1)2

jn「

=lim----------=lim〃z”"(z-1)2-2(z-1)-3-zn]

dz\_(z-\y\

n-\

=(-ir_,

~T~

c(仃)=、![]+(_]严]

—(£)4{9[l+(T严

8(t-nT)

(3)对差分方程两端取z变换得

[z3C(z)-z%(0)—z2c(l)-叭2)]+6〔z2c(z)-z2c(0)—zc(l)]

+1l[zC(z)-zc(0)]+6C(z)=0

代入初条件整理得

(z3+6z2+1lz+6)-C(z)=z3+7z2+17z

z3+7z2+17z

C(z)=

z3+6z2+1lz+6

C(z)11101,51

----------------/------十--------

z2z4-1z+222+3

。5)=1(-1)”一7(-2)”+:(一3)〃=(一1)〃1-72+"3”

22\_22J

(4)由原方程可得

,71、

Z(Z-COS—)2

(Z2+5Z+6)C(Z)=-------------------Z—=——

z2-2zcos-+12+1

2

/z2

C(z)=-.....二——；—=----------------；—

(z2+5z+6)(z2+1)(z+2)(z+3)(z2+1)

C(z)z-21311z-1

----------------------------=-----------+--------+---------

z(Z+2)(Z+3)(Z2+1)5z+210z+310z2+1

.71

c(nT)=—•(-2)H+—•(-3)n+—cosn--sinn—

5101()L22

(-1尸-«2H+,-—+—cos«--sin/7

-10102

6-6试由以下差分方程确定脉冲传递函数。

c(〃+2)-(1+产)•c(〃+1)+e~a5Tc(n)=(1--r(n+1)

解对上式实行z变换，并设所有初始条件为0得

z2C(z)-(1+)zC(z)+e-°5rC(z)=(l-)z・R(z)

根据定义有

c()=C(z)=zd")

R(Z)-Z2-(1+C-0")Z+<°"

6-7设开环离散系统分别如图6-40(a),(b),(c)所示，试求开环脉冲传递函数G[z)。

(a)

(b)

(C)

题670图开环离散系疣

22z

解1。)Z

7+2z-e~2T

(〃)

(1一《7)101

(c)=10(l-z-1)Z

S(5+2)(5+5)s(s+2)(5+5)

10(z-l)1I1

---------------Z----------1.-1

Z105654-2+15s+5

5z2z

G(z)=―3-Lc-2T+Z--ST*二+2二

3z-e3z-e

6-8试求图6—41所示各闭环离散系统的脉冲传递函数中(z)或输出z变换C(z)。

题6-41图离散系统结构图

解(。)将原系统结构图等效变换为图解6-8(a)所示

图解6-83)

G(Z)=G,(2)[E(Z)-B,(Z)]

Bl(z)=GlG2(z)[E(z)-Bi(z)]

[l+G.G2(z)j.Bi(z)=GlG2(z)E(z)

B,(z)=。G⑶E⑶

l+GR(z)

•E(z)=G(z)E(Z)

1+G.G2(Z)

f(z)=R(z)-S(z)

|B2(Z)=G3(Z).C(Z)

=R(z)-G,(z)C(z)

C(z)=%、•W(z)-G3(Z)-C(Z)]

1+G,G2(Z)

[I+G,G2(Z)]C(Z)=G(Z).[R(Z)-G3(Z)-C(Z)]

[1+G(G2(Z)+G(Z)G5(Z)]C(Z)=G⑶•R(z)

C(z)G(z)

①(z)=

R(Z)1+G,G2(Z)+G1(Z)G3(Z)

(b)由系统结构图

C(z)=7?G2G4(Z)+E(Z)G/JG3G4(Z)

E(z)=RGl(z)-C(z)

*RG2G式z)+GQ&(z)[RG|(Z)-C(z)]

二RG2G式z)+G,,GiG式z)RG(z)

•'~l+G^GJz)

(c)由系统结构图

C(z)jNG2(z)+R(2)Oc2(z)G/,(z)G£2(z)+E(ziQm(z)G/,(z)G|G2(z)

IE(z)=/?(z)-C(z)

