2024-2025学年北京顺义一中高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有（）A．11条 B．14条 C．16条 D．48条2．（4分）等差数列{an}中，a2＝6，a8＝14，则前9项和S9＝（）A．30 B．45 C．60 D．903．（4分）在(x−2A．﹣24 B．24 C．﹣48 D．484．（4分）盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（）A．9 B．8 C．7 D．65．（4分）设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3A．3 B．4 C．72 D．6．（4分）已知函数f（x）＝ln（2x+1）•cosx，则函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x B．y＝0 C．y＝x﹣1 D．y＝2x7．（4分）由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为（）A．6 B．10 C．12 D．248．（4分）“a＞4”是函数“f(x)=lnx+aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）已知函数f(x)=1①f（x）的递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞）；②函数F（x）＝f（x）﹣1有三个零点；③函数f（x）的图像关于(1，−2④过点P(2，−32)存在三条直线和y＝f其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）已知函数f(x)=1x，0＜x≤1，x−1，x＞1.数列{an}满足a1＝m（m＞0），an+1＝f给出下列四个结论，其中正确的是（）A．若a3＝5，则m有4个不同的可能取值 B．若an+5=aC．对于任意m＞2，存在正整数T，使得an+TD．对于任意大于2的正整数T，存在m＞1，使得a二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知{an}是等差数列，且a2＝1，a1+a5＝6，则{an}的通项公式an＝．12．（10分）若(1−3x)4=a0+a1x+a2x2+13．（5分）三个数a＝1.01，b＝e0.01，c＝ln2.01从小到大排列的顺序是．14．（10分）现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有种分配方式．15．（5分）已知函数f(x)=a①存在实数a，使函数f（x）的值域是R；②存在实数a，使得f（x）有最小值；③对任意实数a，f（x）至少存在两个零点；④存在a＜0，有x0∈（1，+∞），使得f（x0）＝﹣f（﹣x0）；其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共6个试题，总分85分）16．已知{an}为等差数列，且a2＝3，a6＝11．（1）求{an}的通项公式；（2）若各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝3，b3＝a3+a4，求{an+bn}的前n项和公式．17．在(x+2x（1）求n的值；（2）求展开式中的含x3项的系数；（3）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，如不存在，请说明理由．18．设Sn是各项为正数的数列{an}的前n项和，且满足_____．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝log2（Sn+1），求数列{1bnbn+1}从①Sn＝2an﹣1；②an+1an−1=an2，a1=1，a三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．19．设函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+b，曲线y＝f（x）在A（0，f（0））处的切线方程为y＝0．（1）求a，b的值；（2）证明：当x≥0时，f（x）≥0；（3）若g（x）＝f（x）﹣mx（m∈R）有三个零点，写出m的范围．（直接写出结果）20．已知函数f(x)=lnx+ax，(a∈R)，直线l是曲线y＝f（x）在点（t，f（t（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在经过点（0，0）有两条l，求实数a的取值范围；（3）当a＝1时，设点A（t，f（t））（t＞0），O（0，0），B为l与y轴的交点，S△AOB表示△AOB的面积．求S△AOB的最小值．21．设正整数n≥2，对于数列A：a1，a2，⋯，an，定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知数列A0：a1，a2，…，an满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．记Ak+1＝T（Ak），（k＝0，1，2，…）（1）若A0：1，1，﹣1，写出数列A1，A2；（2）若n为奇数且A0不是常数列，求证：对任意正整数k，Ak都不是常数列；（3）若n（n≥2）时，对任意A0，都存在正整数k，使得Ak为常数列，则称这个正整数n为“好数”，试指出n＝4，6，8三个数中的“好数”．

