2026届南京市高三数学三模后压轴强化卷：函数导数、圆锥曲线与概率综合题含答案解析

高三数学三模后压轴强化卷｜函数导数·圆锥曲线·概率综合原创仿真训练资料｜学生练习版+教师解析版+评分细则+二次订正表2026届南京市高三数学三模后压轴强化卷：函数导数、圆锥曲线与概率综合题含答案解析三模后压轴题专题突破包｜8道原创强化题｜可打印练习｜答案详解｜分步评分｜易错提醒资料定位•面向2026届南京市高三数学三模后复盘与高考前冲刺，重点解决“压轴题能读懂但写不全、会想但得分少、运算到后段失控”的问题。•全卷不是普通整卷，而是专题突破包：函数导数、圆锥曲线、概率递推、三角与导数结合四条高频压轴线集中训练。•适合教师课堂讲评、学生75-100分钟限时自测、家长打印督学，也适合作为三模后错题本的二次训练材料。•本资料为原创仿真练习，非官方真题，非押题承诺；题型和评分点按高考数学压轴题常见能力要求设计。模块本资料提供什么下载后怎么用学生训练卷8道压轴强化题，按A层突破、B层提升分组，题干与作答区分离。先限时完成，不看解析；建议总用时90分钟，基础较弱者可分两次完成。模型清单导数恒成立、椭圆中点弦、抛物线焦点弦、首次连续成功、三角比值单调等模型。做题前读一遍，做题后对照，判断自己卡在“模型识别”还是“计算执行”。答案详解每题给出答案结论、关键转化、完整推导、分步评分点。自批时先核关键步骤，再看结论，避免只因答案不同就误判。复盘工具压轴题二次订正表、失分归因表、考前再练建议。把错题按“审题、模型、运算、表达、边界”归因，形成二次训练闭环。一、压轴题模型清单模型识别信号常用突破口本卷对应题导数恒成立出现“任意x”“恒成立”“参数范围”转化为最值或比值单调；注意端点与极限。第1、2、8题函数零点分布方程含参数，且一端有固定根或切点构造比值函数，判断单调与值域。第1、8题椭圆中点弦给出弦中点或要求弦长最值利用点差法得到直线，再参数化弦长。第3题抛物线焦点弦直线过焦点、弦长、斜率用参数点(t²,2t)，焦点弦满足t1t2=-1。第4题首次连续成功“首次出现”“连续两次”“稳定状态”先写无连续成功状态b_n，再求补事件或递推。第5、6题三角比值单调sinx与mx交点，sinx/x出现证明sinx/x在(0,π)递减，统一判断交点个数。第7题二、题型覆盖与建议用时题号方向核心能力难度建议用时关键得分点1函数导数·不等式与零点构造比值函数，判断参数方程根数中上10分钟单调性、极限、x=1固定根2函数导数·指数型恒成立用导数证明比值单调，处理端点极限中上10分钟辅助函数φ(x)、a的最优上界3圆锥曲线·椭圆中点弦点差法、弦长参数化、最值较难14分钟中点弦方程、弦长平方函数4圆锥曲线·抛物线焦点弦参数方程、焦点弦性质、斜率求解中上12分钟t1t2=-1、焦半径、斜率5概率综合·首次稳定状态递推、补事件、有限步概率中上12分钟无连续成功序列b_n递推6概率综合·期望模型首次达到目标的期望、阈值反推较难12分钟状态方程E0、E17三角函数与导数极值、恒成立、交点个数中上12分钟sinx/x单调与端点8函数导数·含参零点极值、零点、阈值条件较难14分钟最小值、ln不等式、正根判断三、圆锥曲线题图形提示（黑白可打印）第3、4题均可纯代数求解；下列示意图用于帮助定位“中点弦”和“焦点弦”模型，正式作答时以推导为准。第3题：椭圆中点弦，先点差再求弦长第4题：抛物线焦点弦，优先使用参数法四、学生训练卷（建议先独立完成）作答提醒•限时建议：A层第1-4题45分钟，B层第5-8题45分钟；基础较弱者可拆成两次训练。•压轴题不要求一步到位，但必须写出关键转化、端点说明、参数范围和必要的分类讨论。•若中途卡住，可先写“我能确定的条件/模型/目标式”，保证过程分。第1题函数与导数：对数不等式、参数恒成立与零点个数已知函数g_a(x)=lnx-a(x-1)，定义域为(0,+∞)，其中a为实数。（1）当a=1时，求g_a(x)的最大值，并证明lnx≤x-1（x>0）；（2）若g_a(x)≤0对任意x>0恒成立，求a的取值；（3）讨论方程lnx=a(x-1)在(0,+∞)内实根个数。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第2题函数与导数：指数型恒成立与最佳参数已知函数F_a(x)=e^x-1-x-ax^2，x≥0，其中a为实数。（1）证明：当x>0时，函数Q(x)=(e^x-1-x)/x^2单调递增；（2）若F_a(x)≥0对任意x≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1/2时，说明等号是否能在x>0处取得。