电工技术-第三章

3.1电感元件和电容元件3.1.1电感元件导线中有电流时,周围就有磁场。把导线绕成线圈可增强线圈内部的磁场,这种线圈称为电感元件。线圈中有电流时,就产生磁通ϕ,如果线圈有N匝,则产生的磁通就称为磁链ψ,ψ=Nϕ,单位同磁通。磁链与电流之比称为线圈的电感(或自感)L。若L=ψ/i为常数,该电感称为线性电感。电感的单位为亨[利](H)或毫亨(mH),1mH=10-3H。实际线圈除电感外还具有电阻。若忽略其电阻,线圈就成为理想电感(纯电感),如图3-1所示。下一页返回3.1电感元件和电容元件1.电感的电压电流关系根据电磁感应定律,线圈上的感应电动势的大小等于磁链的变化率,且力求使感应电流阻止磁链变化,在图3-1中有线性电感任一时刻的电压取决于该时刻电流的变化率,而与电流的大小无关。电路达到稳态时,电流恒定(变化率为零),电压u=0,这时电感视为短路。上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件2.电感的储能图3-1中,电感的瞬时功率p(t)=ui。当u、i同号时,p(t)>0,这时电感吸收电能,并转换为磁场能量储存起来;当u、i异号时,p(t)<0,这时电感释放磁场能量转换为电能供给电路。若t0

时刻前电感的储能为零,那么在t时刻电感的储能为上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件3.电感的串并联图3-2a为n个电感的串联,它可等效为图3-2b所示的一个电感,等效的条件为图3-2a、b中任一时刻u和i相同。对图3-2a:对图3-2b:上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件根据等效条件得到串联电感的等效公式为图3-3a为n个电感的并联,它可等效为图3-3b所示的一个电感。对图3-3a:上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件对图3-3b:根据等效条件得到,并联电感的等效公式为上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件3.1.2电容元件两块导体(极板)用绝缘介质隔开就构成了一个简单的电容器,如图3-4所示。若两极板聚积等量异号电荷q时,极板间电压为u,则电容:若C为常数,该电容称为线性电容。上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件1.电容的电压电流关系由式(3-6)得q=Cu,由此得到电容的电流为上式表明电容电流的大小取决于其电压随时间的变化率,而与电压大小无关,稳态时,电容电压恒定,i=0,这时电容可视为开路。也可将电容的电压表示为电流的函数上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件2.电容的储能在图3-4中,电容的功率p(t)=ui。当u、i同号时,p(t)>0,这时电容吸收电能,并转换为电场能量储存起来。当u、i异号时,p(t)<0,这时电容释放电场能量转换为电能供给电路。若t0

时刻前电容的储能为零,那么在t时刻电容的储能为上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件上式表明电容的储能WC

随u的变化而变化。实际电路中,由于WC不能跃变,因此电容电压也不能跃变。3.电容的串并联图3-5a为n个电容的串联,它可等效为图3-5b所示的电容C。等效条件是图3-5a、b中u相等,q相等。由图3-5a得上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件由图3-5b得根据等效条件得到,串联电容的等效公式为上一页下一页返回3.1电感元件和电容元件图3-6a为n个电容的并联,它可等效为图3-6b所示的电容C。等效条件是图3-6a、b两图中u相等,q相等。由图3-6a得由图3-6b得根据等效条件得到,并联电容的等效公式为上一页返回3.2储能元件的初态与稳态3.2.1换路定则图3-8a、b两电路中,开关S接在1位置,t=0时刻,S换接到2位置,使电路的激励改变;图3-9中,开关S原来打开,在t=0时刻,S闭合,电路结构发生改变。以上情形称为换路。由于电感和电容储存的能量WL

和WC

不能跃变(这里不考虑强制跃变的情况),由式(3-3)和(3-8)知,在换路前后,电感电流和电容电压不跃变,这个规律称为换路定则。若换路前瞬间t=0-,换路后瞬间t=0+,换路定则可表示为下一页返回3.2储能元件的初态与稳态3.2.2稳态图3-8a中,若换路前电容储能为零,即uC(0-)=0。换路后一瞬间uC(0+)=uC(0-)=0,i=E/R,电容充电。随着电容极板电荷逐步增加,uC

逐步增大,i=(E-uC)/R逐步减小。当电容极板电荷增大到Q,使uC=Q/C=E时,i=0。之后,电路各电压电流不再改变,电路处于稳态。稳态时,uC

恒定,i=0,电容相当于开路。对图3-8b进行同样的分析可知,当电流i=E/R,uL=0时,电感储能完成,电路处于稳态,这时电感相当于短路。稳态指电路中储能元件吸收或释放能量的能量转换过程已经完成,电路中各支路电流电压不再变化的状态。这时电容电压uC

为常数,电流iC=0,电容可看作开路;电感电流iL为常数,电压uL=0,电感可视为短路。稳态往往指t=∞时刻。上一页返回3.3一阶RC电路的响应3.3.1一阶RC电路的全响应RC电路全响应指电路输入和uC(0+)均不为零时电路的响应。图3-15所示电路原处于稳态,这时uC(0-)=E1。t=0时开关S从位置1换接到位置2,换接瞬间uC(0+)=uC(0-)=E1,换路后,电路的回路电压方程为将i=CduC/dt代入上式,得令下一页返回3.3一阶RC电路的响应式3-13中,τ具有时间的量纲,称为时间常数。当R和C的单位分别为Ω、F时,τ的单位为s。解式(3-12)的微分方程得将初始条件uC(0+)=E1,代入上式,A=E1-E2。由此得到换路后上一页下一页返回3.3一阶RC电路的响应由i=CduC

