2024-2025学年北京铁路二中高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市西城区铁路二中高二（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知函数f(x)=sinπ3，则f′（A．0 B．cosπ3 C．−cosπ2．（4分）在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．83．（4分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件4．（4分）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（）A．15 B．16 C．49 D．645．（4分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14 B．21 C．28 D．356．（4分）观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）7．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．638．（4分）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（）A．16 B．13 C．239．（4分）设a∈R，若函数y＝eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞−13 D．10．（110分）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（）A．取出的最大号码X不服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为114D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝．12．（5分）若函数f（x）=x2+ax+1在x＝1处取极值，则13．（5分）若曲线f（x）＝ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的一个值可以是．14．（10分）一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数，则EX＝；若DX＝2.1，则n＝．15．（5分）记数列{an}满足：an+1+(−1)nan=n，a①a3＝0②S9﹣S7＝7③若n为奇数，则S④a100+a2025＝100三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1+2a2＝3a3．（1）求q的值；（2）设{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn．当n≥2时，试比较bn与Tn的大小．17．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）过原点作曲线y＝f（x）的切线，求该切线的方程；（2）设g（x）＝x2+f（x），求g（x）在[118．甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．（1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；（2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．19．已知函数f（x）＝ln（ax）﹣2x2（a≠0）．（1）若a＝1时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．20．为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛．比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目．每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目．每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金．假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为23，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为3（1）设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P（A）；（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列；（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平．某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额．21．已知函数f（x）＝eax+1ln（x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）有最大值；（3）证明：当a＜0时，对任意m＞0，都存在正整数x0，使得0＜f（x0）＜m．

2024-2025学年北京市西城区铁路二中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AACACACBBC一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知函数f(x)=sinπ3，则f′（A．0 B．cosπ3 C．−cosπ【分析】利用导数公式求出导数，进而求出指定点的导数值．【解答】解：根据题意，f(x)=sinπ3，其导数f′（x）＝（sin所以f′（π）＝0．故选：A．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．2．（4分）在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：a∴q＝2故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．3．（4分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．【解答】解：令导数y′＝﹣x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′＝﹣x2+81＜0，解得x＞9，所以函数y=−13x3+81在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x＝9处取极大值，也是最大值．故选：C．【点评】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题．4．（4分）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（）A．15 B．16 C．49 D．64【分析】直接根据an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．【解答】解：a8＝S8﹣S7＝64﹣49＝15，故选：A．【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．5．（4分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14 B．21 C．28 D．35【分析】由等差数列的性质和题意求出a4的值，再由等差数列的性质化简所求的式子，把a4代入求值即可．【解答】解：由等差数列的性质得，3a4＝a3+a4+a5＝12，解得a4＝4，所以a1+a2+…a7＝7a4＝28，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质灵活应用，属于基础题．6．（4分）观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）【分析】由已知中（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cosx）'＝﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'＝2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）'＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）'＝﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）＝0，即g（﹣x）＝﹣g（x），故选：A．【点评】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键．7．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7＝a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7＝a2+a6＝3+11＝14，所以S故选：C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．8．（4分）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（）A．16 B．13 C．23【分析】根据已知有X∼B（5，p），应用二项分布的概率公式及已知列方程求p．【解答】解：由题意可知，X∼B（5，p），因为P（X＝1）＝P（X＝2），所以C5解得p=1故选：B．【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．9．（4分）设a∈R，若函数y＝eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞−13 D．【分析】题目中：“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f′（x）＝3+aeax＝0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围．【解答】解：设f（x）＝eax+3x，则f′（x）＝3+aeax．若函数在x∈R上有大于零的极值点．即f′（x）＝3+aeax＝0有正根．当有f′（x）＝3+aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x=1aln（由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3．故选：B．【点评】本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．10．（110分）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（）A．取出的最大号码X不服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为114D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为1【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD．【解答】解：超几何分布是在N个对象（包含M个特定对象）中随机不放回取出n个对象，含有特定对象数ξ的概率分布，被取出的n个对象中特定对象数ξ是变化的，任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布，故A正确；取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；取出2个白球的概率为P=C62根据已知可得取出四个黑球的总得分最大，概率为P′=C64故选：C．