合工大检测技术课件03信号及其描述

STRUCTUREOFTHECOURSE§3.1概念第三章信号及其描述信号确定性信号随机信号周期非周期平稳随机非平稳随机正弦周期复合周期准周期瞬态7/14/20261《检测技术》STRUCTUREOFTHECOURSE§3.1概念a)简谐信号b)复杂周期信号c)准周期信号d)瞬态信号图3-1确定性信号7/14/20262《检测技术》STRUCTUREOFTHECOURSE§3.1概念a)连续信号b)离散信号图3-2连续信号与离散信号7/14/20263《检测技术》傅里叶级数在有限区间上，一个周期信号f（t）当满足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数：式中：§3.2周期信号及其描述(3.1)(3.2)(3.3)7/14/20264《检测技术》§3.2周期信号及其描述狄里赫利条件:

f(t)处处连续，或者在每个周期内只有有限个跳跃间断点；2.f(t)在每个周期内不作无限次振动，即有有限个极值。7/14/20265《检测技术》信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式：式中，An称信号频率成分的幅值，φn称初相角。§3.2周期信号及其描述

n＝1,2,……(3.5)

(3.4)7/14/20266《检测技术》§3.2周期信号及其描述

周期信号的频谱特点：周期信号的频谱是离散谱；周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；

周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。7/14/20267《检测技术》§3.2周期信号及其描述

图3-3周期信号的频谱7/14/20268《检测技术》§3.2周期信号及其描述

傅立叶级数的复指数展开数：欧拉公式：转换结果：(3.6)(3.7)7/14/20269《检测技术》§3.2周期信号及其描述并可得：

(3.8)7/14/202610《检测技术》§3.2周期信号及其描述图3-4周期信号的复数频谱7/14/202611《检测技术》§3.3非周期信号的描述

（一）傅立叶变换（二）几种典型信号的频谱7/14/202612《检测技术》§3.3非周期信号的描述

设f（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：式中将式（3.10）带入式（3.9）得当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，另外，频率间隔Δω=ω1=2π/T变为无穷小量，离散频率nω1变成连续频率ω。(3.9)(3.10)(3.11)7/14/202613《检测技术》§3.3非周期信号的描述

由（3.11）式得到将式（3.12）括号中的积分为：它是变量ω的函数。则（3.12）式可写为：将X(ω)称为x（t）的傅里叶变换，而将x(t)称为X(ω)的逆傅里叶变换，记为：(3.12)(3.13)(3.14)(3.15)7/14/202614《检测技术》§3.3非周期信号的描述

非周期函数f（t）存在有傅里叶变换的充分条件是f（t）在区间(-∞,∞)上绝对可积，即但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式（3.13）和（3.14）分别变为(3.16)(3.17)(3.18)7/14/202615《检测技术》§3.3非周期信号的描述

几种典型信号的频谱1.矩形窗函数（矩形脉冲函数）的频谱式中，A为幅值；为时间宽度。Sincx=sinx/x——抽样函数(3.19)(3.20)7/14/202616《检测技术》§3.3非周期信号的描述

图3-5矩形脉冲（矩形窗函数）图3-6矩形脉冲频谱7/14/202617《检测技术》2.单位脉冲函数（δ（t）函数）及其频谱（1）δ（t）函数的定义从面积分析，注：如果脉冲函数的面积不是1，而是k，则表示一个强度为k倍的单位脉冲函数就是kδ（t）。§3.3非周期信号的描述

(3.21)(3.22)图3-7矩形脉冲与δ（t）函数7/14/202618《检测技术》（2）δ（t）函数的性质δ（t）函数的抽样性注：x(t)在t=0点连续式（3.24）（3.25）表明了δ（t）函数的筛选性质，也称为δ（t）函数的采样性质§3.3非周期信号的描述

(3.23)(3.24)7/14/202619《检测技术》§3.3非周期信号的描述

2)单脉冲函数的积分等于阶跃函数3)单脉冲函数与其他函数的卷积如果函数x(t)与δ(t)函数卷积，那么，它的卷积是最简单的一种卷积运算。(3.25)(3.26)7/14/202620《检测技术》§3.3非周期信号的描述

