电工与电子技术基础-第5章

5.1换路定则电路的工作状态发生变化，如电路中开关的接通、扳断或改接，电路连接方式的改变，电路参数和电源的突然变化等，统称为电路的换路。在暂态分析中，通常规定换路是瞬间完成的。设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。0-和0+在数值上都等于0，但前者是指t从负值趋近于零，后者是指t从正值趋近于零。换路定则是指一个具有储能元件的电路中，在换路瞬间，电容元件的端电压不能跃变，电感元件的电流不能跃变，数学表达式为下一页返回5.1换路定则换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时电路中电压和电流的值，即暂态过程的初始值。确定各个电压和电流的初始值时，先由t=0-的电路求出，而后由t=0+的电路在已求得的uC(0+)或的条件下，求其他电压和电流的初始值。换路定则实质上反映了储能元件所储存的能量不能跃变。电容电压和电感电流只能是连续变化，不能跃变。由此可见，含有储能元件的电路发生暂态过程的根本原因在于能量不能跃变。在直流激励下，换路前，如果储能元件储有能量，并设电路已处于稳态，则在t=0―的电路中，电容元件可视作开路，电感元件可视作短路；换路前，如果储能元件没有储能，则在t=0―和t=0+的电路中，可将电容元件短路，将电感元件开路。上一页返回5.2RC电路的暂态分析电路暂态过程中的响应有三种情况，即零状态响应、零输入响应和全响应。一、RC电路的零输入响应RC电路在无输入激励的情况下，由电容元件的初始状态uC(0+)激励所产生的电路的响应，称为零输入响应。从物理意义上讲就是电容的放电过程。图5-3是一个RC串联电路。在换路前，开关S合在位置2上，电容器上的电压为U，电路已经处于稳定状态。在t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。此时，电容元件的初始储能，其上电压的初始值，电容元件经电阻R放电。下一页返回5.2RC电路的暂态分析下面讨论换路后，即t≥0时，电路中和i随时间变化的规律。根据基尔霍夫电压定律可列出回路电压方程电容C的放电电流所以式（5-2）为电路的一阶常系数线性齐次微分方程。求解此方程，就可得到uC与时间t的函数关系，即uC的时域响应。令其通解为上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析将其代入到式（5-2）并消去公因子，得出该微分方程的特征方程特征方程的根因此，式（5-2）的通解为下面确定积分常数A。根据换路定则，在t=0+时，

，则上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析uC随时间变化的曲线如图5-4所示。它的初始值为U0，按指数规律衰减趋于0。式（5-4）中，式（5-5）中，当R的单位为欧姆（Ω），C的单位为法拉（F）时，ζ的单位可导出如下：当t=ζ

时，上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析由此可见，时间常数ζ等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%时所需的时间。图5-4（a）中，过初始点的切线与横轴相交于ζ，用公式表示为指数曲线上任意点的次切距的长度都等于ζ。从理论上说电容的电压经过t=∞的时间达到稳态值。但根据指数函数的变化规律，实际上经过ζ=5的时间，可认为达到稳定状态。这时图5-5反映了零输入响应电路uC与ζ的函数关系，时间常数ζ越大，电容电压uC衰减越慢，即电容器放电越慢。上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析因为在一定初始电压U0下，电容C越大，储存的电荷量越多；电阻R越大，放电电流越小，则放电变慢。因此，改变C或R的数值，即改变电路的时间常数ζ，可以改变电容器放电的快慢。从式（5-4）得出t≥0时，电容器的放电电流为电阻元件R两端的电压为上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析二、RC电路阶跃电压激励时的响应阶跃电压u的数学表达式为u随时间变化的曲线如图5-6所示。下面分析RC电路在两种初始状态下的响应。1.零状态响应RC电路的零状态是指t=0—时，电容元件未储有能量，即uC(0—)=0。在此条件下，由电源激励产生的电路的响应，称为零状态响应。从物理意义上讲就是电容的充电过程。上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析图5-7是RC充电电路，在t=0时将开关S闭合，电路与一恒定电压为U的直流恒压源接通。此时，RC电路输入的是式（5-8）所示的阶跃电压u。根据基尔霍夫电压定律列出回路电压方程电容C的充电电流所以式（5-9）为电路的一阶常系数线性非齐次微分方程。它对应的齐次方程为上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析式（5-9）的通解uC是它的一个特解和它对应的齐次方程的通解（也称为补函数）之和，即当电容充电结束时，电路达到稳态，电容的端电压为U，即电容电压uC的稳态值为U。因此特解为令对应齐次微分方程的通解为将代入齐次微分方程，得该方程的特征方程上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析特征根为则因此，式（5-9）的通解为所以电容元件两端的电压当t=ζ

