统计与生活之随机变量及其常用的机率分配

统计与生活之随机变量及其常用的机率分配本讲大纲隨機變數不連續隨機變數及其常用的機率分配連續隨機變數及其常用的機率分配小結123423随机变量--定义(1/4)随机变量是随机实验中对应样本点的实数值函数。例：

表1投掷一铜板两次的随机实验样本点正面的个数(x)相对次数(机率)(反，反)01/4=0.25(正，反)

(反，正)12/4=0.50(正，正)21/4=0.25N=431.004随机变量--定义(2/4)随机变量依其数值的特性可区分不连续随机变量(discreterandomvariable)与连续随机变量(continuousrandomvariable)两种。不连续随机变量是指随机变量的变量为不连续且个数有限，且其值为一特定数值。5随机变量--不连续随机变量定义(3/4)表2生活中不连续随机变量的例子随机实验随机变量随机变量X可能的值掷硬币2次出现正面的次数0,1,2由产线抽查10支手机有瑕疵的个数0,1,2,…,10购买空拍机的顾客性别性别0为男性，1为女性本月电动车的销售量情况销售量0,1,2,…6随机变量--连续随机变量定义(4/4)连续随机变量是指随机变量的变量是连续且个数为不可数，通常以一个区间来表示。表3生活中连续随机变量的例子随机实验随机变量随机变量X可能的值排Starbucks买咖啡排队等候时间等候时间X

≥

0超商的年营业额营业额X

≥

0弹珠汽水容量容量ml0

≤

X

≤

2507不连续随机变量的机率分配--概念(1/8)不连续随机变量的机率分配是指，不连续随机变量的各个变量发生的机率(或相对次数)的分配情形。例：连续掷一枚四面骰子两次，并将不连续随机变量X定义为两次点数之和，则X之机率分配为何？8不连续随机变量的机率分配--概念(2/8)表4随机变量X之可能变量可能情况X次数(1,1)21(1,2)(2,1)32(1,3)(2,2)(3,1)43(1,4)

(2,3)(3,2)(4,1)54(2,4)

(3,3)(4,2)63(3,4)(4,3)72(4,4)819不连续随机变量的机率分配--概念(3/8)表5X之机率函数f(X)

X次数f相对次数f/n机率函数f(x)211/160.0625322/160.1250433/160.1875544/160.2500633/160.1875722/160.1250811/160.0625合计161∑f(x)=1.0010不连续随机变量的机率分配--概念(4/8)

11不连续随机变量的机率分配--概念(5/8)

12不连续随机变量的机率分配--期望值与变异数(6/8)

13不连续随机变量的机率分配--期望值与变异数(7/8)例：两个公正铜板出现正面的期望值掷两个公正铜板一次，令X为出现正面的个数，所以X=0,

1,

2，则X之机率函数如下表所示。请问出现正面的期望值、变异数为何？

表6掷2枚铜板结果实验结果xf(x)(反，反)01/4(正，反)、(反，正)12/4(正，正)21/4

14不连续随机变量的机率分配--期望值与变异数(8/8)xf(x)01/412/421/4

15不连续随机变量的机率分配--柏努利(Bernoulli)分配

(1/3)柏努利(Bernoulli)实验：只进行一次实验。实验只有两种互斥的结果，不是成功，就是失败。成功的机率为p，失败的机率为q=1-p。以不连续随机变量X代表实验结果，其中X=1表示成功，X=0表示失败，若不连续随机变量X是由Bernoulli实验产生，则其机率函数可表示为：16不连续随机变量的机率分配--柏努利(Bernoulli)分配(2/3)

17不连续随机变量的机率分配--柏努利(Bernoulli)分配(3/3)

18柏努利(Bernoulli)分配

小Q儿根据长期以来资料显示，我省年龄超过40岁以上的成年人中，约有20%罹患高血压症，今随机询问1位40岁以上成年人，其可能之机率模式分别为何？阿花在坐云霄飞车时，有0.6的机率会尖叫，请问这符合什么模型。在台北市内抽五百人调查年收入，每一个人超过中位数的机率为何？符合什么机率模型。19不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(1/7)

20不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(2/7)

21不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(3/7)

22不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(4/7)

23不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(5/7)

24不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(6/7)

25不连续随机变量的机率分配--二项(Binomial)分配(7/7)25

p=0.2xA

Portion

of

a

Binomial

Probability

Table①②③④26二项(Binomial)分配

小Q儿根据长期以来资料显示，我省年龄超过40岁以上的成年人中，约有20%罹患高血压症，今随机询问5位40岁以上成年人，其可能之机率模式为何？根据过去的台大教学意见调查经验，学生上网填答比率约68%。试问若随机抽取4位台大学生，其中有填答教学意见调查表的人数的机率模型为何？（请写出分布及其参数）27不连续随机变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(1/6)日常生活中，也经常碰到另一类情况。例如某客服部门想分析1小时内客户call-in的次数华南银行台大分行主管想知道半小时内到银行的人数小咖啡店老板想明白早上时的来店喝咖啡的人数老师想知道学生1页文件错字字数那我们要如何分析呢？28不连续随机变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(2/6)