图3-8δ（t）与矩形函数卷积7/14/202621《检测技术》§3.3非周期信号的描述

（3）δ（t）函数的频谱

时域脉冲函数具有无限宽度的频谱，而且在所有的频段上都是等强度的。这种频谱称为“均匀谱”或“白色谱”。这种时域信号是理想的白噪声。(3.27)图3-9δ（t）函数及其频谱7/14/202622《检测技术》§3.3非周期信号的描述

3.正余弦函数的频谱正余弦函数的傅立叶变换为注：(3.29)(3.28)7/14/202623《检测技术》§3.3非周期信号的描述图3-10正、余弦函数及其频谱7/14/202624《检测技术》§3.4离散傅立叶变换（DFT）

分别取一个周期的N个时间采样值和N个频率值相对应，即T0＝NT，从而导出了与原来连续函数x(t)及傅立叶变换X(f)相当的有限离散傅立叶变换对。分别称为离散傅立叶变换（DFT）和离散傅立叶逆变换（IDFT），即DFT：式中，k=0,1…,N-1;△ω是与各相邻采样点间频率间隔相对应的圆周率间隔,△ω=2π/(NT)(3.30)7/14/202625《检测技术》图3-11DFT的图解推演过程7/14/202626《检测技术》§3.4离散傅立叶变换（DFT）

IDFT:n=0,1,…,N-1式中，x(nT)表示时间采样间隔为T的n=0,1,2,…,N-1,共N个时间序列点：表示频率分辨率f0=1/T0=1/NT的k=0,1,2,…,N-1共N个频率序列点。(3.31)7/14/202627《检测技术》§3.4离散傅立叶变换（DFT）

图3-12用尾随零法来提高谱线的频率分辩率7/14/202628《检测技术》§3.5随机信号

随机信号是非确定性信号，描述随机信号必须用概率和统计的方法。随机过程的定义和分类表示随机现象的单个时间历程称为样本函数。随机现象可能产生的全部样本函数的集合（总体）称为随机过程,简记为当n、k均固定时，代表一个点；当k固定时，代表一个随机变量；当n固定时，代表一个样本记录（时间历程）；当n、k均不固定时，代表一个随机过程。7/14/202629《检测技术》§3.5随机信号

图3-13随机过程7/14/202630《检测技术》§3.5随机信号随机信号分类：

随机过程平稳随机过程非平稳随机过程各态历经过程非各态历经过程一般非平稳随机过程瞬变随机过程7/14/202631《检测技术》§3.5随机信号

随机信号的统计特性用统计方法对各态历经的随机过程在一下三个方面进行数学描述：（1）幅值域描述：均值、方均值、方差、概率密度函数等。（2）时间域描述：自相关函数、互相关函数。（3）频率域描述：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。

7/14/202632《检测技术》§3.5随机信号

1）均值数学期望：它是过程在t=t1时的集合平均，对于平稳随机过程，统计量不随时间而变化，有对于各态历经过程，时间平均等于集合平均，即(3.32)(3.33)(3.34)7/14/202633《检测技术》§3.5随机信号

2)方均值对于平稳随机过程，有对于各态历经过程，有(3.35)(3.36)(3.37)7/14/202634《检测技术》§3.5随机信号

3)方差对于平稳随机过程将式（3.33）、（3.36)带入上式对于各态历经过程，有(3.38)(3.39)(3.40)(3.41)7/14/202635《检测技术》§3.5随机信号

4)概率密度函数随机过程的概率密度函数是信号瞬时幅值落在指定空间内的概率。信号x(t)落在(x,x+△x)区间内的时间为Tx,当样本函数的记录时间趋于无穷大时，Tx/T值将趋于确定的概率p,其表达式为

对于很小的△x，可定义概率密度函数P(x)为(3.42)7/14/202636《检测技术》§3.5随机信号

图3-1