1.2 反比例函数的图像与性质（讲义）（解析版）

第一章反比例函数1.2反比例函数的图像与性质知识点一反比例函数的图象1.反比例函数图象的基本形状：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这种曲线叫做2.反比例函数图象的绘制步骤：①列表：选取自变量x的若干个值（需注意x≠0，可选取正数、负数，且尽量对称，如-4、-3、-2、-1、1、2、3、4），计算出对应的函数值y；②描点：以自变量x的值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，注意分两支绘制（正数x对应一支，负数x对应一支），不可连接成直线，且曲线要贴合所有描出的点。即学即练1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数y=5x的图象可能是（A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据k=5>0知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案．【详解】解：∵y=5x中∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，所以，选项C符合题意，故选：C．2．（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数y=kx经过点(2,6)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（A．(3,-4) B．(4,3) C．(-1,12) D．(1,-12)【答案】B【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数y=kx图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数k，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与k值对比，相等则该点在函数【详解】解：∵反比例函数y=kx经过点∴将x=2，y=6代入y=kx中，得解得k=12，∴该反比例函数的解析式为y=12x，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为A选项：3×(-4)=-12≠12，故该点不在函数图象上；B选项：4×3=12，故该点在函数图象上；C选项：(-1)×12=-12≠12，故该点不在函数图象上；D选项：1×(-12)=-12≠12，故该点不在函数图象上；故选：B．3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数y=-12x的(1)完成下列表格：x…-6-4-3-22346…y…236-4-3…(2)描点、连线画图：【答案】(1)4，-6-2(2)【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值；（2）描点连线绘制即可．【详解】（1）∵y=-12∴当x=-3时，y=4；当x=2时，y=-6；当x=6时，y=-2.故答案为：4，（2）描点连线绘制函数图像如下：【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键.知识点二反比例函数图象所在象限1.反比例函数图象的位置（所在象限）由比例系数k的符号决定，分为两种情况，具体如下：①当k>0时：双曲线的两支分别位于第一、三象限（如y=6②当k<0时：双曲线的两支分别位于第二、四象限（如y=-62.推导依据：由y=kx变形得xy=k，x与y的符号由即学即练1．（2026·云南保山·一模）反比例函数y=4x的图象A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【答案】A【详解】解：∵y=4x中，∴该反比例函数的图象位于第一、三象限．2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数y=m-2x的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（A．m<2 B．m>2 C．m>-2 D．m≠2【答案】A【分析】反比例函数y=kx中，当系数k<0时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出【详解】解：∵反比例函数y=m-2x的∴m-2<0，解得m<2．3．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点M表示数为m，若反比例函数y=m-1x的图象在第二、四象限，则关于点A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧【答案】C【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到m的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点M的位置即可．【详解】解：∵反比例函数y=m-1x的∴m-1<0，∴m<1，∵数轴上点M表示的数为m，∴点M一定在1的左侧．知识点三反比例函数的增减性1.当k>0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小（注意：不能说“y随x的增大而减小”，需限定“同一象限”）；当k<0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大（同理，需限定“同一象限”）。即学即练1．（2026·江苏镇江·一模）用扳手拧螺丝时，拧动螺丝的力F（单位：N）与扳手的长度L（单位：cm）满足反比例函数关系．当扳手的长度增大时，所需用力会（

