2026北师大版四年级下册第五单元认识方程知识点及练习题A3

引言同学们，在数学的世界里，我们常常会遇到一些需要找出“未知”数量的问题。比如，一个盒子里有多少颗糖，或者一辆车开了多快。以前，我们可能会用算术方法去倒推，但今天开始，我们要学习一种更直接、更强大的工具——方程。它能帮助我们像侦探一样，轻松破解那些含有“未知数”的谜题。这个单元，就让我们一起走进方程的世界，探索它的奥秘吧！知识点梳理一、用字母表示数在数学中，当我们遇到不知道的数，或者想概括一些普遍规律时，就可以用字母来表示这些数。这是学习方程的第一步，也是非常重要的一步。1.字母可以表示任意数：比如，我们可以用字母`a`表示一个班级的人数，用`x`表示一袋苹果的重量。字母在这里就像一个“万能替补”，可以代表各种具体的数值。2.字母可以表示运算结果：比如，小明有`a`支铅笔，小红比他多`3`支，那么小红就有`a+3`支铅笔。这里的`a+3`就表示了小红铅笔的数量，它的值会随着`a`的变化而变化。3.用字母表示常见的数量关系和计算公式：*路程=速度×时间，如果用`s`表示路程，`v`表示速度，`t`表示时间，那么这个关系就可以简洁地写成`s=v×t`。*长方形的面积=长×宽，如果用`S`表示面积，`a`表示长，`b`表示宽，那么`S=a×b`。4.含有字母的式子的书写规范：*数字和字母相乘时，乘号可以记作“·”，也可以省略不写。但要注意，省略乘号时，数字要写在字母的前面。例如：`3×x`可以写成`3·x`或`3x`，而不能写成`x3`。*字母和字母相乘时，乘号也可以省略不写，字母一般按字母表顺序书写。例如：`a×b`可以写成`ab`。*1和字母相乘时，1可以省略不写。例如：`1×x`可以写成`x`。*当字母与“1”、“-1”相乘时，“1”通常省略，但负号不能省。例如：`-1×x`可以写成`-x`。*相同字母相乘，可以写成这个字母的平方。例如：`a×a`可以写成`a²`，读作“a的平方”。*在含有字母的除法算式中，一般不用“÷”号，而是写成分数的形式。例如：`x÷5`通常写成`x/5`。*式子中出现加号、减号、除号时，运算符号不能省略。例如：`x+5`不能写成`x5`，`x-5`不能写成`x5`。二、等量关系方程的建立离不开等量关系。什么是等量关系呢？等量关系就是指数量之间具有相等的关系。例如：“小明的年龄加上5岁等于小红的年龄”，这里“小明的年龄+5”和“小红的年龄”就是相等的关系。在解决实际问题时，找到题目中的等量关系是列出方程的关键。我们可以通过以下方法来找等量关系：*根据题目中的关键句：比如“……比……多……”、“……比……少……”、“……是……的几倍”、“……一共……”、“……还剩……”等等。*根据常见的数量公式：比如路程、速度、时间的关系；单价、数量、总价的关系等。*根据事情发展的顺序或不变量：比如用一根绳子围图形，绳子的长度就是图形的周长，这就是一个不变量。例如：苹果有5个，梨比苹果多3个，梨有多少个？这里的等量关系就是：梨的个数=苹果的个数+3。三、方程的意义有了用字母表示数和等量关系的基础，我们就可以来认识方程了。1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。这个定义里有两个关键点，缺一不可：*含有未知数：也就是式子里要有我们不知道的数，通常用字母表示，比如`x`、`y`、`z`等。*是等式：式子必须用等号“=”连接，表示左右两边的数量相等。例如：`3x+5=20`（含有未知数`x`，并且是等式，所以是方程）。而`3x+5`（不是等式）或`10+5=15`（没有未知数）都不是方程。2.方程与等式的关系：*方程一定是等式。*等式不一定是方程（只有当等式中含有未知数时，它才是方程）。四、解方程（简易方程）1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，当`x=5`时，方程`2x+3=13`的左边`2×5+3=13`，右边也是13，所以`x=5`就是这个方程的解。2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。3.天平保持平衡的道理（等式的基本性质）：解方程的依据是天平保持平衡的道理，也可以说是等式的基本性质（为了便于四年级学生理解，我们从天平入手）。*性质1：天平两边同时加上或减去同一个数，天平仍然保持平衡。也就是说，等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。如果`a=b`，那么`a+c=b+c`，`a-c=b-c`。*性质2：天平两边同时乘或除以同一个不为0的数，天平仍然保持平衡。也就是说，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。如果`a=b`，那么`a×c=b×c`，`a÷c=b÷c`(c≠0)。（注：四年级下册主要涉及运用性质1以及性质2中简单的乘法情况来解方程）4.解方程的步骤和书写格式：*写“解：”。*利用天平保持平衡的道理（等式的性质），把方程逐步变形，使方程的一边只剩下未知数`x`（或其他字母），另一边是一个具体的数。