2024-2025学年北京清华附中朝阳学校高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市清华大学附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，则f′(πA．π2 B．−π2 C．﹣12．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2 C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s23．（5分）某次放假期间，甲、乙、丙三人去厦门旅游的概率分别是13、14、A．5960 B．35 C．124．（5分）已知y＝f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（）A．x＝0和x＝2是函数y＝f（x）的两个零点 B．函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1） C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极小值，在x＝2处取得极大值 D．函数y＝f（x）的最大值为f（2），最小值为f（0）5．（5分）在(x+1A．3 B．4 C．2或3 D．3或46．（5分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为A．34 B．58 C．7167．（5分）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（）A．360 B．180 C．90 D．608．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞1，则x2f（x）＜18的解集为（）A．（﹣∞，﹣3） B．（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）10．（5分）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”，以下四个函数在（0，π2A．f（x）＝sinx+cosx B．f（x）＝lnx﹣2x C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）在(x−212．（5分）已知随机变量X服从标准正态分布N（0，1），对实数a＞0，若P（X＞a）＝0.4，则P（﹣a≤X≤0）＝．13．（10分）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξξ0123P6125ab24125则a+b的值为；则p+q的值为．14．（5分）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是f(x)=−16x15．（5分）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念．哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有种不同的站法．16．（5分）对于偶函数f(x)=sinxx+a，下列结论中正确的是①函数f（x）在x=3π2处的切线斜率为②∃x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞1；③若0＜x1＜x2＜π，则f（x1）＜f（x2）；④若∀x∈(0，π2)，都有m＜f（x）成立，则m三、解答题（共5个小题，满分0分）17．在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（Ⅲ）已知A社区心理咨询满意率为0.85社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“ξA＝1，ξB＝1，ξC＝1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“ξA＝0，ξB＝0，ξC＝0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D（ξA），D（ξB），D（ξC）的大小关系．（只需写出结论）18．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，求实数a，b的值；（2）求f（x）在[−1（3）已知a＞0，且函数f（x）的极大值是1，讨论函数f（x）的零点个数．19．在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．教育软件类型ABCDE选用教师人数1015a30b假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）20．已知函数f(x)=mlnx+1（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，求m的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：m(f(x21．已知数列A：a1，a2，⋯，an，⋯满足a1＝0，|ai+1|＝|ai+1|（i＝1，2，⋯，n，⋯），数列A的前n项和记为Sn．（1）写出S3的最大值和最小值；（2）若a5＝2，求S4的值；（3）是否存在数列A，使得S2022＝1011？如果存在，写出此时a2023的值；如果不存在，说明理由．

2024-2025学年北京市清华大学附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCBCDBDACD一、单选题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，则f′(πA．π2 B．−π2 C．﹣1【分析】可求出导函数f′（x）＝﹣xsinx，从而可求出f′(π【解答】解：∵f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx，∴f′(π故选：B．【点评】本题考查了基本初等函数、积的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2 C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝60+0.5−0.35甲地区的平均数S1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为：0.035×10＝0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2＝70+0.5−0.25乙地区的平均数S2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故选：C．【点评】本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）某次放假期间，甲、乙、丙三人去厦门旅游的概率分别是13、14、A．