）A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定【答案】B【详解】解：由题意可设拧动螺丝的力F（单位：N）与扳手的长度L（单位：cm）满足的函数关系为F=k∴当扳手的长度增大时，所需的力会减小．2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线y=k-1x在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（A．k<-1 B．k>-1 C．k<1 D．k>1【答案】D【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数在象限内的增减性与比例系数的关系求解即可．【详解】解：∵双曲线y=k-1x在每一个象限内，y随∴k-1>0∴k>1．故选：D．3．（2026·北京平谷·一模）已知点A1,y1,Bm,y2在反比例函数y=3x【答案】2（答案不唯一）【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到y1的值，再结合y1>【详解】解：由反比例函数y=3x，可得∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，将x=1代入y=3x，得当m<0时，点Bm,y2在第三象限，此时y当m>0时，点Bm,y2在第一象限，由y∴m满足m<0或m>1即可，∴取符合条件的值m=2．知识点四反比例函数图象的对称性1.中心对称：双曲线的两支关于原点成中心对称，即若点（a，b）在反比例函数图象上，则点（-a，-b）也在该图象上；对于y=kx和y=-kx（k≠0），它们的图象关于即学即练1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为1,-3，则其另一个交点坐标是（A．1,3 B．3,1 C．-1,-3 D．-1,3【答案】D【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题．【详解】解：由题意知，∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称，∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称，∵直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为∴另一个交点的坐标为-1,3，故选：D．2．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数y1=kx的图象与反比例函数y2=-10x的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为A．2,-5 B．2,5 C．5,-2 D．5,2【答案】A【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点B的坐标为-2,5，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称．【详解】解：∵反比例函数y2=-10x的∴-2a=-10，∴a=5，∴点B的坐标为-2,5，∵正比例函数y1=kx的图象与反比例函数y2=-10x的∴点A与点B的坐标关于原点对称，∵点B的坐标为-2,5，∴点A的坐标为2,-5．故选：A．知识点五反比例函数图象的相关应用1.待定系数法求解析式步骤：①设：设解析式为y=k②代：将已知点x0y0代入，得③求：计算k的值；④写：写出完整解析式。2.由图像确定函数解析式：反比例函数只有1个待定系数k，只需知道图象上一个点的坐标（x₀，y₀），代入y=kx，即可求出k=x₀y₀3.由函数解析式判断点是否在图象上：将点的坐标（a，b）代入解析式，若满足b=ka（即ab=k），则点在图象上；否则不在。4.利用增减性比较函数值大小：①判断k的符号，确定函数增减性；②判断两个点是否在同一象限；③根据增减性比较y值大小。5.根据自变量取值范围确定函数值范围（或反之）：结合函数图象，找到自变量对应的图象区间，进而确定函数值的取值范围（数形结合思想）。即学即练1．（2026·广东汕头·一模）若点-1,y1，1,y2，2,y3都在反比例函数A．y3>y2>y1 B．【答案】D【详解】解：∵点-1,y1，1,y2，2,y∴y1=2-1=-2∴y22．（2026·重庆沙坪坝·一模）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点2,3，则k的值是（A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出k的值．【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的∴将x=2，y=3代入解析式y=kx∴k=2×3=63．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数y=kxk>0的图象与一次函数y=34x的图象交于A、B两点（点

(1)求k的值及B点的坐标．(2)根据图象，直接写出当kx>3【答案】(1)B-4,-3，(2)x<-4或0<x<4【分析】（1）先求出点A，再由待定系数法求解k，以及反比例函数的对称性求解点B；（2）当kx>34x的解集即为反比例函数图象【详解】（1）解：由题意得，将x=4代入y=34x∴A4,3再将A4,3代入y=kx∵点A4,3，B∴B-4,-3（2）解：由（1）可得A4,3，B∴根据函数图象可得，kx>34x题型01判断反比例函数图象所在象限/（1）k>0：图象在一、三象限；k<0：图象在二、四象限.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）函数y=-6x的图象分别在（A．第一象限和第三象限 B．第二象限和第四象限C．第一象限和第四象限 D．第二象限和第三象限【答案】B【分析】根据比例系数k的符号判断图象所在象限即可.【详解】解：∵y=-6x∴反比例函数的图象分别位于第二象限和第四象限.变｜式｜巩｜固1．（2026·云南昭通·一模）反比例函数y=kx过点3,5，请问该反比例函数的图像分布在（

