2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版1.1.2 空间向量的数量积运算

第一章

空间向量与立体几何1.1

空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算

(教师独具内容)课程标准：1.经历由平面向量的数量积运算推广到空间向量的过程.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.掌握空间向量的数量积运算．教学重点：数量积运算在空间几何体中的应用．教学难点：空间向量数量积性质的应用．核心素养：在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一空间向量的夹角非零∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤

π互相垂直a⊥b知识点二空间向量的数量积(1)定义_________________________________________叫做a，b的数量积，记作_____，即_____________________．特别地，________与任意向量的数量积为0.(2)由向量的数量积定义，可以得到：①a⊥b⇔________．②a·a＝________________＝_____．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉零向量a·b＝0|a||a|cos〈a，a〉|a|2(3)向量的投影①如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________________，向量___称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)．ca(4)运算律①(λa)·b＝_______，λ∈R.②a·b＝_____(交换律)．③(a＋b)·c＝_________(分配律)．[提醒]

(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立.λ(a·b)b·aa·c＋b·c5．(空间向量的模)若a，b，c为两两垂直的三个空间单位向量，则|2a＋2b－3c|＝______．核心素养形成【感悟提升】

(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a，b有①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．【感悟提升】

1．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【跟踪训练】

3．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为____．【跟踪训练】

4．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为______．题型五利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.【感悟提升】

利用空间向量的数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．【跟踪训练】

5.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.随堂水平达标1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件60°1课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点求空间向量的数量积判断空间向量的垂直、共线利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积判断图形的形状利用空间向量的数量积求投影向量利用空间向量的数量积求夹角和体积利用空间向量的数量积求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点求空间向量的数量积利用空间向量的数量积求距离求空间向量的数量积利用空间向量的数量积判断垂直；利用空间向量的数量积求最值利用空间向量的数量积求最值利用空间向量的数量积求距离利用空间向量的数量积证明线线垂直；利用空间向量的数量积求距离2．已知非零空间向量a，b，c满足(a·b)c＝(a·c)b，(b·c)a＝(b·a)c，(c·a)b＝(c·b)a，这三个向量可构成两两共线的向量组的组数为(

)A．3 B．2C．1 D．3或0解析：由题意，可知向量a，b，c共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有3组或0组．故选D.8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则