2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDBACDBCCD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有（）A．11条 B．14条 C．16条 D．48条【分析】先分类，再分步，即可求出答案．【解答】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3＝6种，第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2＝8种，根据分类计数原理可得，共有6+8＝14种，故从甲地到丁地共有14条不同的路线．故选：B．【点评】本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题．2．（4分）等差数列{an}中，a2＝6，a8＝14，则前9项和S9＝（）A．30 B．45 C．60 D．90【分析】由等差数列的性质以及求和公式求解即可得答案．【解答】解：由等差数列的性质知，a2+a8＝a1+a9＝20，由求和公式可得S9故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．3．（4分）在(x−2A．﹣24 B．24 C．﹣48 D．48【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：在(x−2x)4的展开式中，通项公式为Tr+1=C4r令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为T3=C故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4．（4分）盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】先计算出总的取法数，然后减去没有黑球的取法数，利用组合数求解出结果．【解答】解：盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数等于总的取法数减去没有黑球的取法数，即C5所以至少有1个黑球的取球种数是9种．故选：A．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．5．（4分）设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3A．3 B．4 C．72 D．【分析】设等比数列{an}的首项为a1，由求和公式和通项公式可得S3和a2，代入要求的式子可得答案．【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，则S3故选：C．【点评】本题考查等比数列的求和公式，熟记公式是解决问题的关键，属基础题．6．（4分）已知函数f（x）＝ln（2x+1）•cosx，则函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x B．y＝0 C．y＝x﹣1 D．y＝2x【分析】利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可．【解答】解：因为f（x）＝ln（2x+1）•cosx，所以f′(x)=2cosx所以f（0）＝0，f′（0）＝2，所以所求切线方程为y﹣0＝2（x﹣0），即y＝2x．故选：D．【点评】本题考查函数的切线的求解，属基础题．7．（4分）由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为（）A．6 B．10 C．12 D．24【分析】通过个位数是0或2分类讨论即可．【解答】解：若个位数为2，则三位偶数的个数为A3若个位数为0，则三位偶数的个数为A3所以由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为6+4＝10．故选：B．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．8．（4分）“a＞4”是函数“f(x)=lnx+aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】求导后令f′（x）＝0，结合判别式和韦达定理分析可得答案．