A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【答案】A【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数k，再根据反比例函数的性质判断图像所在象限即可．【详解】解：∵反比例函数y=kx过点∴k=3×5=15>0，∴根据反比例函数的性质，当k>0时，函数图象分布在第一、三象限．2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数y=kxk≠0的图象经过点-3,4，则它的图象A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限【答案】C【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的∴k=(-3)×4=-12∵k=-12<0∴该反比例函数的图象位于第二、四象限题型02结合k的取值范围判断图象特征/（1）由k正负定象限、曲线弯曲趋势；（2）|k|越大，双曲线离坐标轴越远.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数y=-3x的图象大致是（A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定【详解】解：根据定义，y=-3∵k=-3<0，∴两支曲线分别位于第二、四象限内，故选A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算a※b=ab(b>0)-ab(b<0)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键．按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可．【详解】解：当x>0时，y=1※x=1当x<0时，y=1※x=-1x故选：B．2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知k1<0<k2，则函数y=k1A．B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据k1<0<k2分析两个函数图象所在象限，【详解】解：∵k1<0<y=k2x的图象y=k1x+5在一、故选：A．题型03根据k值判断函数增减性/（1）k>0，每个象限内y随x增大而减小；（2）k<0，每个象限内y随x增大而增大.典｜例｜精｜析1．（2026·山西大同·模拟预测）下列关于反比例函数y=-5x的说法，正确的是（A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限C．点(1,5)在该函数的图象上 D．在每一象限内，y随x的增大而减小【答案】B【分析】先确定反比例函数y=-5x中k【详解】解：对于反比例函数y=-5x，可得∵k<0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，因此B正确，A，D错误；将x=1代入函数，得y=-51=-5≠5，因此点1,5不在该函数图象变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数y=kxx<0的图象如图所示，随着x值的增大，yA．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=kx，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量根据反比例函数的性质：当k>0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小即可解答．【详解】解：由图可知，图象在第三象限，∴k>0，∴函数值y随着自变量x的增大而减小．故选：A．2．（2026·江苏徐州·二模）反比例函数y=-4x，当x>0时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小【答案】增大【详解】解：∵反比例函数y=-4x，∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；故当x>0时，y随x的增大而增大.题型04比较反比例函数自变量值/函数值大小/（1）同象限：按增减性直接比；（2）跨象限：正负数值直接区分大小；（3）赋值代入计算对比.典｜例｜精｜析1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数y=kx(k≠0)的图象与直线y=-x相交于点x1,y1，x2,y2，其中x1<0<A．y1>y3 B．y1=【答案】A【分析】先根据反比例函数与直线的交点位置判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的增减性比较y1与y【详解】解：∵函数y=kxk≠0与y=-x交于两点x1,∵直线y=-x经过第二，四象限∴函数y=kxk≠0在第二，四象限，且在每一象限内，y∴点x1∵点x1-1,y3也在函数∴点x1-1,∴y12．（2026·天津河北·二模）若点Ax1,-4,Bx2,-1,CxA．x1<x2<x3 B．【答案】C【分析】将各点纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出横坐标，直接比较大小即可.【详解】∵点Ax1,-4,Bx∴x1x2x3∵-5<-5∴x2变｜式｜巩｜固1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）若点Ax-3,y1，Bx-1,y2，Cx+1,y3（其中1<x<3）都在反比例函数y=A．y1<y2<y3 B．【答案】B【分析】先根据1<x<3确定三个点横坐标的取值范围，再结合反比例函数y=3x的增减性比较【详解】解：∵反比例函数y=3x中，∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。