、dt可得由式(3-14)和式(3-15)可得出uC

和i随时间变化的情况见表3-1。由表3-1可以清楚地看到,暂态分量随时间衰减很快。通常认为经过3τ~5τ时间,暂态分量接近为零,电路就进入稳态。在表3-1中,t=0+

时,uC=uC(0+)=uC(0-)。由替代定理,在t=0+

时刻,C可用电压为uC(0+)的电压源代替,若uC(0+)=0,则C可看作短路。由式(3-14)和式(3-15),可得uC

和i随时间变化的关系曲线。当E2>E1

时,曲线如图3-16a所示;当E2<E1

时,曲线如图3-16b所示。上一页下一页返回3.3一阶RC电路的响应3.3.2RC电路的零状态响应RC电路的零状态,指换路前电容储能为零,即uC(0-)=0的状态。在图3-15所示全响应电路中,若E1=0,电路变为图3-21。换路时uC(0+)=uC(0-)=0。将E1=0,E2=E代入式(3-14)和式(3-15),得到上一页下一页返回3.3一阶RC电路的响应式(3-18)、式(3-19)称为E激励下的零状态响应。零状态响应的过程是电容充电的过程,是电容电压从零逐步地充电到E,而充电电流从E/R逐步减小到零的过程。uC

和i随时间变化的曲线,即电容充电曲线如图3-22所示。3.3.3RC电路的零输入响应零输入指换路后电路的激励(电源)为零。在图3-15中,E2=0,电路变为图3-23。将E1=E,E2=0代入式(3-14)和式(3-15),得到上一页下一页返回3.3一阶RC电路的响应式(3-20)和式(3-21)是图3-22电路的零输入响应。零输入响应过程是电容C放电的过程,电容C的电压随时间而下降,电容储存的能量逐步消耗到电阻上。零输入响应的曲线(电容放电曲线)如图3-24所示。上一页返回3.4一阶RL电路的响应3.4.1一阶RL电路的全响应全响应指电路的激励(输入)和电感的初始电流iL(0+)均不为零时电路的响应。图3-26电路原处于稳态,这时i(0-)=E1/R。t=0时开关S从1位置换接到2位置,换路后的初始状态i(0+)=i(0-)=E1/R。换路后,回路电压方程为将uL=Ldi/dt代入上式得下一页返回3.4一阶RL电路的响应方程两端同时除以L,得到令上式中,当R的单位为Ω,L的单位为H时τ的单位为s。式(3-22)的微分方程的解为上一页下一页返回3.4一阶RL电路的响应将初始状态i(0+)=E1/R代入上式,得到A=E1/R-E2/R,由此得到换路后由uL=Ldi/dt得由式(3-24)和式(3-25)可得出i和uL

随时间变化情况见表3-2。上一页下一页返回3.4一阶RL电路的响应3.4.2一阶RL电路的零状态响应和零输入响应在图3-26中,若E1=0,E2=E,换路后,iL(0+)=0,电路为零状态。将这些条件代入式(3-24)和式(3-25)得到零状态响应为在图3-26中,若E1=E,E2=0,换路后,电路为零输入状态。将这些条件代入式(3-24)和式(3-25)得到零输入响应为上一页下一页返回3.4一阶RL电路的响应零状态响应和零输入响应的曲线分别如图3-30和图3-31所示。3.4.3电感元件从电源断开时的处理实际电感线圈是有电阻的,其电路模型如图3-34中的R与L串联。当S闭合,线圈正常工作,并处于稳态时,i=E/R。当S断开瞬间,i从E/R变为零,|di/dt|很大,在线圈上将产生一个很大的电压|uL|。这个电压会使电路中的元器件损坏,并可能引发安全问题,因此当电感线圈从电源断开时应将其短路,通常接成图3-35a和b的形式。上一页下一页返回3.4一阶RL电路的响应二极管VD

具有单向导电性能,图3-35a中S闭合时,VD

相当于开路,对线圈正常工作无影响。当S断开时,VD

相当于短路,i不跃变,L的磁场能量逐步在电阻上消耗掉,电感两端不会产生高电压。图3-35b中,S闭合,稳态时电容相当于开路,不会影响线圈的正常工作。S断开时i不跃变。这时RLC构成一个阻尼振荡电路,随着i的减小,L和C的能量逐步在电阻R上消耗,线圈两端不会出现高电压。有时也用大电阻代替图3-35中的二极管和电容。上一页返回3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法只含有一个储能元件(电容或电感)的线性电路称为一阶线性电路。由上两节的分析可知,一阶线性电路不管简单还是复杂,其电路方程均为一阶常系数线性微分方程,其解一定包括稳态分量和暂态分量两部分。若要求某支路的电流或电压f的响应,其稳态分量一定为稳态值f(∞),其暂态分量为(f(0+)-f(∞))e-tτ,响应写为下一页返回3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法式(3-32)中的f(0+)、f(∞)和τ称为一阶线性电路的三要素。要求某条支路的电压或电流f,只需要求出三要素(初态值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ)然后将其代入式(3-32)