广东省多校联考2025-2026学年高二下学期7月期末学情调研数学试卷（含解析）

广东省多校联考2025-2026学年高二下学期7月期末学情调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.63．已知在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（

）A．-7 B．-5 C．5 D．74．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．5．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（

）A． B． C． D．6．已知直线，平面满足，则（

）A．任意，都有，相交 B．任意，都有，是异面直线C．存在，使得 D．存在，使得7．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（

）A．3 B． C．4 D．8．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（

）A． B． C． D．1二、多选题9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（

）A．的离心率为B．的最大值为5C．存在四个不同的点，使得的面积为1D．存在四个不同的点，使得为等腰三角形10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（

）A．三枪都命中的概率为B．至少有一枪命中目标的概率为C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪11．已知函数有两个极值点，，则的值可能为（

）A． B． C． D．三、填空题12．双曲线的离心率为_____．13．已知函数的图象经过点，则_____；若在区间上单调递增，则的取值范围为_____.14．某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________.四、解答题15．在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．16．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求证：；(2)若的周长为，求的面积.17．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下：活动开展第天入园游客量（百人）(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；(2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）(3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；；18．已知数列，都是等差数列，其前项和分别为，，，.(1)求及的通项公式；(2)令，数列的前项积为，若对任意的恒成立，求的取值范围；(3)令，设数列的前项和为，求证：对任意，.19．已知函数，其中.(1)若，讨论的单调性；(2)若在上恒成立，求的值；(3)若，证明：.参考数据：，，.参考答案1．C【详解】因为，则.2．B【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布性质可知，所以，所以．3．D【详解】因为.所以对应复数的虚部为.4．A【详解】由，则，则切线方程为，则.5．A【详解】由于，则，于是，则，于是.6．D【详解】平面内可作过点以外，与异面的直线，并非所有直线都与相交，故A错误；平面内过交点的直线，一定和相交，不是异面直线，故B错误；直线与平面相交，平面内不存在与这条直线平行的直线，故C错误；在平面内，过点一定可以作出直线与垂直，故D正确．7．B【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或，若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意；若，由圆与相切，则，由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切，如图，过点作，则,，

于是.8．C【详解】解法一：由可得，由得，则，则，由于，则.解法二：由已知可得，则，于是，即，由于，则或，若，则，则，，此时，都存在；则；若，即，则，矛盾，舍去.9．AC【详解】由题可知，，，，则，A正确；由于，B错误；由于，则，则这样的点有四个，C正确；由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误.10．ABD【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确；对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确；对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率，若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为，同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为，若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为，因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确.11．AB【详解】由于，，设，，①若，，此时只有一个极值点，矛盾；②若，，在上单调递增，且，(i)若，则当时，，则，故在上单调递增；当时，，则，故在上单调递增；于是在上单调递增，无极值点，不合题意；(ii)若，则，，于是存在，使，即，时，，，，在上单调递增；时，，，，在上单调递减；时，，，，在上单调递增；于是，；(iii)若，则，，于是存在，，，时，，，，在上单调递增；时，，，，在上单调递减；时，，，，在上单调递增；于是，；③若，由于，由得；由得，则在上单调递减，在上单调递增，则取得极小值，若，即时，，，，不合题意；若，则，，由零点存在定理，不妨设，存在，，则，即，，则在，上单调递增，在上单调递减，令，则，，则，于是，，设，，取，设，，则在上单调递增，于是，则，于是在单调递减，且，则，且，则.于是当时，；当时，；当时，.若，由于，，则A不可能；若，，则A有可能；若，则，若，则有解，故B正确；若，则；若，由于，若，由于的解，而且，则在上无解，从而C错误；若，则；若，考虑到，则D错误.12．【详解】由于，则，，则．13．【详解】由，且，则；于是，，令，在区间上单调递增，所以在上单调递增，则，.14．【详解】设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，事件“两名去年参赛的都被选中”，则，，则，即所求概率为．15．(1)由于，为的中点，则，由于，为的中点，则，由于，平面，则平面，又平面，则平面平面．(2)【详解】（1）略．（2）解法一：如图，连接，由，．则，则，同理，，且，平面，则平面，且平面，则，如图，过点作交于点，由（1）知平面，平面，则，且，平面，则平面，于是即为直线与平面所成角，在中，由于，，则，于是，即直线与平面所成角的正弦值为．解法二：由，，则，则，同理，，，则，，两两垂直，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，由于，，则，，令，于是平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．16．(1)解法一：由，则，，于是，由正弦定理：，则，，，于是，则.解法二，由，则，由正弦定理：，则，，于是，若，则，，由可得；若，且，则，且，则，由，，，则，由，则，于是（舍）或，于是，则；综上所述：.(2)【详解】（1）略（2）由（1）可知，，则，，则，中必有一个不小于，否则若，都小于，矛盾，于是不是最大边，则只能为锐角，由（1）得，若，则，则，由余弦定理可得：，则，于是，此时，则，此时恰好为正三角形，.若，则，此时，恰好为正三角形，.17．(1)，相关程度很强(2)，残差为百人(3)【详解】（1）由表格中的数据可得，，，，，则，由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强.（2），，故经验回归方程为.对于表中第个观测，入园游客量为（百人），预测值为（百人），残差为（百人）（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，由题意可得，，，，.18．(1),，，(2)(3)由于，则，，于是，另一方面，，于是.【详解】（1）解法一：令，，，于是，，令，，，则，，设，，则，于是，，.解法二：令，，，由于，则，，则，于是，，.（2）由于，，则，于是，，于是，设，当且仅当取等号，则，，由于函数在上单调递增，最小值在即处取得,于是，则，当且仅当取等号，于是.（3）略19．(1)在，上单调递增，在上单调递减(2)(3)设，，，，令，，令，，则在上单调递增；令，，则在上单调递减；于是，下证：，即证：，.解法一：设，，设，，于是在上单调递增，在上单调递减，于是，且，，由零点存在定理，存在，，使得，令，则，于是在上单调递增；令，则，于是在，上单调递减；由于，，考虑到，则，要证，即证：，，设，，则在上单调递减，考虑到，，则，考虑到，下证：，即证：，由于，得证.解法二：设，，，令，，于是在上单调递增，在上单调递减，则，则，不妨设，则，于是，由