∵1<x<3，∴三个点的横坐标满足：-2<x-3<0，0<x-1<2，2<x+1<4，∴点A在第三象限，点B、C在第一象限，∴y1<0，y2∵0<x-1<x+1，∴根据反比例函数增减性，得y2∴y2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点Ax1,-1，Bx2,2，Cx3,3都在反比例函数y=a2+2xA．x1<x2<x3 B．【答案】B【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可．【详解】解：∵对于任意实数a均有a2∴k=a∴反比例函数y=a2+2x的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，∵-1<0<2<3，∴点Ax1,-1在第三象限，点B∴x1<0，x2又∵在第一象限内y随x的增大而减小，且2<3，∴x3∴x13．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知Ax1,y1、Bx2,y2都在反比例函数y=-10x的图象上，若x1【答案】>【分析】本题考查了反比例函数性质．根据反比例函数性质，结合自变量取值范围判断函数值符号，再计算差值即可．【详解】解：∵-10<0，∴当x<0时y>0，当x>0时y<0，∵x1∴y1即y1故答案为：>．4．（25-26九年级上·北京·月考）若点Ax1,1和Bx2,4在反比例函数y=2x图象上，则【答案】>【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数的解析式得到该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．【详解】解：∵反比例函数y=2x中，∴该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点Ax1,1和B∴x1故答案为：>题型05由反比例函数的对称性求点的坐标/（1）关于原点对称：(x,y)→(-x,-y)；（2）关于直线y=x对称：(x,y)→(y,x)；（3）关于直线y=-x对称：(x,y)→(-y,-x).典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A，B两点，若点A的坐标为1,2，则点B的坐标为（A．-1,-2 B．1,2 C．-1,2 D．1,-2【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点A、B关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解．【详解】解：∵双曲线y=kx与直线y=mx相交于A，∴点A、B关于原点对称，∵点A的坐标为1,2，∴点B的坐标为-1,-2．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数y=1-mx的①常数m<1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数图象上一点，则S△ABO=1-m2；④若点P(x,y)在A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数y=1-mx的∴1-m>0，解得m<1，故①正确；由反比例函数y=1-mx的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故设点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为b,1-m则S△ABO=|a|⋅∵反比例函数的图象关于原点对称，∴若P(x,y)在图象上，则P'(-x,-y)也在图象上，故综上，结论正确的是①④．故选：D．2．（2026·江苏盐城·一模）已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为-3,4，则它们的另一个交点坐标是【答案】3,-4【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可．【详解】解：∵直线y=mx的图象关于原点对称，双曲线y=kx的∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．已知一个交点坐标为-3,4，因此另一个交点坐标为3,-4．题型06根据图象性质求参数范围/（1）由象限、增减性、点位置列不等式，联立求解参数.典｜例｜精｜析1．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数y=2-mx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：∵反比例函数y=2-mx的图象的每一条曲线上，y都随∴比例系数2-m>0解得m<2观察选项，只有选项A的1满足m<2．变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点A-2,y1、B1,y2、C2,y3都在反比例函数y=kx（kA．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0【答案】B【分析】先根据x正半轴上两点的纵坐标关系判断函数增减性，再结合A点的位置验证k的符号即可得到答案．【详解】解：∵点B1,y2、C2,y3都在反比例函数y=kx（k为常数，∴当x>0时，y随x的增大而增大，∴k<0，当k<0时，点A-2,y1在第二象限，y1>0，点B1,y∴k的取值范围是k<0．42．（2026·河南周口·二模）若点Pa-2,y1，Qa+1,y2在反比例函数A．a<-1 B．a>2 C．-1<a<2 D．任意实数【答案】C【分析】利用反比例函数的性质，k<0时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围．