【解答】解：f(x)=lnx+ax−则f′(x)=1x−令f′（x）＝0，即x2﹣ax+4＝0，Δ＝a2﹣16，x1+x2＝a，x1x2＝4，若a＞4，则函数f′（x）有两个正根，即有两个变号零点，此时函数f（x）存在极大值和极小值；当a≤4时，方程x2﹣ax+4＝0无正根或仅有一个重根，此时函数f（x）不可能同时存在极大值和极小值；综上，“a＞4”是函数“f(x)=lnx+a故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．9．（4分）已知函数f(x)=1①f（x）的递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞）；②函数F（x）＝f（x）﹣1有三个零点；③函数f（x）的图像关于(1，−2④过点P(2，−32)存在三条直线和y＝f其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求导后分析单调性可得①正确；利用极值数形结合可得②错误；利用f(x)+f(2−x)=−43可得设切点由导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式得到方程然后构造函数g（a）求导分析极值数形结合可得④正确．【解答】解：对于①，导函数f′（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，因此函数f（x）的递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），所以①正确；对于②，根据①可得极值点f(2)=−43，因此f（x）﹣1＝0的解即函数y＝f（x）与函数y＝1的交点，只有一个，因此②错误．对于③，函数f(x)+f(2−x)==1=1因此对称中心为(1，−23)对于④，设切点为（a，f（a）），那么f(a)=13a3−a2，导函数f因此切线方程为y−(1代入点P(2，−32)整理可得4a3﹣18a2+24a﹣9＝0，令函数g（a）＝4a3﹣18a2+24a﹣9，那么导函数g′（a）＝12a2﹣36a+24＝12（a2﹣3a+2）＝12（a﹣1）（a﹣2），因此极值点为a＝1或2，且g（2）＝﹣1，g（1）＝1，因此g（a）与y＝0有三个交点，所以方程有三个根，因此过点P(2，−32)存在三条直线和y＝f（x故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．10．（4分）已知函数f(x)=1x，0＜x≤1，x−1，x＞1.数列{an}满足a1＝m（m＞0），an+1＝f给出下列四个结论，其中正确的是（）A．若a3＝5，则m有4个不同的可能取值 B．若an+5=aC．对于任意m＞2，存在正整数T，使得an+TD．对于任意大于2的正整数T，存在m＞1，使得a【分析】对A，由已知得an+1=1an，0＜an≤1an−1，an＞1，若a3＝5，分别对a2，a1分类讨论即可判断；对B，若m=2−3，求得a2，a3，a4，【解答】解：函数f(x)=1x，0＜x≤1，x−1，x＞1.数列{an}满足a1＝m（m＞0），an+1＝f对于A，有an+1若a3＝5，当a2＞1时，a2﹣1＝a3＝5，解得a2＝6．当a1＝m＞1时，则a1﹣1＝a2＝6，解得a1＝7，当a1＝m＜1时，则1a1=当a2＜1时，1a2=当a1＝m＞1时，则a1−1=a当a1＝m＜1时，则1a1=a综上可得：m可以取3个不同的值：7，16，65，故对于B，an+5=an若m=2−3，因0＜2−则a2=1a1a5=a4−1=对于C，当m＝3时，a2＝a1﹣1＝2，a3＝a2﹣1＝1，a4所以不存在正整数T，an+T=a对于D，先考虑数列{an}的周期性，对于a1=k+a，k∈N∗，0＜a≤1，则a2＝a1﹣1＝k﹣1+a，a3＝a2⋯⋯，ak+1＝a，ak+2=1a则有1a=k+a，解得从而存在m＝k+a，使得数列{an}是周期数列，周期为k+1，从而要使周期为T，只需T＝k+1，即k＝T﹣1即可，故D正确．故选：D．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，属于难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知{an}是等差数列，且a2＝1，a1+a5＝6，则{an}的通项公式an＝2n﹣3．【分析】由等差数列的通项公式求解可得答案．【解答】解：设{an}的公差为d，因为a1+a5＝6，a2＝1，所以2a1+4d＝6，a1+d＝1，解得a1＝﹣1，d＝2，故{an}的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．故答案为：2n﹣3．【点评】本题主要考查求等差数列的通项公式，属于基础题．12．（10分）若(1−3x)4=a0+a1x+a2x2+【分析】赋值令x＝0可得；先令x＝1，再令x＝﹣1，之后作差可得．【解答】解：已知(1−3x)令x＝0可得（1﹣3×0）4＝a0⇒a0＝1；令x＝1可得（﹣2）4＝a0+a1+a2+a3+a4，令x＝﹣1可得44＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4，两式相减可得a1故答案为：1；﹣120．