5960 B．35 C．12【分析】根据甲、乙、丙去厦门旅游的概率，得到他们不去厦门旅游的概率，至少有1人去厦门旅游的对立事件是没有人去厦门旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．【解答】解：因甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别为13，14，∴他们不去厦门旅游的概率分别为23，34，至少有1人去厦门旅游的对立事件是没有人去厦门旅游，∴至少有1人去厦门旅游的概率为P＝1−2故选：B．【点评】本题考查相互独立事件和对立事件的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．4．（5分）已知y＝f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（）A．x＝0和x＝2是函数y＝f（x）的两个零点 B．函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1） C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极小值，在x＝2处取得极大值 D．函数y＝f（x）的最大值为f（2），最小值为f（0）【分析】由f′（x）的正负性可以确定函数f（x）的单调性以及极值点，可判断BC，但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定．【解答】解：根据图象可知，0＜x＜2时，导函数f′（x）＞0，x＜0或x＞2时，导函数f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，则当x＝0时，f（x）取极小值，当x＝2时，f（x）取极大值，故B错误，C正确，由图只能确定函数f（x）的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故AD无法确定．故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．5．（5分）在(x+1A．3 B．4 C．2或3 D．3或4【分析】首先根据二项式系数最大值问题求n，再根据第r+1项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解．【解答】解：由于展开式仅有第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则n＝8，(x+12x)8的展开式的通项公式设展开式中系数最大项是Tr+1，则12即2⋅8!解得2≤r≤3，而r∈N，因此r＝2或r＝3，T3=1所以展开式中系数最大的项是第3或4项．故选：D．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（5分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为A．34 B．58 C．716【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为3则他第2球投进的概率为：p=3故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（）A．360 B．180 C．90 D．60【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的5本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得．【解答】解：唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，不妨记三位同学分别为甲、乙、丙，首先甲从除语文练习册外的5本书中任意拿两本，则有C5再乙从剩下的四本书中拿两本，则有C4最后将剩下的两本给丙即可，按照分步乘法计数原理可知一共有10×6＝60种不同的分配方法．故选：D．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1x+2a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，故a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，由f（x）递增，得a＞0或a＝0，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道常规题．9．（5分）设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞1，则x2f（x）＜18的解集为（）A．（﹣∞，﹣3） B．（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】先构造函数g（x）＝x2f（x），再利用函数单调性解不等式．【解答】解：令函数g（x）＝x2f（x），因为函数f（x）是R上可导的偶函数，所以g（x）＝x2f（x）在R上也是偶函数又当x＞0时，2f（x）+xf′（x）＞1，所以2xf（x）+x2f′（x）＞x＞0，所以g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞x＞0，所以g（x）＝x2f（x）在（0，+∞）上是增函数，因为f（3）＝2，由x2f（x）＜18，得x2f（x）＜18＝32f（3），即不等式转化为g（x）＜g（3），所以x不为0时有|x|＜3，而x为0时，不等式显然成立，所以不等式的解集为（﹣3，3）．故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”，以下四个函数在（0，π2A．f（x）＝sinx+cosx B．f（x）＝lnx﹣2x C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x【分析】先对已知函数二次求导，结合已知定义检验各选项即可判断．【解答】解：A，f′（x）＝cosx﹣sinx，f″（x）＝﹣sinx﹣cosx＜0在（0，π2B，f′(x)=1x−2，f″(x)=−C，f′（x）＝﹣3x2+2，f″（x）＝﹣6x在（0，π2D，f′（x）=x−1ex，f″（x）=故选：D．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数求导公式及求导法则的应用，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）在(x−2【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：(x−2令92−3故常数项为C9故答案为：﹣672．【点评】本题主要考查二项式定理，是基础题．12．