【详解】解：∵反比例函数y=k∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大，∵(a+1)-(a-2)=3>0，即a-2<a+1，若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得y1<y∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限，可得不等式组a-2<0，a+1>0，解得-1<a<2，故选：C．3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点A(t,t-2)、B(3-4t,1)、C(1,m)(m>0)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则m【答案】15【分析】根据反比例函数的性质，图象上任意一点x,y都满足xy=k，先通过点A、B的坐标列出关于t和k的方程组，求出t的可能取值，再分别验证并排除不符合m>0的情况，最终得到m的值．【详解】解：∵A(t,t-2)、B(3-4t,1)在反比例函数y=kx(k≠0)∴t-2=解得：t=1或-3，当t=1时，k=3-4t=-1，此时y=-1x，将C(1,m)代入得当t=-3时，k=3-4t=15，此时y=15x，将C(1,m)代入得故m=15．题型07计算双曲线上点与坐标轴围成图形面积/（1）点Pxy在y=kx上，矩形面积典｜例｜精｜析1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数y=4x(x>0)的图象如图所示，点Ax,y是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，则A．1 B．2 C．5 D．6【答案】B【分析】直接根据k值的几何意义，即可得出结果.【详解】解：∵点Ax,y是反比例函数y=4x(x>0)图象上一点，∴△AOB的面积是42变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏连云港·一模）如图，B、C两点分别在函数y=5xx>0和y=-1xx<0的图像上，线段BC⊥y轴，点A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【详解】解：连接OC、OB，线段BC交y轴于点D，∵S△ABC=∴S∵S由反比例函数中k的几何意义知，S△OCD=-1∴S2．（2026·广东江门·二模）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，点A、C均在x轴上，且点B、D均在反比例函数y=8x(x>0)上，连接BC交AD于点P，连OP，则阴影面积S【答案】8【分析】由等边三角形的性质得∠AOB=∠CAD=60°，推出OB∥AD，进而可得S△OBP=S【详解】解：如图，作BE⊥OA于点E，∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴OB∥∴点P与点A到OB的距离相等，∴S△OBP∵△AOB为正三角形，BE⊥OA，∴OE=AE=1又∵点B在反比例函数y=8∴S△OBP3．（2026·河南洛阳·一模）如图，▱AOCB的顶点A，B分别在双曲线y=k1x和y=-5x上，顶点C在x(1)求双曲线y=k(2)求▱AOCB的面积．【答案】(1)y=(2)7【分析】（1）将点A(1,2)代入y=k（2）连接OB，设AB与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得S△BOD=52，【详解】（1）解：将点A(1,2)代入y=k1x解得：k1∴双曲线的解析式为y=2（2）解：连接OB，设AB与y轴交于点D，∵四边形AOCB为平行四边形，点C在x轴上，∴AB∥y轴，∵点A和点B分别在双曲线y=2x和∴S△BOD=∴S∴S题型08根据图形面积求比例系数/（1）套用S=12|k|或S=|k|列式，结合图象象限判定典｜例｜精｜析1．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴上，AB=AC，BC∥x轴，双曲线y=kxx>0的图象经过A、C两点，若△ABC的面积等于3A．3 B．92 C．6 D．【答案】C【分析】先过点A作AD⊥BC交BC于点D，根据AB=AC，推出BD=DC=12BC，结合题意设Aa,ka，结合BC∥x轴求出【详解】如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=1∵双曲线y=kxx>0的图象经过A∵BC∥x轴，∴xD∴BD=a，BC=2a，∴xC∵双曲线y=kxx>0的图象∴C2a,∴Da,∴AD=y∵S△ABC=3，∴12解得：k=6．变｜式｜巩｜固1．（2026·广东深圳·二模）如图，已知▱ABCD的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE=3，S四边形A．4 B．8 C．10 D．14【答案】B【分析】根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得S△AOB=12S▱ABCD，则设S△ABE=a，得到方程a+3=12(a+7)，【详解】解:∵▱ABCD，∴AB∥CD，,AB=CD，∴S设S△ABE∵S△BOE=3∴a+3=12∴a=1，∴S∴k=8．2．（2026·河南三门峡·二模）如图，在△ABC中，点A，B分别在反比例函数y=kx和y=6x的图象上，AB∥x轴，点C在y轴上，S【答案】-4【分析】根据S△ADC:S△BCD=2:3，得出AD:DB=2:3；再分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F，则S四边形AEOD【详解】解：∵S∴AD:DB=2:3．如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F，则S四边形∴k∴k∴k=±4，∵反比例函数y=kx(x<0)∴k=-4．3．