浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月期末教学质量监测数学试卷（含解析）

浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月教学质量监测数学试题一、单选题1．设（i为虚数单位），则（

）A． B． C．2 D．2．若，，，则实数（

）A．1 B． C．4 D．3．已知样本数据，，，，的方差为，样本数据，，，，的方差为，则（

）A． B．C． D．与无法确定大小关系4．设随机事件，满足，，，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．下列命题正确的是（

）A．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行B．过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行C．过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直D．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为6．已知，，则（

）A． B． C． D．7．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为奇函数，则为奇函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题8．如图，已知二面角的大小为，，在直线上，在内，且，设，与所成角分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．设，（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．10．若实数，，且，则（

）A．的最大值为4 B．的最小值为8C．的最小值为6 D．的最大值为11．以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（

）A． B． C． D．三、填空题12．函数的最小正周期为_______．13．将一个棱长为2cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______．14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．当比赛停止时，一共打满局的概率为_______．四、解答题15．为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图．

(1)若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数）(2)若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率．16．在中，，，，点在边上，且平分．(1)求；(2)求的长．17．已知平行四边形，，，，记，，，且．(1)若，求的值；(2)当取最小值时，求与夹角的余弦值．18．已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点．(1)求函数的解析式；(2)若，且，求的最小值；(3)将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．19．如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，．

(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，求该五面体的体积的取值范围．参考答案1．A解析：∵，∴.2．D解析：，，，则有，所以.3．B解析：第一组数据：，共5个样本，平均数，方差：.第二组数据：，共5个样本，平均数，方差：.因为，比较得：.4．B解析：可知.5．C解析：对A，设，则过A有且只有一个平面与平行，而内过点的无数条直线都与平行，A错；对B，设，则过有且只有一条直线与平行，过直线有无数个平面除过直线的一个平面外其它平面都与直线平行，B错；对C，过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直，C正确；对D，圆锥的轴截面是等边三角形，则圆锥的母线与底面所成的角都是，是圆锥底面所在平面外一点，由此可知D错.6．D解析：由，可得，代入，化简得，又，，所以，则有，.7．A解析：对于命题①，若、、均为上的奇函数，则，所以，所以为奇函数，即①为真命题；对于命题②，可知，则（*），因为、、均是以为周期的函数，则，，，由（*）可得所以是周期函数，同理可得、均是以为周期的函数，即②为真命题.8．C解析：如图所示，过A作平面β于点P，连接，，则，，且，.再过P在平面β内作于O，连接，则，且.所以.在中，，，所以所以.9．BCD解析：对A，，A错；对B，，，因此，B正确；对C，，，C正确；对D，，所以，D正确.10．BD解析：选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误.选项B，，所以，正确.选项C，因为，所以，解得，，当且仅当时等号成立，但此时无法取到，所以，即，错误.选项D，令，，由，，可知，，得，，由题意得，设，，，，，，所以D正确.11．ABC解析：①三条长度为1的棱共顶点，三条长度为的棱构成底面等边三角形，即，则，即，即两两相互垂直，所以；②三条长度为的棱共顶点，三条长度为1的棱构成底面等边三角形，即，作平面，则为平面的中心，连接，则，，所以；③长短棱交叉配对，一组对棱为1，即，因为，即，所以为等腰直角三角形，所以.方法一：以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，就是到平面的距离.因为，所以，解得，所以.方法二：设在平面的投影为，取的中点，连接，则，又因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，所以在中垂线上，在平面内，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，由得：，解得，所以，所以，所以.12．解析：由正弦函数的性质，函数的最小正周期为.13．解析：如图，，，，，剩余几何体的表面积为.14．解析：要比赛打满局才停止，则比赛前局都没有满足“分差达到分”的停止条件：打完前局不停止：前局比分必须是（分差为，若分差为则提前停止），所以概率为：.前局未停止后，打完第局仍不停止：此时原本比分是，要继续不停止，第局和第局仍必须是一胜一负，总比分变为，所以概率为：.前局均未停止，就一定会打满局，各局胜负独立，因此总概率为：.15．(1)83.3分(2)解析：（1）由于，，所以第80百分位数在区间中，第80百分位数为，所以获得表彰同学的最低分数为83.3分．（2）与的频率之比为，所以5人中有3人得分在，记为，，，有2人得分在，记为，．设事件“座谈交流的2人得分均在”，由于，，所以．16．(1)(2)．解析：（1）由余弦定理得，因为，所以．（2）解法一：因为平分，，所以.由于，即，所以，所以．解法二：在中，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以，所以，所以，在中，，由正弦定理得又因为，所以，所以．17．(1)(2)0解析：（1）方法一：在平行四边形中，因为，所以，因为，所以，又，所以．所以．方法二：因为，所以，又，故．以为原点建立如图直角坐标系，所以，，，，因为，所以，所以，，当时，，，所以．（2）方法一：因为，所以当时，取到最小值为4，即取到最小值为2．此时，所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0．方法二：由（1）可得：，所以，当时，取到最小值为4，即取到最小值为2．此时，所以，所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0．18．(1)(2)4(3)解析：（1）由为偶函数，知，由与只有一个交点，令，即方程有且只有一个解，所以，解得，所以；（2）由，即，即，又，所以，即，由于，当且仅当时取到等号，所以的最小值为4；（3）由题意，，，令，则方程，可化为，即，考虑到在上单调递减，在上单调递增，大致图象如下：所以要使方程有三个不同的实数解，只需方程在区间和内各有一个解，设，则在区间和内各有一个零点，则，得，或（另一个零点在内），得，综上，.19．(1)如图1，取的中点，连接，，，，由题意易得，可得，是的中点，所以，因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点，所以，又，平面，所以平面，平面，所以．(2)(3)解析：（1）略（2）

如图2，取的中点，连接，，易得，，，到平面的距离即为到平面的距离为，由（1）知即为的高，其中，，