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第3题圆锥曲线：椭圆中点弦与弦长最值已知椭圆C：x^2/4+y^2=1。弦AB的中点为M(1,t)，且A、B不是同一点。（1）求t的取值范围；（2）证明弦AB所在直线方程为x+4ty=1+4t^2；（3）求弦长|AB|的最大值，并写出取得最大值时t^2的值。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第4题圆锥曲线：抛物线焦点弦与参数法已知抛物线C：y^2=4x，焦点为F(1,0)。过F的直线与C交于A、B两点。（1）设A、B对应参数分别为t1、t2，点P(t)=(t^2,2t)，证明t1t2=-1；（2）若A对应参数为t（t≠0），求焦点弦长|AB|；（3）若|AB|=6，求直线AB的斜率。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第5题概率综合：首次连续两题正确的分布某校三模后安排压轴题每日一练。某同学每题独立做对的概率为p（0<p<1）。若首次出现“连续两题做对”，则称该同学进入稳定状态。设a_n表示第n题结束时首次进入稳定状态的概率。（1）求a_2、a_3、a_4；（2）设b_n表示前n题中没有出现连续两题做对的概率，写出b_n的递推关系，并用b_n表示a_n；（3）当p=1/2时，求前6题内首次进入稳定状态的概率。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第6题概率综合：首次稳定所需题数的期望沿用第5题情境。记N为首次进入稳定状态时完成的题号。（1）设E0为“上一题未做对或尚未开始”状态下到达稳定所需的期望题数，E1为“上一题做对但尚未稳定”状态下到达稳定所需的期望题数，建立方程；（2）求E(N)；（3）若希望平均不超过4题就进入稳定状态，求p的最小取值范围。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第7题三角函数与导数：极值、恒成立与交点已知函数f_m(x)=sinx-mx，x∈[0,π]。（1）当m=1/2时，求f_m(x)的最大值；（2）若f_m(x)≤0对任意x∈[0,π]恒成立，求m的取值范围；（3）若直线y=mx与曲线y=sinx在(0,π)内有且仅有一个公共点，求m的取值范围。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿第8题函数与导数：含参零点与阈值判断已知函数H_a(x)=x-aln(1+x)，x≥0，其中a>0。（1）讨论H_a(x)在[0,+∞)上的单调性；（2）求方程x=aln(1+x)在(0,+∞)内有解的充要条件；（3）若方程在(0,+∞)内的解r满足r≤2，求a的取值范围。答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

五、参考答案速查题号答案结论1（1）最大值0；（2）a=1；（3）a≤0：1个根；0<a<1：2个根；a=1：1个根；a>1：2个根。2（1）Q(x)在(0,+∞)单调递增；（2）a≤1/2；（3）x>0处不取等，x=0处按连续延拓意义达到端点最优。3（1）|t|<√3/2；（2）x+4ty=1+4t²；（3）|AB|max=√(19-8√3)，此时t²=(√3-1)/4。4（1）t1t2=-1；（2）|AB|=t²+1/t²+2；（3）斜率k=±√2。5a2=p²，a3=(1-p)p²，a4=(1-p)p²；b0=b1=1，b_n=(1-p)b_{n-1}+p(1-p)b_{n-2}；p=1/2时概率为43/64。6E0=1+pE1+(1-p)E0，E1=1+(1-p)E0；E(N)=(1+p)/p²；若E(N)≤4，则p≥(1+√17)/8。7（1）√3/2-π/6；（2）m≥1；（3）0<m<1。8a≤1时单调递增；a>1时先减后增，极小点x=a-1；正根存在充要条件a>1；若正根r≤2，则1<a≤2/ln3。六、教师讲评与学生自批建议讲评环节建议做法关注点先核模型每题先让学生写出“为什么用这个模型”，再看计算。把低效硬算转化为稳定套路。再核关键式导数题看比值函数或辅助函数；圆锥曲线看参数与方程；概率题看状态。关键式正确通常可拿到主要过程分。最后核表达要求写清范围、端点、等号、首次性、唯一性。压轴题失分常发生在“会但没写全”。二次订正错题不是重抄答案，而是补写“审题入口+核心转化+边界说明”。形成可迁移的解题模板。七、答案详解、评分细则与易错提醒第1题函数与导数：对数不等式、参数恒成立与零点个数答案结论：最大值为0；恒成立时a=1；根数见答案速查。