（2026·广东深圳·二模）如图，过原点的直线和反比例函数y=kx(k≠0)相交于A、B，延长BA至C，使得点A是BC中点，过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E，连接BE，若△CBE的面积为32，则【答案】6【分析】过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AF⊥BG于点F，设点A的坐标为x,kx，则点B的坐标为-x,-kx，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点C的坐标为3x,3kx，根据CE⊥x轴，可知点E的横坐标为3x，可以求出点E的纵坐标为yE=k3x，从而可得BG=4x，【详解】解：如下图所示，过点B作BG⊥AD于点G，过点A作AF⊥BG于点F，设点A的坐标为x,kx，则点B的坐标为∵点A是BC中点，设点C的坐标为xC可得：x=1解得：xC∴点C的坐标为3x,3k∴点E的横坐标为3x，∴y∴BG=3x--x=4x，∴S∵△CBE的面积为32，∴16k解得：k=6．题型09反比例函数与一次函数图象综合辨析/（1）分别根据k、一次项系数、常数项，判断各自图象象限、走势，匹配选项.典｜例｜精｜析1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=kx-kk≠0在同一平面直角坐标系中的A． B． C． D．【答案】C【分析】一次函数的图象和性质：①当k>0，y随x的增大而增大，若b>0，则图象经过一、二、三、象限；若b<0，则图象经过一、三、四象限②当k<0时，y随x的增大而减小，若b>0，则图象经过一、二、四象限；若b<0，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若k>0，反比例函数图象在第一、三象限，若k<0，反比例函数图象在第二、四象限，．【详解】解：若k>0，则反比例函数y=kxk≠0的图象在第一、三象限，一次函数y=kx-k若k<0，则反比例函数y=kxk≠0的图象在第二、四象限，一次函数y=kx-k只有C选项符合．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数y=3kx和y=-5kx+8的图象大致是（A．B．C． D．【答案】A【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可．【详解】解：∵y=-5kx+8，∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误；A．由一次函数的图象可知-5k<0，即k>0，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象；D．由一次函数的图象可知-5k>0，即k<0，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象．2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数y=kx和y=-kx-3k≠0A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案．【详解】解：对于y=-kx-3k≠0，当x=0时，y=-3，观察图象可排除B和D∵反比例函数y=kx∴当k>0时，函数y=kx在第一、三象限，一次函数当k<0时，函数y=kx在第二、四象限，一次函数观察A、C选项，选项A符合题意．题型10画反比例函数图象/（1）列表取值（x正负对称取值，不取0）→描点→平滑双曲线连线，分两支绘制.典｜例｜精｜析1．（2026·河南平顶山·一模）在△ABC中，BC的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．(1)关于y与x的函数关系式是______，x的取值范围是______．(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象．(3)直线y=x+3与y轴交于点D，与（1）中的函数交于点E，点P是x轴上的点，若△EOP的面积等于△EDO面积的5倍，求点P的坐标．【答案】(1)y=4x(2)见解析(3)点P的坐标为154,0【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可；（2）利用列表描点法画出函数图象即可；（3）先求出D、E的坐标，进而得到S△DOE=32，设Pp,0，再根据△EOP【详解】（1）解：在△ABC中，BC的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，则12∴y关于x的函数关系式是y=4x，x的取值范围是（2）解：由（1）可知，y=4列表如下：x⋯1124⋯y⋯8421⋯描点连线，函数图象如下：（3）解：令x=0，则y=x+3=3，则D0,3∴OD=3联立y=x+3y=解得：x1=1，∴y=4∴E1,4，即点E到x轴的距离为4，到y轴的距离为1∴S∵点P是x轴上的点，∴设Pp,0，则OP=∵△EOP的面积等于△EOD面积的5倍，∴1即2p∴p=±15∴点P的坐标为154,0或变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知y是x的反比例函数，且当x=32时，(1)求该反比例函数的表达式；(2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象；x⋯-6-3-2-11236⋯y⋯⋯(3)当-4≤x≤-1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为______．【答案】(1)y=-6(2)填表、画图见解析；(3)6．【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；（2）先完成表格，再描点、连线；（3）结合图象即可得到y的最大值．