2025-2026学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在复平面内，-1+i对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量，，若，则x=（）A. B. C. D.3.已知l，m是直线，α是平面，且m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知tanα=2，则tan2α的值为（）A.- B.- C. D.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若sinA：sinB：sinC=4：5：6，则cosB=（）A. B. C. D.6.在边长为3的正方形ABCD中，，则=（）A.-5 B.5 C.6 D.97.一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为，标准差为2.另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，的平均数为，标准差为s,则（）A.，s＜2 B.，s＞2 C.，s＞2 D.，s＜28.若用半径为2的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在△ABC中，M为边AB的中点，则（）A. B.

C. D.10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现一正一反”为事件B，则（）A. B. C.A与B为互斥事件 D.A+B为必然事件11.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠DAB=60°，AA1=AB=AD=2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（）A.MN∥平面ADD1A1

B.D1N⊥BC

C.直线MN与平面CC1D1D所成角的正弦值为

D.三棱柱ABD-A1B1D1的外接球的表面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数，则||=

.13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为

.14.海上A，B两个小岛相距海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为60°，从B岛望A岛和C岛所成的视角为75°，则B，C两岛之间相距

海里.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量=（1，-2），=（-3，2），求：

（1）|-2|；

（2）向量+与-的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

已知，.

（1）求sin2α和的值；

（2）若，，求证：.17.(本小题15分)

某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲的成绩（分）90959210098乙的成绩（分）95941009690（1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象；

（2）初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）.

（i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω；

（ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率.18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.

（1）若∠ACB=90°，求证：平面PBC⊥平面PAC；

（2）已知M为PB的中点，，F是棱PC上的一点.

（i）若EF∥平面ABC，求；

（ii）若EF⊥平面PAB，试判断△ABC的形状，并给出证明.19.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,.

（1）求B；

（2）若a=1，.

（i）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（ii）设点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且.求△ACD面积的最大值及此时点M的位置.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】AC

11.【答案】ABC

12.【答案】2

13.【答案】92

14.【答案】15

15.【答案】

16.【答案】，

由（1）知，

因为，

因为，，所以0＜α+β＜π，

所以

17.【答案】乙参加知识竞赛较合适

（i）Ω={（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}；（ii）

18.【答案】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥PA，

因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC

（i）2；（ii）△ABC是等腰三角形，理由如下：

因为EF⊥平面PAB，EF⊂平面PCN，

所以平面PCN⊥平面PAB．

因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABC．

在平面PCN内过C作CN1⊥PN，

因为CN1⊂平面PCN，平面PCN⊥平面PAB，平面PCN∩平面PAB=PN，

所以CN1⊥平面PAB；同理，过C作CN2⊥AB，可知CN2⊥平面PAB．

因为过平面PAB外一点C有且只有一条直线与该平面垂直，

所以CN1，CN2重合，由于AB∩PN=N，

所以N1，N2，N重合，

所以CN⊥AB，

因为N为AB中点，故AC