【点评】本题考查超几何分布，属于中等题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝3．【分析】根据S6＝4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1，∴S6=1−∴q3＝3．∴a1q3＝3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．12．（5分）若函数f（x）=x2+ax+1在x＝1处取极值，则【分析】先求出f′（x），因为x＝1处取极值，所以1是f′（x）＝0的根，代入求出a即可．【解答】解：f′（x）=2因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）＝0的根，将x＝1代入得a＝3．故答案为3【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．13．（5分）若曲线f（x）＝ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的一个值可以是﹣1（答案不唯一，满足a＜0均可）．．【分析】求出函数f（x）的导数，利用导函数有正数的零点求得a的范围即可．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+lnx，其定义域为（0，+∞），其导数f′(x)=2ax+1若f′（x）＝0，即2ax+1x=0，变形可得若曲线f（x）＝ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，该切线平行于x轴．则方程a=−12x2有正根，必有故实数a的一个值可以是﹣1，（答案不唯一，满足a＜0均可）．故答案为：﹣1（答案不唯一，满足a＜0均可）．【点评】本题考查导数的几何意义，注意导数的计算，属于基础题．14．（10分）一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数，则EX＝n；若DX＝2.1，则n＝3．【分析】由题意知随机变量X～(10，n【解答】解：因为每次随机取一个是次品的概率为n10所以X～B(10，n此时EX=10×n则DX=10×n因为m≥n，所以n≤5，解得n＝3．故答案为：n；3．【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．15．（5分）记数列{an}满足：an+1+(−1)nan=n，a1=1，①a3＝0②S9﹣S7＝7③若n为奇数，则S④a100+a2025＝100【分析】由数列的递推公式，逐项计算判断①；由n＝8求解判断②；利用并项求和及等差数列前n项和公式求解判断③；由n为奇数可得an+2+an＝1，再求得a2025＝a101＝1即可判断④．【解答】解：因为数列{an}满足：an+1+(−1)nan所以对于①，当n＝1时，a2﹣a1＝1，由a1＝1，得a2＝2；当n＝2时，a2+a3＝2，则a3＝0，所以①正确；对于②，当n＝8时，得a9+a8＝8，则S9﹣S7＝a8+a9＝8，所以②错误；对于③，当n为奇数时，Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）=1+2+4+⋯+n−1=1+n−12⋅(2+n−1)对于④，当n为奇数，an+1﹣an＝n，an+2+an+1＝n+1，所以可得an+2+an＝1，由a1＝1，得a3＝0，a5＝1，a7＝0，a9＝1，…，则a2025＝a101＝1，当n＝100时，a100+a101＝100，因此a100+a2025＝100，所以④正确．故选：①③④．【点评】本题考查数列的综合应用，属中档题．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1+2a2＝3a3．（1）求q的值；（2）设{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn．当n≥2时，试比较bn与Tn的大小．【分析】（1）由通项公式列出等式求解即可；（2）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案．【解答】解：（1）由a1+2a2＝3a3，得a1+2a1q＝3a1q2，又{an}是等比数列，故a1≠0，所以3q2﹣2q﹣1＝0，解得q＝1或q=−1（2）当q＝1时，bn＝n+1，故Tn=n2（2+n+1）当n≥2时，Tn所以q＝1时，Tn＞bn，当q=−13时，bn＝2−13（则Tn=2n+n当n＞14时，Tn＜bn；当n＝14时，Tn＝bn；当2≤n＜14时，Tn＞bn，所以当n＞14时，Tn＜bn；当n＝14时，Tn＝bn；当2≤n＜14时，Tn＞bn．综上所述，当q＝1时，Tn＞bn；当q=−13时，n∈（14，+∞）时，Tn＜bn；n＝14时，Tn＝bn；n∈[2，14）时，Tn＞b【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．17．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）过原点作曲线y＝f（x）的切线，求该切线的方程；（2）设g（x）＝x2+f（x），求g（x）在[1【分析】（1）求导，根据斜率x0−1x0=y（2）求导，根据导函数的正负即可求解．【解答】解：（1）设切点为（x0，y0），因为f（x）＝x﹣lnx，所以f′(x)=1−1所以所求切线的斜率为x0即x0所以lnx0＝1，即x0＝e，故切点为（e，e﹣1），所以所求切线的斜率为1−1切线方程为y−(e−1)=(1−1故所求切线的方程为y=(1−1（2）由条件知g（x）＝x2+f（x）＝x2+x﹣lnx，x＞0，所以g′(x)=2x+1−1当x∈(0，12)时，g′（x）＜0，g当x∈(12，+∞)时，g′（x）＞0，g所以g（x）在[1e，所以g(x)又g（x）＝x2+f（x）＝x2+x﹣lnx，所以g(1e)=1e2+1e所以g（x）max＝g（e）＝e2+e﹣1，所以g（x）在[1e，e]的最小值为g(12)=34+ln2，最大值为【点评】本题考查导数的应用，属于中档题．18．甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．（1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；（2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合相互独立事件的概率公式，可得答案；（2）根据离散型随机变量分布列的计算方法，结合均值的计算公式以及条件概率，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设事件A：从甲盒中摸出红色球，设事件B：从甲盒中摸出偶数序号球．甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球，从甲盒中摸出一球，样本空间总数为6．则P(A)=26=13易得P（AB）＝P（A）P（B），故从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立．（2）根据题意，X的取值有4，5，6，7，8，9，10，P(X=4)=1C62=P(X=7)=2C62=P(X=10)=1+3X45678910P115215215215215215415E(X)=1设事件C：摸球分数不低于9；设事件D：从甲盒中摸出两球颜色相同，P（C）＝P（X＝9）+P（X＝10）=2P(CD)=315=【点评】本题考查随机变量的分布列和均值的计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．19．已知函数f（x）＝ln（ax）﹣2x2（a≠0）．（1）若a＝1时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）把a＝1代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程．（2）按a＞0，a＜0求出定义域及导数，进而求出极值．【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝lnx﹣2x2，则f′(x)=1可得f′（1）＝﹣3，而f（1）＝﹣2，所以所求的切线方程为y+2＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣1＝0．（2）当a＞0时，函数f（x）＝ln（ax）﹣2x2的定义域为（0，+∞），f′(x)=1当x∈(0，12)时，f′（x）＞0，函数f当x∈(12，+∞)时，f′（x）＜0，函数f此时f（x）在x=12处取得极大值为当a＜0时，函数f（x）＝ln（ax）﹣2x2的定义域为（﹣∞，0），f′(x)=1当x∈(−∞，−12)时，f′（x）＞0，函数f当x∈(−12，0)时，f′（x）＜0，函数f此时f（x）在x=−12处取得极大值【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．20．为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛．比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目．每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目．每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金．假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为23，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为3（1）设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P（A）；（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列；（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平．某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额．【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解；（2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为X元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解；（3）先求出甲参赛队可获得奖金X的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可．【解答】解：（1）假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为23，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为3两个项目是否挑战成功相互独立．每个项目挑战成功的概率p=2则P(A)=(（2）甲参赛队获得奖金数为随机变量X的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0．P(X=4000)=23×P(X=2000)=(P(X=1000)=(13×∴甲获得奖金数X的分布列为：X40003000200010000P491317144148112（3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望E(X)=4000×4因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为36×E(X)=36×54625【点评】本题考查古典