【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数，∴设y=k∵当x=32时，∴-4=k32∴该反比例函数的表达式为y=-6（2）解：列表：x⋯-6-3-2-11236⋯y⋯1236-6-3-2-1⋯描点：连线：画图象如下，（3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当x=-1时，y=-6故答案为：6．2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知反比例函数y=kxk≠0的图象的一支如图所示，它经过点(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支；(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【答案】(1)y=-6(2)x≤-65或【分析】（1）将3,-2代入y=kxk≠0求出反比例函数解析式，再列表格，画出函数图象的另一支（2）当x>0时，y<5；当x<0时，由-6x≤5【详解】（1）把点3,-2代入y=kxk≠0解得：k=-6，∴反比例函数的表达式为y=-6补充其函数图象如下：列表格：x(x<0)…-1-2-3-6…y=-…6321…（2）由图象得：当x>0时，y<0，∴y<5，当y=5时，-6解得x=-6则0<y≤5时，x≤-6∴当y≤5，且y≠0时，x≤-65或3．（2026·河南周口·二模）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A-5,0，C0,6，反比例函数图象L1对应的函数表达式为y=-6x（x<0），反比例函数图象L2对应的函数表达式为y=k(1)若k=-12，则L2和L1之间（不含边界）有(2)若L2和L1之间（不含边界）有4个优点，求【答案】(1)4(2)-12≤k<-10或-4<k≤-3【分析】（1）当k=-12时，先画出L2的图象，通过对比L1与L2（2）先列出矩形ABCO内部（不含边界）的所有整数点，根据4个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解k的取值范围．【详解】（1）解：当k=-12时，y=-12x经过点-2,6，-3,4，如图，画出L2的图象由图可知：L2和L1之间（不含边界）有（2）解：矩形ABCO内部（不含边界）的整数点为：(-4,1),(-4,2),(-4,3),(-4,4),(-4,5)，(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-3,4),(-3,5)，(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-2,4),(-2,5)，(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(-1,5)．L1当x=-4时，y=1.5；当x=-3时，y=2；当x=-2时，y=3；当x=-1时，y=6．情况一：当优点为(-4,2),(-3,3),(-2,4),(-2,5)时，此时L2当x=-4时，2<-k4≤3当x=-3时，3<-k3≤4当x=-2时，4<-k2≤5当x=-2时，5<-k2≤6∴-12≤k<-10．情况二：当优点为(-4,1),(-3,1),(-2,2),(-1,4)时，此时L2当x=-4时，0<-k4<1当x=-3时，0<-k3<1当x=-2时，1≤-k2<2当x=-1时，3≤-k1<4∴-4<k≤-3．综上，k的取值范围为-12≤k<-10或-4<k≤-3．题型11反比例函数与几何综合/（1）设点坐标代入解析式，结合边长、勾股、全等相似、面积公式列式计算.典｜例｜精｜析1．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，已知矩形OABC的长OC和宽OA分别为4(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P在该反比例函数的图象上，且在BC的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，PE与BC交于点G．若矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P的坐标．【答案】(1)y=(2)9【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可；（2）设Pa,12a，根据矩形OEPF与矩形ABCO【详解】（1）解：∵矩形OABC的长OC和宽OA分别为4，3，∴S∵点B在反比例函数y=kx(x>0)∴k=12，∴反比例函数的表达式为y=12（2）解：设Pa,则PF=OE=a，OF=12∴AE=3-a，CF=12∵矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6，∴a12解得a=9∴12∴点P的坐标为94变｜式｜巩｜固1．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图象经过点P3,4和点B，过点B作直线AB∥(1)求这个反比例函数的解析式．(2)以AB为边作等边三角形ABC，点C落在AB边的下面，求点C的坐标．【答案】(1)y=(2)2,3-2【分析】（1）把点P3,4代入y=（2）先求出点B4,3，再结合△ABC为等边三角形，可得AC=AB=4，过点C作CD⊥AB于点D，则AD=12【详解】（1）解：∵反比例函数y=kxx>0的图象∴k=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=12（2）解；∵直线AB∥x轴，交y轴于点∴点B的纵坐标为3，把y=3代入y=12xx>0∴点B4,3∴AB=4，∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，如图，过点C作CD⊥AB于点D，则AD=1∴CD=A∴点C的坐标为2,3-232．（2026·河南许昌·二模）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系内，顶点A，D在y轴正半轴上．