时即经过时间常数ζ，电压uC按指数规律增长到稳态值U的63.2%倍。上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析t≥0时电容器充电电流，可求出为电阻元件R上的电压uC，uR

，i随时间变化的曲线如图5-9所示。2.全响应在RC电路中，当t=0_时，电容元件储有能量，称为非零状态。在此条件下，由电源激励产生的电路的响应，称为全响应（也称非零状态响应）。上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析RC电路的全响应，也可定义为：电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应。如图5-7所示电路，在t=0时将开关S闭合，阶跃激励的幅值为U，t=0_时，电路的微分方程和式（5-9）相同，由此得出积分常数A和零状态时不同。所以式（5-14）中，移项后得上一页下一页返回5.2RC电路的暂态分析式（5-15）中，右边第一项为式（5-4），是零输入响应；第二项为式（5-11），是零状态响应。于是全响应=零输入响应+零状态响应上式是叠加原理在暂态电路分析中的体现。在求全响应时，可把电容元件的初始状态看做一个电压源。和电源激励分别单独作用时所得出的零输入响应和零状态响应的叠加，即为全响应。式（5-14）中，右边第一项U恒定不变，为稳态分量；第二项按指数规律变化，为暂态分量，则全响应可表示为全响应=稳态分量+暂态分量电路中的电流和电阻电压随时间变化的函数式可按下面的公式计算上一页返回5.3一阶电路暂态分析的三要素法仅含有一个储能元件或经化简后只含有一个独立储能元件的线性电路，因为它的微分方程是一阶常系数线性微分方程，故称为一阶电路。一阶电路是最简单和最常用的暂态电路。RC电路是一阶电路，电路中响应的一般函数关系式可以表示为上式是稳态分量（包括零值）和暂态分量两部分的叠加。f(t)的初始值为f(0+)，由式（5-16），代入式（5-16）得下一页返回5.3一阶电路暂态分析的三要素法式（5-17）是分析一阶电路暂态过程任意变量的一般公式。可见，只要求出初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ这三个要素，就能直接写出电路的响应f(t)，这种分析方法称为一阶电路暂态分析的三要素法。电路响应f(t)的变化曲线如图5-11所示，都是按指数规律变化的（增长或衰减）。上一页返回5.4微分电路和积分电路一、微分电路如图5-14所示的RC电路，设电容元件原先未储能。输入激励u1是周期矩形脉冲电压，波形如图5-15所示。u1

的幅值为U，脉冲持续时间(称脉冲宽度)为tp，周期为T。从电阻R两端输出的电压为u2。在图5-14所示电路中，设ζ﹤﹤tp（RC电路的时间常数远远小于脉冲宽度），在t=0时，u1从0突然上升到U，开始对电容元件充电。由于电容元件两端电压不能跃变，该瞬间它相当于短路（uC=0），所以u2=U。因为ζ﹤﹤tp，电容元件充电很快，uC很快增长到U；同时，u2很快衰减到0，在电阻两端输出一个正尖脉冲。u2的表达式为

，波形如图5-15所示。下一页返回5.4微分电路和积分电路在t=t1时，u1突然下降到0（输入端短路），由于uC不能跃变，在这瞬间，，极性与前相反。而后电容元件经电阻很快放电，u2很快衰减到零，输出一个负尖脉冲。u2的表达式为，波形如图5-15所示。在t=T时，u1第二个周期的矩形脉冲电压输入，u1又从0突然上升到U，电路的工作过程和第一个周期的相同，则u2的波形为周期正负尖脉冲电压，如图5-15所示。上述的关系可从下面的数学推导看出。由于，充放电很快，除电容器刚开始充电或放电的极短时间外，

，所以上一页下一页返回5.4微分电路和积分电路上式表明，输出电压u2近似地和输入电压u1对时间的微分成正比。所以图5-14所示的电路称为微分电路。随着τ和tp

比值的减小，在电阻两端逐步形成正、负尖脉冲输出，不同τ时对应u2的波形如图5-16所示。在电工技术中，常应用微分电路把矩形脉冲变换为尖脉冲，作为触发信号。二、积分电路如图5-17（a）所示的RC电路，设电容元件原先未储能。输入激励u1

也是周期矩形脉冲电压，如图5-17（b）所示，与图5-15中u1相同。从电容C两端输出电压为u2。上一页下一页返回5.4微分电路和积分电路如图5-17（a）电路中，设，在t=0时，u1从零突然上升到U，电容充电。由于电容两端电压u2不能跃变，该瞬间相当于短路（u2=0）。因为，相对于tp，电容元件缓慢充电，其上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长。在t=t1