=/VG2(Z)+/?(Z)DD2(Z)G/;(Z)G1G2(Z)+DDI(Z)G/,(Z)GIG2(Z)[/?(Z)-C(Z)]6—9

NG2(z)+R(z)B)2(z)G(z)aG2(z)+BR(z)G(z)GQ2(z)R(z)

C(z)=/t/t

1+分(z)GKz)GG(z)

JVG2(z)+[(z)+(z)]G,£G式z)R(z)

1+。/20

设有单位反应误差采样的离散系统，连续局部传递函数

G(s)=—

S2(S+5)

输入=采样周期丁=卜。试求：

(1)输出z变换C(z)；

(2)采样瞬时的输出响应c'(f)；

(3)输出响应的终值C'(8)。图解6-9

解(1)依据题意画出系统结构图如图解6-9所示

1

G(z)=Z

/(s+5)

,_________Z(l-/)

-5|_(z-l)2-5(z-l)(z-e-5)

_[(4+e-5)z+1-]z

25(z-l)2(z-e-5)

G(z)__________(4+1-2+0一6«Y)Z

1+G(z)―25(z-1尸(z-/)+(4+/”2+(1-6"5”

3.9933z?+0.9596z_________

25z3-46.1747z2+26.2966z-0.1684

C(z)=①⑶R(z)=

z-1

二_________(0.1597Z+0.03838)Z2_________

-z4-2.847z3+2.899z2-1.0586z+0.006736

=0.1597z-,+0.45852-2+0.842z-3+1.235Z-4+/

(2)c(/)=0.15975(1—T)+0.4585^(/-2T)+0.8425(/-3T)十1.2355(1-4T)+A

(3)判断系统稳定性

D(z)=25z3-46.1747z2+26.2966z-0.1684

〃二3(奇数)

D(l)=4.9533>0,D(-l)=-97.6397<0

列朱利表

Zo2iZ223

1-0.168426.2966-46.174725

225-14.174726.2966-0.1684

3-624.971149.94-649.64

|1=0.1684<%=25

|/?01=624.97<p?21=649.64(不稳定)

闭环系统不稳定，求终值无意义。

6-10试判断以下系统的稔定性

(1)离散系统的特征方程为

ZXz)=(z+l)(z+0.5)(z+2)=0

(2)闭环离散系统的特征方程为

D(z)=z4+0.2z3+z2+0.36z+0.8=0

(ft：要求用朱利判据)

(3)误差采样的单位反应离散系统，采样周期T=1s,开环传递函数

〜、22.57

G⑸=-------

s2(5+l)

解(1)系统特征根模值

14HH一匕|A)|-1—().5|-0.5,|-1-2|—2>1

有特征根落在单位圆之外，系统不稳定”

(2)D(z)=Z4+0.2Z3+Z2+0.36z+0.8=0

用朱利稳定判据=4)

Z2

0Z|2Z324

10.80.3610.21

210.210.360.8

3-0.360.088-0.2-0.2

4-0.2-0.20.088-0.36

50.0896-0.071680.0896

D(z)=3.36>0,7)(-1)=2.24>0

|«0|=0.8<|«4|=I,同=0.36〈同二。-2

ko|=0.896=|c2|=0.0896

所以，系统不稳定。

22.5722.5722.5722.57

⑶G(z)=z——4------

52(5+l)SS+1

22.57zb”(l-2/)]

zzz

22.57

(z-1)2z-lz-e(z-Dp-/)

D(z)=(z-1尸(z-1)+22.57z『2+(l-2e-')]

=Z3+5.9Z2+7.9Z-0.368

用朱利稳定判据(〃=3)

z°Z|Z2Z3

1-0.3687.95.91

215.97.9-0.368

3-0.8658.8110.07

D(l)=14.432>0,D(-l)=-3.368<0

p0|=0.368<|6Z3|=1

%|=0.865<|/92|=10.07[系统不稳定)

6-11设离散系统如图6-42所示，采样周期T=1s,G〃(sj为零阶保持器，而

G(s)=——--

5(0.25+1)

要求：

图6-42离散系统

(1)当K=5时，分别在①域和z域中分析系统的稳定性:

(2)确定使系统稳定的K值范围。

解(1)

K

G/,G(Z)=(1—ZT)Z

1(0.2s+l)(Z—1)2

—ST

O(z)=(z—l)(z—e-")+K三—z+-^1——e-5T

•>..5、”/4十6一0\»571—6^"

