高考题离心率问题及答案

高考题离心率问题及答案考试时间：120分钟 总分：120分 年级/班级：高三数学

高考题离心率问题及答案

一、选择题

1.已知椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），若其离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\frac{a}{b}\)的值为

A.2

B.\(\sqrt{2}\)

C.\(\sqrt{3}\)

D.\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

2.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2

B.2.5

C.3

D.4

3.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)的值为

A.1

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(\frac{3}{4}\)

D.\(\frac{2}{3}\)

4.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则其短轴长与长轴长的比值为

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{4}\)

C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

5.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则其焦点到中心的距离为

A.\(\frac{a}{2}\)

B.\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

C.\(a\)

D.\(a\sqrt{2}\)

6.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2.5

B.3

C.4

D.5

7.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)的值为

A.1

B.\(\frac{3}{4}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{2}{3}\)

8.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{2}{3}\)，则其短轴长与长轴长的比值为

A.\(\frac{1}{3}\)

B.\(\frac{1}{9}\)

C.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

D.\(\frac{\sqrt{5}}{9}\)

9.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{3}\)，则其焦点到中心的距离为

A.\(\frac{a}{3}\)

B.\(\frac{a\sqrt{8}}{3}\)

C.\(a\)

D.\(a\sqrt{8}\)

10.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2

B.2.5

C.3

D.4

二、填空题

1.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(a\)与\(b\)的关系为

2.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦点到准线的距离为

3.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)的值为

4.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则其短轴长与长轴长的比值为

5.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则其焦点到中心的距离为

6.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点到准线的距离为

7.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)的值为

8.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{2}{3}\)，则其短轴长与长轴长的比值为

9.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{3}\)，则其焦点到中心的距离为

10.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的焦点到准线的距离为

三、多选题

1.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的有

A.\(a^2=b^2+c^2\)

B.\(e=\frac{c}{a}\)

C.\(c=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

D.\(b=\frac{a}{2}\)

2.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2.5

B.3

C.4

D.5

3.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则下列说法正确的有

A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

B.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{3}{4}\)

C.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{2}{3}\)

4.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则下列说法正确的有

A.\(a^2=b^2+c^2\)

B.\(e=\frac{c}{a}\)

C.\(c=\frac{a}{2}\)

D.\(b=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

5.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则下列说法正确的有

A.\(a^2=b^2+c^2\)

B.\(e=\frac{c}{a}\)

C.\(c=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

D.\(b=\frac{a}{2}\)

6.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2.5

B.3

C.4

D.5

7.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则下列说法正确的有

A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

B.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{3}{4}\)

C.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{2}{3}\)

8.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{2}{3}\)，则下列说法正确的有

A.\(a^2=b^2+c^2\)

B.\(e=\frac{c}{a}\)

C.\(c=\frac{2a}{3}\)

D.\(b=\frac{a\sqrt{5}}{3}\)

9.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{3}\)，则下列说法正确的有

A.\(a^2=b^2+c^2\)

B.\(e=\frac{c}{a}\)

C.\(c=\frac{a}{3}\)

D.\(b=\frac{a\sqrt{8}}{3}\)

10.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的焦点到准线的距离为

A.2

B.2.5

C.3

D.4

四、判断题

1.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)。

2.椭圆的离心率\(e\)的取值范围是\((0,1)\)。

3.如果椭圆的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则其长轴长是短轴长的两倍。

4.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点到准线的距离为\(\frac{a^2}{c}\)。

5.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，则\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{2}\)。

6.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点到准线的距离为\(\frac{25}{4}\)。

7.椭圆的离心率\(e\)越接近1，椭圆越扁平。

8.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的短轴长与长轴长的比值恒为\(\frac{b}{a}\)。

9.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{1}{3}\)，则其焦点到中心的距离为\(\frac{a\sqrt{8}}{3}\)。

10.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的焦点到准线的距离为3。

五、问答题

1.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(a\)与\(b\)的关系。

2.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦点到准线的距离是多少？

3.已知点\(P(x,y)\)在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上，且\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，其中\(F_1\)和\(F_2\)为椭圆的焦点，求\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)的值。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2-b^2\)。由\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\)，即\(\frac{3}{4}=1-\frac{b^2}{a^2}\)，解得\(\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{a}{b}=2\)。

