一元二次方程的概念课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程25.1一元二次方程的概念

探究与应用问题1

如图25-1-1,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒(图25-1-2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮?设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm,则列方程为

(不必化简).

活动1

理解一元二次方程的概念与一般形式问题情境图25-1-1(100-2x)(50-2x)=3600图25-1-2问题2

要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参赛?设应邀请x支球队参赛,则列方程为

(不必化简).

【探究1】

一元二次方程的定义以及一般形式【操作尝试】问题1：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮?探究与应用设各角切去的正方形铁皮的边长是xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.xx100cm50cm

3600cm2底面的长×宽=底面积等量关系:

根据方盒的底面积为3600cm2,可列得方程

.整理并化简得

.

(100-2x)(50-2x)=3600x2-75x+350=0.

探究与应用

【探究1】

一元二次方程的定义以及一般形式问题2：要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参赛,每支球队要与其他

支球队各赛1场,∵甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,∴全部比赛共

场,于是得到方程

,整理并化简得

.

(x-1)x2-x-56=0=28问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

方程③中未知数的个数和最高次数各是多少?方程③中未知数的个数是1个，最高次数是2.思考：方程①②③有什么共同点？

共同点：1．只含有_______个未知数；2．含有未知数的式子是________；3．未知数的最高次数是______．整式一2将上述问题情境中列出的方程化简,并按所含未知数的降幂排列,等号右边变为0,得到两个方程x2-75x+350=0①;x2-x-56=0②.(1)方程①②与一元一次方程的区别在哪里?

引发思考解:(1)未知数的最高次数是2.(2)方程①和②有什么共同点?

解:(2)①都是整式方程;②都只含有一个未知数;③未知数的最高次数都是2.

【探究1】一元二次方程的定义以及一般形式探究与应用讨论：以上两个方程是不是一元二次方程,它们与一元一次方程有什么区别与联系.x2-75x+350=0.

x2-x-56=0.

特点:①整式;②一元;③二次问题:根据找出的一元二次方程的特征,你能给一元二次方程下个定义吗?类比一元一次方程的一般形式,给出一元二次方程的一般形式.

【探究1】一元二次方程的定义以及一般形式探究与应用【概括新知】为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？

一般地,如果方程中含有一个未知数(一元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是2(二次),这样的方程,叫作一元二次方程.一元二次方程的概念

ax2+bx

+c

=0(a，b，c为常数，

a≠0)ax2是二次项，

a

是二次项系数.

bx

是一次项，

b

是一次项系数.

c

是常数项.一元二次方程的一般形式是指出方程各项的系数时要带上前面的符号.一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.

关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数)是一元二次方程,只需要满足a≠0,b,c可以为任意实数.巧

归纳1.一元二次方程:只含有

个未知数,且含有未知数的式子都是

,未知数的最高次数是

,这样的方程叫作一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般形式是

,二次项、一次项、常数项分别是

,二次项系数、一次项系数分别是

.

概括新知一整式2ax2+bx+c=0(a≠0)ax2,bx,ca,b

【理解应用】探究与应用例1

将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：去括号，得3x2-3x=5x+10.

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.注意：系数包含前面的符号

【探究2】一元二次方程的根

【思考交流】

一元二次方程的根:

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.探究与应用[问题]类比一元一次方程的解的定义,你能给一元二次方程的根下定义吗?判定一元二次方程的关键要素方程中:(1)含有未知数的式子都是

;

(2)只含有

未知数;

(3)未知数的最高次数是

.

记

关键整式一个2

(教材典题)将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.例2解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.它的二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.【知识技能类练习】必做题：

【探究3】用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系【尝试交流】探究与应用

根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化为一元二次方程的一般形式:(1)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长;解:设矩形的宽为x,则矩形的长为x+2.根据题意列出方程为(x+2)x=100,整理并化简,得x2+2x-100=0.(2)把长为1m的木条分成两段,使较短一段的长与木条全长的积,等于较长一

段长的平方,求较短一段的长.解:设较短一段的长为x,则较长的一段的长为1-x.根据题意列出方程为x=(1-x)2,整理并化简,得x2-3x+1=0.

【理解应用】探究与应用例3根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:(3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长为5,求较短直角边的长.(1)一个圆的面积是2π,求半径r;(2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3,面积为9,求较长直角边的长x;

一般形式为x2-5=0一般形式为r2-2=0一般形式为x2-3x-18=02π=πr2

x(x-3)=9

设较短的直角边的长为x,则较长直角边的长为2x.根据题意列出方程为x2+(2x)2=52

【知识技能类练习】选做题：【综合拓展类练习】一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边

的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的

.

相等活动2

理解一元二次方程根的意义初识概念根(教材补充例题)下列哪些数是一元二次方程x2+3x+2=0的根?-3,-2,-1,0,1,2,3.

解:-1,-2