【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了赋值法，属基础题．13．（5分）三个数a＝1.01，b＝e0.01，c＝ln2.01从小到大排列的顺序是b＞a＞c．【分析】构造两个函数f（x）＝ex﹣x﹣1、g（x）＝x﹣ln（x+1），利用导数即可比较大小关系．【解答】解：令函数f（x）＝ex﹣x﹣1，那么导函数f′（x）＝ex﹣1，当x≥0时，导函数f′（x）≥0，那么函数单调递增，那么f（0.01）＝e0.01﹣0.01﹣1＞f（0）＝0，即e0.01＞1.01，因此b＞a；令函数g（x）＝x﹣ln（x+1），那么导函数g′(x)=1−1当x≥0时，导函数f′（x）≥0，那么函数单调递增，那么g（1.01）＝1.01﹣ln2.01＞g（0）＝1，所以1.01＞ln2.01，即a＞c．故答案为：b＞a＞c．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．14．（10分）现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有36种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有100种分配方式．【分析】利用捆绑法、插空法可得第一空答案；利用间接法、分类讨论可得第二空答案．【解答】解：现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，王医生和李医生必须相邻看作一个元素，有A2将这个元素与除张医生外的医生排列，有A3因为张医生和王医生不相邻，所以张医生只能插入到除了和王医生相邻的空位之外的3个空位中，有3种方式，根据分步乘法计数原理可得站队的总顶点方式共有A2若五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，则每组人数可能为1，2，2或3，1，1，分配方式共有C5假设只有张医生去甲地，则剩下的4位医生分成两组分别去另外两地，两组的人数分别为2，2或1，3，则有C4假设张医生和另外两位医生去甲地，则剩下的2位医生分成两组分别去另外两地，两组的人数为1，1，则有C4假设张医生和另外一位医生去甲地，则剩下的3位医生分成两组分别去另外两地，两组的人数分别为1，2，则有C4则张医生去甲地共有14+24+12＝50种分配方式．所以张医生不去甲地，则共有150﹣50＝100种分配方式．故答案为：①36；②100．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．15．（5分）已知函数f(x)=a①存在实数a，使函数f（x）的值域是R；②存在实数a，使得f（x）有最小值；③对任意实数a，f（x）至少存在两个零点；④存在a＜0，有x0∈（1，+∞），使得f（x0）＝﹣f（﹣x0）；其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断①；根据a＞0时，根据二次函数的性质，结合函数性质即可判断②，根据a＝1即可判断③，构造g(x)=−2ex【解答】解：函数f(x)=a当a＞0时，当x＜1时，f（x）＝ax2﹣2x为开口向上的二次函数，f(1故此时f（x）的值域为[−1而x≥1时，f(x)=axex＞0，且当x→+∞时，f（x）→0，故此时f（当a＜0时，当x＜1时，f（x）＝ax2﹣2x为开口向下的二次函数，f(1故此时f（x）的值域为(−∞，−1a]的子集，而x≥1时，f(x)=axex＜0当a＝0时，f(x)=−2x，x＜1，0，x≥1f（x）值域为（﹣∞，﹣2）∪{1}，不为因此f（x）值域不可能为R，故①错误；当a＞0时，当x＜1时，f（x）＝ax2﹣2x为开口向上的二次函数，f(1故此时f(x)min=f(1a综上可得a＞0时，f(x)min=f(当a＝1时，当x＜1时，f（x）＝x2﹣2x，此时f（x）在（﹣∞，1）单调递减，此时f（0）＝0，f（x）只有一个零点，当x≥1时，f(x)=xex＞0，此时故当a＝1时，f（x）只有一个零点，故③错误，当x＞1时，−x＜−1，f(x)=axex，f(−x)=ax2+2x，若f（x）＝﹣f令g(x)=−2ex1+xe故g（x）在x＞1上单调递增，故g(x)＞g(1)=−2e故当−2e1+e＜a＜0时，此时g(x)=−2ex1+xex=a在x＞1上有实数根，因此存在x0∈（1，+∞），使得f（x故答案为：②④．【点评】本题考查分段函数，考查利用导数研究函数的综合应用问题，属于难题．三、解答题（本题共6个试题，总分85分）16．已知{an}为等差数列，且a2＝3，a6＝11．（1）求{an}的通项公式；（2）若各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝3，b3＝a3+a4，求{an+bn}的前n项和公式．【分析】（1）利用公式d=a6−a26−2以及an＝a（2）先根据条件得出等比数列{bn}的公比，再分别计算等比数列和等差数列的前n项和，最后按照分组求和即可求得．