2.B

解析：椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)中，\(a^2=9\)，\(b^2=4\)，所以\(c^2=a^2-b^2=9-4=5\)，即\(c=\sqrt{5}\)。焦点到准线的距离为\(\frac{a^2}{c}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}=1.8\sqrt{5}\approx2.5\)。

3.A

解析：由椭圆的定义，\(PF_1+PF_2=2a\)。因为\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，根据勾股定理，\(PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2=4c^2\)。又因为\((PF_1+PF_2)^2=PF_1^2+PF_2^2+2PF_1\cdotPF_2=4c^2+2PF_1\cdotPF_2\)，所以\(4a^2=4c^2+2PF_1\cdotPF_2\)，即\(2a^2=2c^2+PF_1\cdotPF_2\)。又因为\(PF_1\cdotPF_2=\frac{b^2}{\sin^2(\angleF_1PF_2/2)}=\frac{b^2}{\sin^2(45^\circ)}=b^2\cdot2=2b^2\)，所以\(2a^2=2c^2+2b^2\)，即\(a^2=b^2+c^2\)。代入椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，得\(\frac{x^2}{b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。因为\(b^2=a^2-c^2\)，所以\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)。由于\(\angleF_1PF_2=90^\circ\)，所以\(x^2+y^2=b^2\)，即\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{a^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=1-e^2\)。因为\(e=\frac{c}{a}\)，所以\(e^2=\frac{c^2}{a^2}\)。所以\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1-e^2\)。因为\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(e^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)，所以\(1-e^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)。所以\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=\frac{1}{4}\)。所以\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

4.A

解析：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，所以\(c=ae\)。短轴长为\(2b\)，长轴长为\(2a\)，所以短轴长与长轴长的比值为\(\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\)。由\(e=\frac{c}{a}\)，得\(c=ae\)。由\(c^2=a^2-b^2\)，得\((ae)^2=a^2-b^2\)，即\(a^2e^2=a^2-b^2\)，即\(b^2=a^2(1-e^2)\)。所以\(\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}\)。因为\(e=\frac{1}{2}\)，所以\(e^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{b}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

5.C

解析：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，所以\(c=ae\)。由\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，得\(c=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)。焦点到中心的距离为\(c=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)。

6.B

解析：椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)中，\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，所以\(c^2=a^2-b^2=16-9=7\)，即\(c=\sqrt{7}\)。焦点到准线的距离为\(\frac{a^2}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16\sqrt{7}}{7}\approx2.5\)。

7.B

解析：由椭圆的定义，\(PF_1+PF_2=2a\)。因为\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，根据余弦定理，\(F_1F_2^2=PF_1^2+PF_2^2-2PF_1\cdotPF_2\cdot\cos(60^\circ)=PF_1^2+PF_2^2-PF_1\cdotPF_2=4c^2\)。又因为\((PF_1+PF_2)^2=PF_1^2+PF_2^2+2PF_1\cdotPF_2=4c^2+2PF_1\cdotPF_2\)，所以\(4a^2=4c^2+2PF_1\cdotPF_2\)，即\(2a^2=2c^2+PF_1\cdotPF_2\)。又因为\(PF_1\cdotPF_2=\frac{b^2}{\sin^2(\angleF_1PF_2/2)}=\frac{b^2}{\sin^2(30^\circ)}=b^2\cdot4=4b^2\)，所以\(2a^2=2c^2+4b^2\)，即\(a^2=c^2+2b^2\)。代入椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，得\(\frac{x^2}{c^2+2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{x^2}{a^2-b^2+2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，即\(\frac{x^2}{a^2+b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。由于\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，所以\(x^2+\frac{y^2}{3}=b^2\)，即\(\frac{x^2}{a^2+b^2}+\frac{y^2}{3b^2}=\frac{b^2}{a^2+b^2}\)。因为\(a^2+b^2=c^2+2b^2=a^2-b^2+3b^2=a^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+3b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{c^2+3b^2}=\frac{b^2}{a^2-b^2+3b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)。因为\(a^2=c^2+2b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{c^2+2b^2}\)。因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+2b^2}