=z~+-(1+e)+K(-------)z+e+K——----

当K=5时

D(z)=z2+3z+0.9663=0

解根得4=-2.633,4=-0.367(系统不稳定)

以z=W代入并整理得

w-\

D(vv)=w2+0.01357vv-0.208

0(卬)中有系数小于零，不满足系统稳定的必要条件。

(2)当K为变量时

D(z)=z2+(0.80135AT-1.006738)z4-(0.1919AT4-0.006738)

以z=上出代入并整理得

w-\

D(w)=0.9933Kw24-(1.9865-0.3838K)w+(2.0135-0.60945K)

由劳斯判据可得系统稳定的K值范围为：

0vK〈3.304

6-12利用劳斯判据分析图6-43所示二阶离散系统在改变K和采样周期7的影响.

解根据的G(s)可以求出开环脉冲传递函数

Kz(\-e-T)

G(z)=

(z-l)(z-e-T)

闭环特征方程为:

1+G(z)=l+应(1一,,二()

(z-l)(z-e-r)

即z2+[K(l-e")-(l+dz+cT=0

1+IV

令Z=-----,进行卬变换，得

1-W

(产T+卜(1—〃)—(1+e-T)产+

11—wJ1-W

化简整理后得

TT

[2(1+e~)-K(\-e")]"+2(1-e~)w+K(1-e")=0

可得如下劳斯表：

M2(l+「)-K(l-04)K(\-e'T)

田2(1-e-T)

WKQ—e")

得系统稳定的条件

2(l+e-7)-K(l-e-T)>0

•K(l-e-T)>0

K>0

0<K<2Q+q)

解得

\-e-T

6-13如图6-44所示采样系统，周期丁=1s

e2(k)=e2(k-\)+ex(k)

试确定系统稳定时的K值范围。

。；(?W(Cc(t)

题G-44离散系统

解由于

e2(k)=e2(k-1)+e](k)

-,

E2(Z)=ZE2(Z)+EI(Z)

T二1

那么

1-Z_,

广义对象脉冲传递函数

(l-UKK(l-1)Kz_0.632K

G(z)=Z=(l-z~l)Z0-z-')

$(s+1)s(s+1)(z-1)("/)-z-0.368

开环脉冲传递函数为

0.632K_0.632Kz

D(ZK7(Z)=---

1-zz-0.368-(z-l)(z-0.368)

闭环特征方程

1+D(z)G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0

1+w

法行卬变换，令z=t*,化简后得

1-w

(2.736—0.632)炉+1.264卬+0.632K=0

列出劳斯表如下

M2.736-0.632K0.632K

“1.2640

卬°0.632K

假设系统稳定，必须满足2.736—0.632K>0,K>0

即OvK<4.329

6-14如图6-43所示的采样控制系统，要求在=f作用下的稳态误差q=0.257,试确定放

大系数K及系统稳定时7的取值范围.

KKz(l-e")

解G(z)=Z

s(s+l)(z-l)(z—e")

1(z-l)(z-er)Tz

因为E(z)=R(z)

1+G(z)(z-l)(z-e-T)+Kz(l-)*(z-1)2

(z-i)(z-e-z)

所以=lim(z-l)-,=0.257

Z->1(z-l)(z-e")+网-e")(z-1)2

由上式求得K=4。

该系统的特征方程为

1+G(z)=(z-l)(z-e-T)+4z(l-丁丁)=0

即

z2+(3-5e-r)z+^_7'=0

1+tv

0Z=——代入上式得

1-w

4(1-6々)卬2+2(l-e")卬+6e"-2=0

列出劳斯表如下

卬24(1-e-,)Ge'1-2

篦2(1-6")0

w06e7-2

系统假设要稳定，那么劳斯表得第一列系数必须全部为正值，即有

l-e-r>0,T>0

6"7-2>0,T<ln3

由此得出()vT<ln3时，该系统是稳定的。

6-15设离散系统如图6-45所示，其中，采样周期丁=0.2s,K=10,“/)=l+/+f2/2,试用终

解系统开环脉冲传递函数为

、S\-e~7:10(1+0.55)1...Fl0(1+0.55)