当a=1时，g_1(x)=lnx-(x-1)。g_1'(x)=1/x-1=(1-x)/x，所以g_1在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x=1处取最大值g_1(1)=0，故lnx≤x-1。若g_a(x)≤0恒成立，则lnx≤a(x-1)。当x>1时，有a≥lnx/(x-1)；当0<x<1时，由于x-1<0，有a≤lnx/(x-1)。令R(x)=lnx/(x-1)（x≠1），并定义R(1)=1。可由导数证明R在(0,+∞)上严格递减，且R(0+)=+∞，R(1)=1，R(+∞)=0。因此x>1部分要求a≥1，0<x<1部分要求a≤1，故a=1。方程lnx=a(x-1)等价于R(x)=a，同时x=1恒为根。因R在(0,+∞)严格递减：a≤0时除x=1外无根；0<a<1时在(1,+∞)另有一根；a=1时只有x=1；a>1时在(0,1)另有一根。评分点给分建议自查提醒单调性2分写出导数符号并说明x=1为最大点恒成立转化3分分x>1与0<x<1处理不等式方向根数讨论3分指出x=1固定根，并用R(x)值域判断额外根易错提醒•最容易漏掉x=1是所有a下的固定根。•0<x<1时除以x-1会改变不等号方向。•“恒成立”不能只代入x=1，应看两侧区间对参数的夹逼。第2题函数与导数：指数型恒成立与最佳参数答案结论：Q(x)递增；a≤1/2；a=1/2时x>0处不取等。对x>0，Q(x)=(e^x-1-x)/x^2。求导得Q'(x)=[e^x(x-2)+x+2]/x^3。只需证明φ(x)=e^x(x-2)+x+2>0。φ'(x)=e^x(x-1)+1。再令ψ(x)=φ'(x)，则ψ'(x)=xe^x≥0，且ψ(0)=0，所以ψ(x)≥0，φ(x)在[0,+∞)上递增。又φ(0)=0，因此x>0时φ(x)>0，Q'(x)>0。F_a(x)≥0等价于a≤(e^x-1-x)/x^2=Q(x)（x>0）。由于Q递增，且lim_{x→0+}Q(x)=1/2，所以a≤1/2。当a=1/2时，Q(x)>1/2（x>0），故F_{1/2}(x)>0。等号只能在x=0处按F_{1/2}(0)=0取得，不能在x>0处取得。评分点给分建议自查提醒辅助函数2分正确求出Q'(x)并构造φ(x)单调证明3分用φ、ψ两层导数说明φ>0参数范围2分把恒成立转为a≤infQ等号说明1分区分x=0端点与x>0易错提醒•不要把Q的最小值误认为在普通驻点取得，本题最优值来自端点极限。•x=0不在Q的定义域内，但在F_a的定义域内，需要用极限和连续性衔接。

第3题圆锥曲线：椭圆中点弦与弦长最值答案结论：|t|<√3/2；直线x+4ty=1+4t²；|AB|max=√(19-8√3)。M(1,t)为椭圆内部点时才可能成为非退化弦的中点，因此1^2/4+t^2<1，得|t|<√3/2。设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由两点均在椭圆上相减得(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)=0。又x1+x2=2，y1+y2=2t，所以(1/2)(x1-x2)+2t(y1-y2)=0。上式表示弦AB的方向与向量(4t,-1)平行，故直线过M(1,t)且方程为x+4ty=1+4t^2。令A、B写成M±s(4t,-1)。代入椭圆得(1+4ts)^2/4+(t-s)^2=1，化简为(1+4t^2)s^2=3/4-t^2。所以|AB|^2=4s^2(16t^2+1)=((3-4u)(16u+1))/(1+4u)，其中u=t^2，0≤u<3/4。对u求导，导数符号由8u^2+4u-1决定，最大值在u=(√3-1)/4处取得。代入得|AB|^2=19-8√3。评分点给分建议自查提醒中点条件1分写出M在椭圆内部点差法3分用两点方程相减得到直线方向弦长表达3分设M±s(4t,-1)并求s²最值3分令u=t²求导并代入最大值易错提醒•点差法得到的是弦所在直线，不是切线。•t=0时直线为x=1，也包含在公式内。•弦长最大值要对t²求导，不能只看端点。第4题圆锥曲线：抛物线焦点弦与参数法答案结论：t1t2=-1；|AB|=t²+1/t²+2；斜率k=±√2。抛物线y^2=4x的参数点为P(t)=(t^2,2t)。过参数t1、t2两点的弦方程为x-(t1+t2)y/2+t1t2=0。该弦过焦点F(1,0)，代入得1+t1t2=0，所以t1t2=-1。若A对应参数t，则B对应参数-1/t。抛物线焦半径PF=x+1，故AF=t^2+1，BF=1/t^2+1，因此|AB|=AF+BF=t^2+1/t^2+2。若|AB|=6，令u=t^2>0，则u+1/u=4，解得u=2±√3。直线斜率k=2t/(t^2-1)，所以k^2=4u/(u-1)^2=2，故k=±√2。评分点给分建议自查提醒参数方程2分写出P(t)和弦方程焦点弦条件2分代入F得到t1t2=-1弦长3分利用焦半径求AF+BF斜率3分由u+1/u=4推得k²=2易错提醒•焦点弦的两端参数不是互为相反数，而是乘积为-1。•求斜率时u=2+√3与2-√3给出同一k²，不要重复列出四条不同直线。