时，u1脉冲已结束，u2

还未增长到稳态值U，电容器上电压缓慢衰减。在t=T时，u1第二个周期的矩形脉冲电压输入，u1

又从零突然上升到U，电容器缓慢充电，其上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长，在输出端输出一个锯齿波电压，输出电压u2的波形如图5-17（b）所示。从数学上看，当u1的第一个矩形脉冲输入时，因为，电容电压uC增长和衰减很缓慢，电容器充电时，所以上一页下一页返回5.4微分电路和积分电路所以输出电压为可见，输出电压u2

与输入电压u1近于成积分关系。所以图5-17（a）所示的电路称为积分电路。由图5-17（b）的波形，也能看出对u1积分的结果是u2。RC积分电路具有两个条件：(1)；（2）从电容器两端输出。在电工技术中，常应用积分电路把矩形脉冲电压变换为锯齿波电压，作同步信号、扫描等用。上一页下一页返回5.4微分电路和积分电路时间常数τ越大，电容器充放电越缓慢，锯齿波电压的线性度也越好。由上面的讨论可知，微分电路和积分电路都是RC串联电路，当条件不同时，所得结果相反。上一页返回5.5RL电路的暂态分析一、RL电路的零输入响应RL电路在无输入激励的情况下，由电感元件的初始状态激励所产生的电路的响应，称为零输入响应。从物理意义上讲就是电感元件放出磁场能量的过程。图5-18是一个RL串联电路。在换路前，开关S合在位置2上，电感元件中的电流为I0，电路已经处于稳定状态。在t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零，RL电路被短路。此时，电感元件的电流的初始值，电感元件经电阻R放出磁场能量。根据基尔霍夫电压定律可列出回路电压方程下一页返回5.5RL电路的暂态分析电感L两端的电压所以式（5-20）为电路的一阶常系数线性齐次微分方程。求解此方程，就可得到i与时间t的函数关系，即i的时域响应。令其通解为上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析式中，A为积分常数，p为特征方程的根。将其代入到式（5-20）并消去公因子，得出该微分方程的特征方程特征方程的根因此，式（5-20）的通解为下面确定积分常数A。根据换路定则，在时,则上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析式（5-21）中，式（5-22）中，当R的单位为欧姆（Ω），L的单位为亨利（H）时，τ的单位为从式（5-21）得出t≥0时电阻元件R两端的电压为电感元件两端的电压为上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析i、uR和

uL随时间变化的曲线如图5-19所示。在图5-18中，RL串联电路为线圈的电路模型。如果用开关S使线圈突然断开时，由于电流变化率很大，则自感电动势很大，使开关两触点之间的空气击穿，开关触点被烧坏。如果在线圈两端原来并联电压表，由于其内阻很大，实际工作中应先拆除电压表而后扳断开关，以免引起过电压损坏电压表。二、RL电路阶跃电压激励时的响应1.零状态响应上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析RL电路的零状态是指换路前终了瞬间时，电感元件未储有能量，即。在此条件下，由电源激励产生的电路的响应，称为零状态响应。从物理意义上讲就是电感中磁场能量的建立过程。图5-22是RL串联电路。在t=0时将开关S闭合，电路与电压为U的直流恒压源接通。此时，RL电路输入的是式（5-8）所示的阶跃电压u，波形如图5-6所示。下面讨论换路后，即t≥0时，电路中i、uR和uL随时间变化的规律。根据基尔霍夫电压定律列出回路电压方程电感元件L两端的电压上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析所以式（5-25）为电路的一阶常系数线性非齐次微分方程。它对应的齐次方程为式（5-25）的通解i是它的一个特解i′和它对应的齐次方程的通解i″之和，即特解为上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析对应齐次微分方程的通解为将i″代入齐次微分方程，得该方程的特征方程特征根为则因此，式（5-25）的通解为电感电流上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析电流i随时间变化的曲线如图5-23所示。电流i按指数规律增长趋于稳态值，其中：i′是稳态分量（稳态值），i″按指数规律衰减趋于零，是暂态分量。即i是由稳态分量和暂态分量叠加而成的。电路的时间常数为当t≥0时，电阻的电压电感电压上一页下一页返回5.5RL电路的暂态分析uR和uL随时间变化的曲线如图5-24所示。在稳态时，电感元件相当于短路，其上电压为0，因此电阻元件上的电压等于电源电压。2.全响应RL电路的全响应为电源激励和电感元件的初始状态不为0时电路的响应。如图5