*每一步变形，等号要上下对齐，保持格式的规范。*求出`x`的值后，可以口头检验一下（将`x`的值代入原方程，看左右两边是否相等），养成检验的好习惯。对于一些题目，可能会明确要求写出检验过程。例如：解方程`x+8=15`解：`x+8-8=15-8`（方程两边同时减去8）`x=7`又如：解方程`3x=18`解：`3x÷3=18÷3`（方程两边同时除以3）`x=6`再如：解方程`x-12=20`解：`x-12+12=20+12`（方程两边同时加上12）`x=32`五、用方程解决实际问题学习方程，最重要的目的是用它来解决生活中的实际问题。用方程解决问题的一般步骤可以概括为：1.审题，理解题意：弄清题目讲的是什么事情，已知哪些条件，要求什么问题。2.找出等量关系：这是列方程的关键。仔细分析题目中的数量关系，找出表示相等关系的句子或词语，并用文字关系式表示出来。3.设未知数：一般设要求的问题为未知数，通常用字母`x`表示（也可以用其他字母）。设未知数时，要写明单位名称（在设句末尾）。例如：“解：设这个数为`x`。”或“解：设苹果每千克`x`元。”4.根据等量关系列方程：把文字关系式中的各个量用已知数或含有未知数的式子表示出来，列出方程。5.解方程：求出未知数的值。6.检验并作答：*检验：把求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等；同时，还要检验这个值是否符合实际问题的意义。*作答：检验无误后，写出答案，注意单位名称要完整。例如：学校图书馆买来一批新书，借出25本，还剩42本。这批新书原来有多少本？*审题：已知借出25本，还剩42本，求原来有多少本。*找等量关系：原来的本数-借出的本数=剩下的本数*设未知数：解：设这批新书原来有`x`本。*列方程：`x-25=42`*解方程：`x-25+25=42+25``x=67`*检验：把`x=67`代入原方程，左边`67-25=42`，右边是42，左边=右边。所以`x=67`是方程的解，也符合题意。*作答：答：这批新书原来有67本。练习题一、基础巩固（一）我会填。1.苹果每千克`a`元，买了3千克苹果应付（）元，付给售货员50元，应找回（）元。2.小明今年`m`岁，爸爸的年龄比他的3倍还大2岁，爸爸今年（）岁。3.一个长方形的长是`x`厘米，宽是5厘米，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。4.简写下面各式：`a×7`=()`x×x`=()`b×1`=()`m×n`=()5.一辆汽车每小时行驶`v`千米，`t`小时行驶了（）千米。如果`v=60`，`t=2`，那么行驶的路程是（）千米。6.根据“红花的朵数比黄花多8朵”可以写出等量关系：（）的朵数+8=（）的朵数。7.方程`3x=21`的解是`x=`（）。8.当`x=`（）时，`x+18=40`。（二）我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”）1.`a²`表示两个`a`相加。（）2.方程一定是等式，等式也一定是方程。（）3.`x=0`是方程`5x=0`的解。（）4.`3+x`是方程。（）5.`a×8`可以写成`a8`。（）（三）精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里）1.下面各式中，是方程的是（）。A.`3x-0.5>1`B.`20+30=50`C.`5y=0`D.`8a-9`2.与方程`x-1.2=3.6`的解相同的方程是（）。A.`x+1.2=3.6`B.`x-3.6=1.2`C.`1.2+x=3.6`3.一个数的5倍是30，求这个数。设这个数是`x`，列方程是（）。A.`x+5=30`B.`x-5=30`C.`5x=30`D.`x÷5=30`4.长方形的周长是`C`，长是`a`，宽是（）。A.`C÷2-a`B.`(C-a)÷2`C.`C-2a`（四）解方程。（带※的要检验）1.`x+3.5=7`2.`x-6.4=10`3.`4x=16.8`4.`x÷3=2.1`※5.`2.5+x=6.3`※6.`x-3.7=2.5`（五）看图列方程，并求解。1.（一个天平，左边有一个砝码50g，一个物体xg，右边有一个砝码80g。天平平衡。）方程：_________________解：2.（线段图：第一条线段表示“故事书”，长度为x本；第二条线段表示“科技书”，长度是故事书的3倍，且标注“共120本”。）方程：_________________解：二、能力提升（列方程解决问题）1.小红买了一本故事书，付给售货员20元，找回3.5元。这本故事书多少钱？2.公园里有菊花x盆，月季花的盆数是菊花的2倍，月季花有80盆。公园里有菊花多少盆？3.学校体育室买来一些足球和篮球，其中足球有25个，比篮球多8个。篮球有多少个？4.小明看一本120页的故事书，已经看了x页，还剩48页没看。小明已经看了多少页？5.一张桌子售价120元，比一把椅子售价的3倍还多15元。一把椅子售价多少元？（先写出等量关系，再列方程解答）等量关系：_________________________________