第5题概率综合：首次连续两题正确的分布答案结论：a2=p²，a3=(1-p)p²，a4=(1-p)p²；p=1/2时前6题内概率为43/64。第2题结束时首次稳定，必须前两题都对，因此a2=p^2。第3题首次稳定，题2、3对且题1错，因此a3=(1-p)p^2。第4题首次稳定，题3、4对且题2错；题1任意不影响首次性，因此a4=(1-p)p^2。设b_n为前n题没有连续两题做对的概率。若第n题错，则前n-1题无连续做对，概率(1-p)b_{n-1}；若第n题对，则第n-1题必须错，且前n-2题无连续做对，概率p(1-p)b_{n-2}。因此b0=b1=1，b_n=(1-p)b_{n-1}+p(1-p)b_{n-2}（n≥2）。首次在第n题稳定时，最后两题必须都对，第n-2题必须错，前n-3题无连续做对，所以a_n=p^2(1-p)b_{n-3}（n≥3），且a2=p^2。当p=1/2时，前6题内首次进入稳定的概率为1-b6。此时长度为6且无相邻成功的0-1序列共有21个，所以b6=21/64，所求为43/64。评分点给分建议自查提醒初值2分正确写出a2、a3、a4递推4分按第n题错/对分类得到b_n首次性2分用b_{n-3}表示a_n数值2分p=1/2时用补事件求43/64易错提醒•“首次”意味着最后两题对之前不能已经出现连续做对。•第4题中第1题任意，因此a4不是(1-p)^2p^2。•用补事件算“前6题内”通常比逐项相加更稳。第6题概率综合：首次稳定所需题数的期望答案结论：E(N)=(1+p)/p²；若平均不超过4题，则p≥(1+√17)/8。在状态E0下，下一题若做对（概率p）进入E1，若做错（概率1-p）仍回到E0，所以E0=1+pE1+(1-p)E0。在状态E1下，下一题若做对则稳定并停止，若做错则回到E0，因此E1=1+(1-p)E0。联立方程。由第一式得pE0=1+pE1，即E0=1/p+E1。代入第二式得E0=1/p+1+(1-p)E0，整理得pE0=1/p+1，所以E0=(1+p)/p^2。尚未开始对应E0，所以E(N)=(1+p)/p^2。若E(N)≤4，则(1+p)/p^2≤4，即4p^2-p-1≥0。由于0<p<1，解得p≥(1+√17)/8。评分点给分建议自查提醒状态方程4分正确区分E0、E1转移联立求解3分得到E0=(1+p)/p²阈值3分解二次不等式并结合0<p<1易错提醒•期望题数的“1”表示已经完成下一题，不能漏掉。•E1状态不是已经稳定，而是“上一题刚对，还差一题”。•最后的不等式要结合概率范围0<p<1。

第7题三角函数与导数：极值、恒成立与交点答案结论：最大值√3/2-π/6；m≥1；0<m<1。当m=1/2时，f'(x)=cosx-1/2。令f'(x)=0得x=π/3。比较端点与驻点：f(0)=0，f(π)=−π/2，f(π/3)=√3/2−π/6，所以最大值为√3/2−π/6。若sinx-mx≤0对[0,π]恒成立，则对x∈(0,π]有m≥sinx/x。函数sinx/x在(0,π)上递减，且极限lim_{x→0+}sinx/x=1，所以m≥1。反之m≥1时，sinx≤x≤mx，恒成立。在(0,π)内交点满足m=sinx/x。由于sinx/x从1严格递减到0，故当且仅当0<m<1时存在唯一交点。评分点给分建议自查提醒极值3分求导并比较端点、驻点恒成立3分转化为m≥sup(sinx/x)交点3分用sinx/x值域判断表达1分写清开区间与端点区别易错提醒•第（2）问是闭区间恒成立，但关键上确界来自x→0+。•第（3）问只看(0,π)内，不把x=0算作公共点。第8题函数与导数：含参零点与阈值判断答案结论：a≤1时单调递增；a>1时先减后增；正根存在充要条件a>1；r≤2等价于1<a≤2/ln3。H_a'(x)=1-a/(1+x)=(x+1-a)/(x+1)。当0<a≤1时，H_a'(x)≥0，H_a在[0,+∞)上单调递增。当a>1时，H_a'(x)<0在[0,a-1)成立，H_a'(x)>0在(a-1,+∞)成立，故H_a先减后增，极小点为x=a-1。注意H_a(0)=0。若0<a≤