29不连续随机变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(3/6)

30不连续随机变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(4/6)例：某银行是我省最大的民营银行，为了加强服务客户，研究如何于适当地点设置ATM，经调查后结果可得5分钟内使用ATM的平均顾客人数为1.5人。现问上9:00~9:30间，有5位顾客前来使用ATM提款、转帐、缴钱的机率为何?31不连续变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(5/6)

32不连续变量的机率分配--泊松(Poisson)分配(6/6)Table

of

Poisson

Ｘ33泊松(Poisson)分配

小Q儿到目前为止，你已经学了三种不同的分配，这三种分配分别会用在什么情况下呢？请你举例并说明。某名店每天都大排长龙，假设单位时间内进入店家的顾客人数为泊松分配，平均每十分钟有6位顾客。试求半小时内刚好有12位顾客进入的机率?

34连续随机变量的机率分配--定义(1/3)当观察值数量增加时，不连续随机变量的机率分配情形会趋近于一条平滑的曲线。随机变量不连续在求算机率时可由次数分配表计算各变量值相对应的机率值，但变量一旦增多至不可数时，也就是当随机变量为连续随机变量时，则须使用积分的方法求算机率值，且任一点的机率为零。以下面的图形来说，不连续随机变量的机率是一个区间的面积来表示，虽然积分计算不如加总的方法简单，但同学也不用担心，只要学会查表，还是可以找出连续变量在某个区间内的机率值。35连续随机变量的机率分配--定义(2/3)不连续：相对次数直方图连续：机率曲线36连续随机变量的机率分配--定义(3/3)

37连续随机变量的机率分配--期望值与变异数(1/1)

38连续随机变量的机率分配--常态分配(1/5)许多连续的随机变量大都集中于平均数附近特别大的数值或是特别小的数值并不多对称的分散于平均数的两边次数分配曲线像一个钟形(bell-shaped)数值绝大部分集中于离平均数三个标准差之内39连续随机变量的机率分配--常态分配(2/5)

40连续随机变量的机率分配--常态分配(3/5)常态分配为对称分配，平均数、中位数、众数均相等。41连续随机变量的机率分配--常态分配(4/5)

x

x

42连续随机变量的机率分配--常态分配(5/5)20年前，某大学发了一纸公文给所有老师，文中写道：「希望老师给学生的成绩不要给太高，每一个班级的成绩分布应服从常态分配。」老师们看完都哈哈大笑，同学们试想看看为什么？平均分数20分，标准差2分与平均分数90分，标准差5分都符合公文的要求，因此该纸公文并不能达成预期改善的现象。10年前，该校管院后来又发了一纸公文希望平均分数不要超过80分，标准差9分以内，这纸公文的限制对于老师们给分就有很大的影响了43常态分配

小Q儿真真是出了名的迟到大王，每次和同学约都会迟到。根据他朋友们的统计，真真迟到的情况符合平均30分钟，标准差10分钟的常态分配。今天考完试真真又和同学们约去逛周年庆。请问他迟到不超过10分钟的机率有多少？以下有关常态分配的叙述何者错误?

(1)所有常态分配都是一个对称于0的分配。

(2)所有常态分配都可以转化为标准常态分配。(3)所有常态分配的形状都由其期望值与变异数决定。(4)所有常态分配的变异数都是正的。44连续随机变量的机率分配--标准常态分配(1/10)

0123-3-2-1

z0.50.5连续随机变量的机率分配--标准常态分配(2/10)45StandardNormalCumulativeProbability(Left-HandTail)46连续随机变量的机率分配--标准常态分配(3/10)

连续随机变量的机率分配--标准常态分配(4/10)47

zxx标准化标准化

48连续随机变量的机率分配--标准常态分配(5/10)

49连续随机变量的机率分配--标准常态分配(6/10)

50连续随机变量的机率分配--标准常态分配(7/10)

51连续随机变量的机率分配--标准常态分配(8/10)

-0.67z-252连续随机变量的机率分配--标准常态分配(9/10)

53连续随机变量的机率分配--标准常态分配(10/10)

-1.96z-1.960.4750.47554标准常态分配

小Q儿人类怀孕的天数，是一个平均数μ=266，变异数σ２=16２的常态分布，大约有多少百份比的怀孕天数，是介于234到266之间？某个班级的成绩是常态分布，如果其中有一位学生的成绩z分数为0，这表示(1)