（5分）已知随机变量X服从标准正态分布N（0，1），对实数a＞0，若P（X＞a）＝0.4，则P（﹣a≤X≤0）＝0.1．【分析】由正态分布的对称性即可得出答案．【解答】解：由题可得：对称轴X＝0，故P（X＜﹣a）＝P（X＞a）＝0.4，则P(−a≤X≤0)=1−0.4×2故答案为：0.1．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．13．（10分）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξξ0123P6125ab24125则a+b的值为1925；则p+q的值为1【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及分布列的性质，即可求解．【解答】解：由题意可得，P（ξ＝0）=(1−45P（ξ＝3）=45联立①②并结合p＞q，解得p=35，q故p+q=3a=4b＝P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）=58a+b=37故答案为：1925【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及分布列的性质，属于中档题．14．（5分）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是f(x)=−16x【分析】根据题设有利润g（x）＝f（x）﹣2﹣x且0≤x≤10，再应用导数求其最值，即可得解．【解答】解：由题意，利润g（x）＝f（x）﹣2﹣x且0≤x≤10，所以g(x)=−16x当0≤x＜5时，g'（x）≥0，即g（x）在[0，5）上单调递增；当5＜x≤10时，g'（x）＜0，即g（x）在（5，10]上单调递减，所以x＝5万千克，利润最大．故答案为：5．【点评】本题考查导数的综合应用，属于简单题．15．（5分）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念．哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有24种不同的站法．【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案．【解答】解：已知哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人站第4位置，余下的两人站余下的位置，此时有A2同理，若哪吒和敖丙站第3、4位置，此时有A2若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人站第3或第4位置，余下的两人站余下的位置，此时有2A同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有2A综上可得，共有4+4+8+8＝24种站法．故答案为：24．【点评】本题考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．16．（5分）对于偶函数f(x)=sinxx+a，下列结论中正确的是①④①函数f（x）在x=3π2处的切线斜率为②∃x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞1；③若0＜x1＜x2＜π，则f（x1）＜f（x2）；④若∀x∈(0，π2)，都有m＜f（x）成立，则m【分析】根据奇偶性得出a的值，再求导即可判断①；构造g（x）＝sinx﹣x，x＞0，研究其最值即可判断②；构造h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π），判断f（x）在（0，π）上的单调性即可判断③④．【解答】解：因为f(x)=sinx所以定义域必关于原点对称，又因为函数的定义域为（﹣∞，﹣a）∪（﹣a，+∞），所以a＝0，经检验当a＝0时，f（x）为偶函数，对于①，因为f(x)=sinx所以f′(x)=xcosx−sinx所以f′(3π2)=对于②，令g（x）＝sinx﹣x，x＞0，则g′（x）＝cosx﹣1≤0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＜g（0）＝0，即sinx＜x（x＞0），即sinxx＜1(x＞0)，故对于③，令h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π），则h′（x）＝﹣xsinx＜0，则h（x）在（0，π）上单调递减，则h（x）＜h（0）＝0，f′（x）＜0，即f（x）在（0，π）上单调递减，故③错误；对于④，因为f（x）在(0，π2)因为∀x∈(0，π2)，都有m＜f（x）成立，则m≤故答案为：①④．【点评】本题考查了偶函数及三角函数的性质，考查了导数的综合运用，属于中档题．三、解答题（共5个小题，满分0分）17．在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（Ⅲ）已知A社区心理咨询满意率为0.85社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“ξA＝1，ξB＝1，ξC＝1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“ξA＝0，ξB＝0，ξC＝0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D（ξA），D（ξB），D（ξC）的大小关系．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用古典概型概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率，得出X的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；（Ⅲ）根据方差的意义进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D，P（D）=30所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自A社区，并且参与社区消毒工作的概率为337（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）=7P（X＝1）=3P（X＝2）=3P（X＝3）=3X的分布列为：X0123P1445491990130（Ⅲ）D（ξA）＞D（ξC）＞D（ξB）．【点评】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题．18．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，求实数a，b的值；（2）求f（x）在[−1（3）已知a＞0，且函数f（x）的极大值是1，讨论函数f（x）的零点个数．