【解答】解：（1）{an}为等差数列，且a2＝3，a6＝11．由题意可得d=a则an＝a2+（n﹣2）d＝3+2（n﹣2）＝2n﹣1；（2）各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝3，b3＝a3+a4，设等比数列{bn}的公比为q，由b3＝a3+a4＝5+7＝12，b1＝3，则q2因等比数列{bn}各项均为正数，则q＝2，则数列{bn}的前n项和为b1又因数列{an}的前n项和为(a则数列{an+bn}的前n项和为3（2n﹣1）+n2．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式及求和公式的应用，属于中档题．17．在(x+2x（1）求n的值；（2）求展开式中的含x3项的系数；（3）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，如不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得二项式系数的和为2n＝32，计算即可；（2）先根据二项式通项公式得Tr+1=C（3）令5−r2=0【解答】解：在(x+2x（1）根据题意有2n＝32，所以n＝5．（2）因为在(x+2x)5令5−r2=3所以含x3项的系数为：24（3）令5−r2=0因为r＝0，1，2，⋯，5所以方程5−r2=0因此，展开式中不存在常数项．【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．18．设Sn是各项为正数的数列{an}的前n项和，且满足_____．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝log2（Sn+1），求数列{1bnbn+1}从①Sn＝2an﹣1；②an+1an−1=an2，a1=1，a三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【分析】（1）选①，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；选②③，判定等比数列，再求出通项公式．（2）由（1）求出Sn，进而求出bn，再利用裂项相消法求和．【解答】解：（1）选择①，Sn＝2an﹣1，当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，则an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），整理得an＝2an﹣1，而a1＝S1＝2a1﹣1，即a1＝1，因此数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an选择②，依题意，an＞0，由an+1由等比数列的性质可知，数列{an}是等比数列，由a1＝1，a4＝8，得q3＝8，解得q＝2，所以an选择③，由a1＝1，an+1＝2an，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an（2）由（1）知，Sn=2n−12−1=2n−1，则所以1b所以Tn【点评】本题主要考查了数列递推关系的应用，等比数列定义及通项公式的应用，还考查了裂项求和，属于中档题．19．设函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+b，曲线y＝f（x）在A（0，f（0））处的切线方程为y＝0．（1）求a，b的值；（2）证明：当x≥0时，f（x）≥0；（3）若g（x）＝f（x）﹣mx（m∈R）有三个零点，写出m的范围．（直接写出结果）【分析】（1）由题意得到f(0)=0f′(0)=0（2）通过二次求导，确定函数单调性即可求证；（3）求导，确定导数为0的点，通过单调性，极值的正负，进而可求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝（x﹣a）ex+x+b，所以f′（x）＝（x﹣a）ex+ex+1，由题意可得：f(0)=0f′(0)=0即−a+b=0−a+2=0，解得a=2所以a＝2，b＝2；（2）证明：由（1）可知，f（x）＝（x﹣2）ex+x+2，求导可到f′（x）＝（x﹣1）ex+1，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝xex，易知当x≥0时，g′（x）＝xex≥0恒成立，所以g（x），即f′（x）＝（x﹣1）ex+1在[0，+∞）单调递增，又f'（0）＝0，所以f′（x）≥0恒成立，所以f（x）＝（x﹣2）ex+x+2在[0，+∞）单调递增，又f（0）＝0，所以f（x）≥f（0）＝0；（3）因为g（x）＝f（x）﹣mx＝（x﹣2）ex+（1﹣m）x+2有三个零点，需满足g′（x）＝（x﹣1）ex+1﹣m有两个变号零点，令（x﹣1）ex+1﹣m＝0，即（x﹣1）ex＝m﹣1，构造函数w（x）＝（x﹣1）ex，则w′（x）＝xex，易知当x＞0时，w′（x）＝xex＞0，此时w（x）＝（x﹣1）ex在（0，+∞）单调递