已知OA=1，点C4,3，反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象(1)求k的值．(2)把矩形ABCD沿x轴正方向平移m（m>0）个单位长度，使得矩形ABCD的一个顶点落在这个反比例函数的图象上，求m的值．【答案】(1)k=4；(2)m的值为4或43【分析】（1）利用矩形的性质求得B4,1（2）分两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：将矩形ABCD放置在平面直角坐标系内，顶点A，D在y轴正半轴上．已知OA=1，点C4,3∴AB∥CD，AB=CD=4，∴B4,1∵反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象经过点∴k=1×4=4；（2）解：把矩形ABCD沿x轴正方向平移m（m>0）个单位长度，使得矩形ABCD的一个顶点落在这个反比例函数的图象上，分两种情况讨论，平移后，顶点A落在这个反比例函数的图象上，则平移后，顶点A的坐标为m,1，∴m⋅1=4，解得m=4；平移后，顶点D落在这个反比例函数的图象上，则平移后，顶点D的坐标为m,3，∴m⋅3=4，解得m=4综上，m的值为4或433．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线y=kx(x>0)交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB=2(1)求k的值．(2)过点C作CE⊥AB于点E，连接ED，AC．求证：四边形AEDC是平行四边形．【答案】(1)k=6(2)见解析【分析】（1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；（2）求出AE=CD，AE∥【详解】（1）解：∵点A和B对应的刻度分别为5cm和2cm，∴AB=5-2=3(cm又OB=2cm，AB∥y∴A(2,3)．把A(2,3)代入y=k得3=k解得k=6，（2）证明：∵直尺的宽度为2cm，OB=2∴点C的横坐标为4．将x=4代入y=6得y=3∴CD=3∵CE⊥AB，∴BE=3∴AE=3-3又AE∥∴四边形AEDC是平行四边形．4．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数y=mx+n的图象经过点A1,0，交反比例函数y=kx（x<0）的图象(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点Ct,0在x轴的负半轴上，BC交反比例函数y=kx（x<0）的图象于点P，若S【答案】(1)y=-2x+2；y=-4x（(2)t=-3【分析】本题是考查反比例函数，一次函数和几何图形结合的综合题．（1）根据点A1,0，B-1,4的坐标得到一次函数的表达式，根据点（2）根据S△ABP=S△ACP，得到点P是BC的中点，继而得到Pt-1【详解】（1）解：将点A1,0，B-1,4的坐标代入一次函数得0=m+n4=-m+n，解得m=-2n=2∴一次函数的表达式为y=-2x+2，

将点B-1,4代入反比例函数y=kx（x<0∴反比例函数的表达式为y=-4x（（2）解：∵S△ABP∴BP=CP，∴点P是BC的中点，∵点B-1,4，C∴点Pt-1∴点Pt-12,2代入反比例函数的表达式y=-∴解得：t=-3．题型12反比例函数与一次函数综合/（1）联立解析式求交点坐标；（2）结合图象比较函数值大小；（3）利用交点、坐标轴围成图形算面积.典｜例｜精｜析1．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxx>0的图象交于点A(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB(3)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．【答案】(1)y=-2x+8，y=(2)a=6或a=10(3)点P的坐标为0,5【分析】（1）根据已知条件列方程求得m=6，得到反比例函数的表达式为y=6x，求得（2）将直线AB向下平移a个单位长度后得直线EF的解析式为y=-2x+8-a，得到E8-a（3）如图，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到G-1,6，得到直线GB的解析式为y=-x+5，当x=0时，y=5，于是得到点P的坐标为0,5【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxx>0的图象交于点A∴m1∴m=6，∴反比例函数的解析式为y=6∴2=6∴n=3，∴B3,2将A1,6，B3,2代入一次函数y=kx+b，得解得k=-2b=8∴一次函数的解析式为y=-2x+8．（2）解：∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，∴直线EF的解析式为y=-2x+8-a，∴E8-a2,0如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q．∵点A1,6，B∴AQ=4，BQ=2，∴AB=A∵EF=1∴8-a2解得：a=6或a=10．（3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小．∵点A1,6∴G-1,6设直线BG的解析式为y=ex+c，∴-e+c=63e+c=2解得：e=-1c=5∴直线BG的解析式为y=-x+5．当x=0时，y=5，∴点P的坐标为0,5．变｜式｜巩｜固1．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．(2)当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？【答案】(1)32，10(2)y=640x【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数