【分析】（1）求导，由题意可知f′(1)=0f(1)=−4，解得a，b（2）求导，分a＝0，a＜0，a＞0三种情况讨论，分别求出f（x）的单调区间，作出图象，数形结合讨论即可求解；（3）由（2）可求出函数f（x）的极值，通过讨论极值即可判断零点个数．【解答】解：（1）因为f（x）＝2x3﹣ax2+b，因此f′（x）＝6x2﹣2ax，因为函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，因此f′(1)=6−2a=0f(1)=2−a+b=−4，解得a=3此时f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），由f′（x）＝0，得到x＝0或x＝1，当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，因此当x＝1时，f（x）取到极小值，符合题意．因此a＝3，b＝﹣3．（2）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f′（x）＝0，则x＝0或x=a若a＝0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则f（x）在[−13，43此时f（x）在[−13，因为当x＝0时，f（0）＝b，由2x3﹣ax2+b＝b，得到x＝0或x=a当x=a3时，由2x3−ax2解得x=−a6或若a＞0，当x＜0或x＞a3时，f′（x）＞0，当0＜x＜a3时，因此f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），(a3，+∞)不妨假设b＞0，其图象如图1，当−13≤−a当−13≤−f（x）在[−13，最大值为f(4当−13＞−又f(4因此f（x）在[−13，43]上的最小值为当−13＞−a6a3≤43≤a2，即8当−13＞−a643＞a2，即2＜a＜8若a＜0，当x＜a3或x＞0时，f′（x）＞0，当a3＜x＜0时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递增区间为(−∞，a3)，（0，+∞）；单调递减区间为(当−13≤a243≤−f（x）在[−13，43当a2＜−13≤a34f（x）在[−13，43]上的最小值为当−13＞a3因此f（x）在[−13，43]上的最小值为当−13＞a343＞−a6，即﹣8＜a＜﹣1时，f（综上，当a＞4时，f（x）在[−13，当4≥a≥83时，f（x）在[−1当2＜a＜83时，f（x）在[−1当−23≤a≤2时，f（x）在[−当−1≤a＜−23时，f（x）在[−1当﹣8＜a＜﹣1时，f（x）在[−13，当a≤﹣8时，f（x）在[−13，（3）由（2）可知，当a＞0，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），(a3，+∞)当x＝0时，函数f（x）取到极大值，即f（0）＝b＝1＞0，因此f（x）＝2x3﹣ax2+1，当x=a3时，函数f（x）取到极小值，即又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，因此当−a327+1＞0，即0＜a＜3时，当−a327+1=0，即a＝3时，当−a327+1＜0，即a＞3时，【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．19．在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．教育软件类型ABCDE选用教师人数1015a30b假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由统计表知a+b＝45，某校共有300名教师，由此能估计该校教师中使用教育软件C或E的人数．（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为310，记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，由此能估计这3人中至少有2人使用教育软件D（Ⅲ）P1=a+30100，由a+b＝45，a＞b，ab∈N．得23≤a≤44，从而53100≤P1≤3750；由题意可得P2=12＜P1，从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为【解答】解：（Ⅰ）由统计表知：a+b＝100﹣10﹣15﹣30＝45，若某校共有300名教师，则估计该校教师中使用教育软件C或E的人数为：300×45（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，由题意，样本中100名教师使用教育软件D的人数为30人，频率为30100由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为310记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，∴估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率为：P（I）＝P（X＝2）+P（X＝3）=C=27（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1，则P1=a+30100，∵a+b＝45，a＞b，a、b∈N．所以23≤所以12＜53100该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2，则P2=200+100从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3，则P3=3000×令P3＞P1，即a+2080＞a+30又因为23≤a≤44，显然P3＞P1恒成立，所以P3＞P1＞P2．【点评】本题考查频数、概率的运算，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20．已知函数f(x)=mlnx+1（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，求m的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：m(f(x【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；（2）对f（x）求导，得f′(x)=x2−x+mx，令u（x）＝x2﹣x+（3）根据条件，利用（2）中结果，得0＜m＜14，且x1+x2＝1，x1x2＝m，从而将问题转化成证明mlnm+1m−1＞0在区间(0，【解答】解：（1）因为f′(x)=mx+x−1，由题知f所以m的值为0．（2）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=m令u（x）＝x2﹣x+m，则Δ＝1﹣4m，当Δ＜0，即m＞14时，u（x）＝x2﹣x+m＞0恒成立，f′（x）＞0，f（当Δ＝0