增，当x＜0时，w′（x）＝xex＜0，此时w（x）＝（x﹣1）ex在（﹣∞，0）单调递减，所以w（x）在x＝0取得最小值，且w（0）＝﹣1，且当x趋于﹣∞时，w（x）＝（x﹣1）ex趋于0，且w（x）＜0，当x趋于+∞时，w（x）＝（x﹣1）ex趋于+∞，作出函数图象，如图所示：所以g′（x）＝（x﹣1）ex+（1﹣m）＝0，即（x﹣1）ex＝m﹣1有两根，需满足﹣1＜m﹣1＜0，即0＜m＜1，设两根为x1＜x2，由图可知x1＜0＜x2＜1，当x＜x1时，g′（x）＞0，当x1＜x＜x2，g′（x）＜0，当x＞x2时，g′（x）＞0，所以g（x）＝（x﹣2）ex+（1﹣m）x+2在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减，因为g（0）＝0，所以极大值g（x1）＞0，极小值g（x2）＜0，所以当0＜m＜1，函数g（x）＝（x﹣2）ex+（1﹣m）x+2存在三个零点．所以m∈（0，1）．【点评】本题考查了导数的几何意义、综合运用，考查了转化思想及数形结合思想，属于难题．20．已知函数f(x)=lnx+ax，(a∈R)，直线l是曲线y＝f（x）在点（t，f（t（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在经过点（0，0）有两条l，求实数a的取值范围；（3）当a＝1时，设点A（t，f（t））（t＞0），O（0，0），B为l与y轴的交点，S△AOB表示△AOB的面积．求S△AOB的最小值．【分析】（1）求出导数，在定义域内通过讨论a求得函数f（x）的单调区间；（2）由导数求出切线斜率得到切线方程，带点（0，0）到直线方程得到方程，问题转化为g(t)=lnt+2at−1（3）代入a＝1得到函数解析式，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得B点坐标，然后得到三角形面积，利用导数求得三角面积最小值．【解答】解：（1）f(x)=lnx+ax，(a∈R)，导函数f′(x)=1当a≤0时，导函数f′(x)=x−ax2＞0，因此函数当a＞0时，若0＜x＜a，导函数f′（x）＜0，那么函数f（x）在（0，a）上单调递减，若x＞a，f′（x）＞0，那么函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由于函数f(x)=lnx+ax，导函数y＝f（x）在点（t，f（t））（t＞0）处的切线l的方程为y−(lnt+a由于切线l经过点（0，0），因此0−(lnt+at)=令函数g(t)=lnt+2a又存在经过点（0，0）有两条切线l，即函数g(t)=lnt+2a导函数g′(t)=1当a≤0时，导函数g′（t）＞0，因此函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，函数g（t）不可能有两个零点，当a＞0时，根据导函数g′（t）＝0，得t＝2a，当0＜t＜2a时，g′（t）＜0，那么函数g（t）在（0，2a）上单调递减，若t＞2a，g′（t）＞0，那么函数g（t）在（2a，+∞）上单调递增，因此函数g（t）在t＝2a时取得极小值，即最小值g(2a)=ln(2a)+2a令ln（2a）＜0，解得0＜a＜1又当t→+∞时，g（t）→+∞，当t→0+时，g（t）→+∞，因此a∈(0，1（3）当a＝1时，函数f(x)=lnx+1x，导函数那么函数f(t)=lnt+1t，导函数直线l为y−(lnt+1令x＝0，得y=lnt+2−tt，即又因为O（0，0），A(t，lnt+1因此S△AOB令h（t）＝tlnt﹣t+2，t＞0，h′（t）＝lnt+1﹣1＝lnt，则当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）在（0，1）上单调递减，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以h（t）在t＝1处取得极小值，即最小值h（1）＝ln1﹣1+2＝1，则S△AOB所以当t＝1时，S△AOB取得最小值12【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．21．设正整数n≥2，对于数列A：a1，a2，⋯，an，定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知数列A0：a1，a2，…，an满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．记Ak+1＝T（Ak），（k＝0，1，2，…）（1）若A0：1，1，﹣1，写出数列A1，A2；（2）若n为奇数且A0不是常数列，求证：对任意正整数k，Ak都不是常数列；（3）若n（n≥2）时，对任意A0，都存在正整数k，使得Ak为常数列，则称这个正整数n为“好数”，试指出n＝4，6，8三个数中的“好数”．【分析】（1）由题意，直接写出答案；（2）利用反证法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种变换