G(z)=Z---------------z-----=(\-z)Z------------

ss~s

空里+工

(z—1)3(Z-1)2

将7=0.2代入并整理得

〜、1.2z-0.8

G(z)=-----------

(z—

(2-1)2

中仁)=四2=1_z~—2z+1

R(z)1+G(z)(Z-1)2+1.2Z-0.8Z2-0.8Z+0.2

R(z)=Z14-Z+^-=z0.2z0.04z(z+l)

-------1----------7+

z-1(z-1)22”-1)3

%=lim(l-zT)0),(z)R(z)

2Tl

]I0.2।0.04(z+1)(z-1)2

=lim=0.1

z->lz-12(z-l)Z2-0.8Z+0.2

6-16设离散系统如图6-46所示，其中T=0.1s,K=l,,试求静态误差系数，，并求系统在

Kp、K、、Ka/«)=，作用下的稳态误差，(8)。

图6-46'闭环离散系统

解系统开环脉冲传递函数为

Tzd

G(z)=(l-z-1)Z=(l-z-，)

52(5+l)(Z-I)2(z-l)(z-e-T)

将7=0.1代入并整理得

〜、0.005(z+0.9)

G(z)=---------------------

(z-l)(z-0.905)

0.0Q5(Z4-0.9)

^=nm[l+G(zi]=lim1।=00

(z-l)(z-0.905)

()()()5z+()9

Kv=lim(z-l)G(z)=lim(z-1)<-)=0.1

Jzf(z-l)(z-0.905)

T

«(8)=——=1

&

6-17离散系统如图6-47所示，其中Z()H为零阶保持器，T=0.25S.当“。=2+/时，欲使稳态

误差小于0.I,试求K值。

图6-47闭环离散系统

解首先验证系统的稳定性

\l-e-TsyK(\-e-Ts)e-2Ts

G⑸=---------------------=-2--------------------

T—1KLz-1KTzKTzT?

G(z)=——Z

z一「丁(-1)2Zz-1

KTz-2KT

0(Z)=

z-l+KTz-zZ3-Z2+/CT

D(Z)=Z3-Z2+AT7,

Jurry：D(l)=1-1+>0=>AT>0①

2

。(-1)二一1一1+K7VO=K<—<8②

T

卬3KT0-11

卬21-10KT

vv1\-K2T2-1KT

卬°KT-1i-K2T2

KT<i^K<-=4

<T③

\-K2T2>KT

K2T2+KT-\<0解出-1.618<AT<0.618④

综合①②③④，K稳定的范围为

OvKvO.618

使稳态误差为0.1时的K值：

2zTz

/?(z)=z[2.l(r)+r]=----H--------

z-1(z-1)

系统是I型系统，阶跃输入卜.的稳态误差为零，斜坡输入卜的稳态误差为常值

K”lim(z-l)G(z)=KT

z->1

T1

I=一=-<o.i

KvK

K>10

：.K>1()时不稳定，不能使％<0.1

6-18试分别求出图6-45和图6-46所示系统的单位阶跃响应。

解(a)

e"'KT2Kn

Z亍(z+1)

①(z)=-

史二.与(1+0.5s)r2(^+1)+o.5r(z-i)

1+Z(z-1)+K

将K=10,7=0.2代入得

c、小/、D,、°.2(z+l)z0.2(Z2+Z)

C(z)=①⑶•R(z)=,——

z-0.8z+0.2z—1z，—L8z~+0.808z—0.2

=0：2z1+().56z2+0.808z3+0.934z4+0.986z5+1.002z6+A

?(/)=0.2^(/-T)I0.565(，-2T)IO.8O8bQ-3T)10.934b。—47)

+0.9863Q—57)+1.0025(/-6T)+A

(b)

T=O.I

TT0.00484(z+0.9667)

°⑶=(「2一""许

z-1(z-l)(z+0.905)

7=0.1

G(z)g0.00484(z+0.9667)

①(z)=

1+G(z)Z2-1.9Z+0.901

〜、*、小、0.00484(z+0.9667)z0.00484(z2+0.9667z)

z2-1.9z+0.901z-1z3-2.9z2+2.801z-0.901

=0.00484z-1+0.0187z-2+0.0407z-3+0.07z^+0.106z-5+0.148Z-6+A

c(r)=0.004845。-T)+0.01875(-27)+0.04075("37)+0.075("47)

+0.1063(1—57)