一阶电路暂态分析的三要素法

一阶电路暂态分析的三要素法

一阶电路

求解一阶电路的三要素法三要素公式说明例题返回

只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。一、一阶电路

对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数τ。

因此将初始值、稳态值、时间常数τ

称为一阶电路的三要素。返回二、求解一阶电路的三要素法

全响应=稳态分量+暂态分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e

－t／τ只要求出f(0+),f(∞)和τ

值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。返回

用f(t)表示电路中的某一元件的电压或电流,f(∞)表示稳态值,f(0+)表示初始值，τ为时间常数。

f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路

前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。

f(∞)：进入稳态后电容相当于开路，电感

相当于短路，可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。三、三要素公式说明

时间常数τ：在换路后的电路中求得τ=R0C

R0是换路后的电路中,从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。返回例1、图示电路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6kΩ,R2=1kΩ,R3=2kΩ，换路前处于稳态，在t=0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1+R2)//R3]·C=0.155×10－3s

uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=8+(36－8)e－6430t

V=8＋28e－6430t

VuC

(V)t368返回例2、图示电路中，IS=8mA，C=4μF,R1=2kΩ，R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ，E=10V，换路前处于稳态，在t=0时将S由1打向2，试求uC(t)，画出曲线。SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1//R2)+R3]·C=8.8×10－3s

uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=6+(12－6)e－114t

V=6+6e－114t

V12uC

(V)t126返回rUSCiKiCuC+－Rir例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的

uC

和iK。解：iC＝－uC(t)／R

＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0

uC(t)=USe－t/RCτ

=RC返回例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,在t=0时闭合S1,在T=0.1秒时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0.＋－US1S2CUc(t)RR解:S1闭合后:uC(0+)=uC(0-)=0

uC(∞)=U=20Vτ1=RC=0.2S返回uC(t)=uc(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20(1－e－5t)当t＝0.1s时uC(0.1)=20(1－e－5t)

≈7.87V

τ2=(R//R)C=2.5×104×4×10－6s=0.1suC(t)=uC(∞)+[uC

(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20－12.13e－10(t－0.1)V＋－UCUC(t)RRS2闭合后:uC(0+)=7.87VuC(∞)=U=20V返回S1S2变化曲线如图uC(t)20V7.87V00.1stτ1=0.2sτ2=0.1s返回例6、已知，U=10V,R1=10kΩ,R=15kΩ,C=50μF,换路前处于稳态，在t=0时打开S1,经过1秒后打开S2,试求uC(t)，并画出曲线。＋－US1S2CUC(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5V

uC(∞)=0τ1=RC=0.75suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)-uC(∞)]e－t/τ

=5e－1.3tVR返回＋－US1S2CuC(t)R1RR当t=1s时uC(1)=5e－1.3V

≈1.36VS2打开后:uC(0+)=1.36VuC(∞)=0V

τ2=(R+R1)C=2.5×104×50×10－6s=1.25suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=1.36e－0.8(t－1)V返回变化曲线如图uC(t)5V1.36V01st

τ1=0.75s

τ2=1.25s返回例7、已知，U=90V，R=60Ω，r=30Ω,C=10μF,换路前处于稳态，在t＝0时闭合S，试求uC(t),经过0.4ms后又打开S，试求uC(t)。＋－USRRrrC解:S闭合前:uC(0+)=uC(0－)=U·R/(R+r)=60V

=60－30=30V返回＋－USRRrrCuC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=30+30e－2500tV当t1=0.