26.3 二次函数与一元二次方程的联系 第1课时 学案（含答案） 2026-2027学年数学人教版九年级上册

学案：26.3二次函数与一元二次方程的联系（第1课时）人教版九年级上册第二十六章二次函数一、学习目标1.知道抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的根的情况之间的关系。2.了解用图象法求一元二次方程的近似根。3.理解二次函数与一元二次方程的联系，建立"已知函数值求自变量"与"解一元二次方程"的等价转化意识。4.掌握利用判别式Δ=b²-4ac判断抛物线与x轴交点个数的方法。二、知识梳理二次函数图象与x轴交点与一元二次方程根的关系二次函数y=x²+x-2、y=x²-8x+16、y=x²-x+1的图象二次函数图象与x轴交点情况交点横坐标对应一元二次方程的根y=x²+x-2有两个交点x=−2,x=1xy=x²-8x+16有一个交点x=4xy=x²-x+1无交点无无实数根判别式Δ与抛物线与x轴交点个数的关系判别式Δ的值抛物线与x轴的交点个数一元二次方程根的情况Δ=有两个交点有两个不相等的实数根Δ=有一个交点（相切）有两个相等的实数根Δ=没有交点没有实数根二次函数与一元二次方程的转化关系转化方向说明二次函数值求自变量y=a解一元二次方程a核心结论1.一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x02.二次函数y=ax2+bx+c三、课堂练习练习1已知二次函数y=x2−3x+mA.x₁=1,x₂=-1B.x₁=1,x₂=2C.x₁=1,x₂=0D.x₁=1,x₂=3

练习2二次函数y=kxA.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0

练习3已知函数y=(k−3)x

练习4已知关于x的二次函数y=m(1)求证：此抛物线与x轴总有交点。

(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值。

练习5（小球飞行问题）以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线。小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为h=20t−5小球飞行路线示意图(1)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？

(2)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？

(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？

(4)小球从飞出到落地，需要多长时间？

练习6已知二次函数y=−x

练习7已知抛物线y=x

四、参考答案练习1答案答案：B解析：由交点为(1,0)，代入二次函数得12所以一元二次方程为x2解得x₁=1，x₂=2。练习2答案答案：D解析：二次函数y=kx2−6x+3解得k≤3。又因为二次函数要求k≠0，所以k≤3且k≠0。练习3答案解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数。因为一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，所以k=3满足条件。当k≠3时，y=(k-3)x²+2x+1是二次函数。因为二次函数y=(k-3)x²+2x+1的图象与x轴有交点，所以b−4k+16≥0k≤4综上所述，k的取值范围是k≤4。练习4答案(1)证明：∵m≠0∴Δ=[−(m+2)∵(m−2∴Δ≥0因此抛物线与x轴总有交点。(2)解：令即解得当又因为当m=2时，Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1。练习5答案(1)解：令h=20，则20=20t−5tt当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。(2)解：令h=15，则15=20t−5tt当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。(3)解：令h=20.5，则20.5=20t−5t∵Δ=(−4所以此方程无实数根。即小球的飞行高度不能达到20.5m。(4)解：小球落地时h=0，令h=0，则0=20t−5tt=0表示出发时刻，t=4表示落地时刻。所以小球从飞出到落地要4s。练习6答案解：已知二次函数y=-x²+4x的值为3，即−x(x-1)(x-3)=0x所以自变量x的值为1或3。练习7答案解：因为抛物线所以又因为抛物线经过点(1,4)，代入得：1b+c=3c