因式分解法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.3

因式分解法第二十五章一元二次方程学习目标12会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想．01复习导入：情境创设挑战一下：快速口算请直接说出方程的根：x(x-2)=0，你是如何快速得出答案的？01特征：乘积为零方程变形为两个整式的乘积等于0的形式，这是使用因式分解法的关键前提，也是将“二次”降为“一次”的基础。02理论依据：零值原理若ab=0，则必有a=0或b=0（至少其一）。利用这一基本性质，可将复杂的一元二次方程拆解为两个简单的一元一次方程求解因式分解法解一元二次方程这是解一元二次方程中最简便、最快捷的方法之一，让我们一起探索如何通过“降次”来解决问题！探究与应用根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过xs后的离地高度(单位:m)约为10x-5x2.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面?(只列出方程,不用求解)活动1探究用因式分解法解一元二次方程问题情境图25-2-1解:设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度为0m,即10x-5x2=0.2合作探究问题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?2合作探究分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即

.

将方程的左边分解因式，得

.

所以

.

因此，方程10x−5x2=0的两个根是

.

对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时

物体被抛出，此刻物体的高度是0m；而x2=2表示物体在抛离地

面2s时落回地面.10x−5x2=0x(10−5x)=0如果ab=0，那么a=0或b=0.x=0或10−5x=0x1=0，x2=2请大家解这个方程.你认为哪种解法更简单？02探究新知：01原理：零乘积性质若两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0。这是解一元二次方程实现“降次”的关键理论依据，也是因式分解法的核心基石。ab=0⟺a=0或b=002因式分解法：化繁为简的求解策略将一元二次方程通过整理变形，使方程右边为0，左边分解为两个一次因式的乘积，进而利用“零乘积性质”将其转化为两个一元一次方程求解。第一步移项变形

右式化为0第二步因式分解

左式拆乘积第三步降次求解

解一次方程02探究新知：常用因式分解方法回顾01提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)核心是从多项式各项中找出公共的因式，这是因式分解最基础、最优先考虑的步骤，如同寻找公约数。02平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)适用于两项式结构，特征是两项均为平方形式且符号相反。关键在于准确识别公式中的“a”与“b”。03完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²针对三项式，首末两项为同号的平方项，中间项是两底数乘积的2倍。是配方法的基础依据。解题策略：面对方程时，先观察左侧多项式的项数与符号特征。第一步永远优先尝试提取公因式，随后根据剩余部分的结构，判断其是符合平方差形式还是完全平方式，从而选择最匹配的公式进行分解。2合作探究10x−5x2=0解：

x(10−5x)=0，

x=0或10−5x=0，x1=0，x2=2.思考

解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的?降次

在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.2合作探究思考

归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：一移

将方程化为等号一边为0的形式；二分

将方程左边因式分解；三化

至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；四解

两个一元一次方程的解就是原方程的解．10x−5x2=0解：

x(10−5x)=0，

x=0或10−5x=0，x1=0，x2=2.(1)你能根据“如果ab=0,那么a=0,或b=0”解这个方程吗?引发思考解:(1)将方程的左边分解因式,得x(10-5x)=0.∴x=0,或10-5x=0.因此,方程10x-5x2=0的两个根是x1=0,x2=2.(2)解方程时,二次方程是如何降为一次的?

解:(2)先分解因式,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.03典例精讲：基础典例2(公式整理型)

01移项变零

02合并同类项合并同类项化简，一次项抵消，得到标准式：

4x²-1=0（即(2x)²-1²=0）03平方差分解套用公式a²-b²=(a+b)(a-b)因式分解：

(2x+1)(2x-1)=004降次解根

03典例精讲：拔高典例3(整体思想)题目：解方程(x-4)²=(5-2x)²易错陷阱警示：切勿直接对等式两边同时开方，这样会忽略平方根的“正负双重性”，导致只得到x-4=5-2x这一个解，从而漏掉负根的情况，造成答案不完整。01移项构造形式将方程右边整体移至左边，构造平方差公式a²-b²=0的标准形式：(x-4)²-(5-2x)²=002整体思想分解将x-4和5-2x看作整体，套用a²-b²==(a+b)(a-b)\)公式：(-x+1)(3x-9)=003降次求解得根令每个因式分别为0，解两个一元一次方程，最终得到两个根：x₁=1，x₂=32合作探究思考

学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗?解法降次方法变形结果方程的根适用范围配方法公式法因式分解法

先配方再开方(x+n)2=p(p≥0)

所有一元二次方程直接代入求根公式(x−a)(x−b)=0因式分解ax2+bx+c=0(Δ≥0)x1=a，x2=b所有一元二次方程部分一元二次方程3典例分析

解：(1)左边分解因式，得(x−2)(x+1)=0.于是x−2=0或x+1=0，即

x1=2，x2=−1.

(教材补充例题)用因式分解法解下列方程:(1)x2=3x;

理解应用例1解:(1)移项,得x2-3x=0.左边分解因式,得x(x-3)=0.于是x=0,或x-3=0,即x1=0,x2=3.(2)x2-2x+1=0;

(3)4x2-9=0.解:(2)左边分解因式,得(x-1)2=0.于是x-1=0,即x1=x2=1.

04课堂练习：【基础巩固·必做】运用因式分解法快速求解下列一元二次方程，注重解题步骤的规范性与完整性。01x²+x=0思路：提取公因式x，将方程化为乘积形式求解02

033x²-6x=-3思路：先移项化为一般式，再利用完全平方公式因式分解044x²-81=0思路：识别平方差形式，利用a²-b²=(a+b)(a-b)053x(2x+1)=4x+2思路：先整理右边项，再提取公因式(2x+1)06(x-1)²=2(x-1)思路：移项后提取公因式(x-1)，切记不可直接约去04课堂练习：【能力提升·必做】01因式分解法解方程

02方程根的定义与应用

核心策略：解决含参方程问题，“代入法”是最直接的钥匙；面对复杂的一元二次方程，先观察是否可因式分解，这是快速解题的捷径。4巩固练习1.直接说出下列方程的根.(1)x(x+2)=0；

(1)x1=0，x2=−2；

(2)(x−2)(x+1)=0；

(2)x1=2，x2=−1；(3)(3y+6)(2y−4)=0；

(3)y1=−2，y2=2；

(4)(x−5)2=0.(4)x1=x2=5.2.小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下：

小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2，第一步

则x=4．第二步你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程．4巩固练习(x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉x=2这个根．解：小明的解法不正确，从第一步开始出错．

正确解答过程如下：

2(x−2)=(x−2)2，

移项，得

2(x−2)−(x−2)2=0，

提取公因式，得(x−2)(2−x+2)=0，

整理得(x−2)(4−x)=0，

则

x−2=0或4−x=0，

解得

x1=2，x2=4．4巩固练习学

步骤用因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边化为两个一次式相乘;(3)使两个一次式分别等于0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.变式解下列方程:(1)(x+2)2=3x+6;

(2)x2-1=2(x+1).解:(1)移项,得(x+2)2-3x-6=0.左边分解因式,得(x+2)(x-1)=0.于是x+2=0,或x-1=0,即x1=-2,x2=1.解:(2)移项