2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版1.1.1 空间向量及其线性运算

第一章

空间向量与立体几何1.1

空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算

(教师独具内容)课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用．教学难点：空间几何体中向量的运算．核心素养：在空间向量概念的形成和线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一空间向量(1)定义在空间，我们把_____________________叫做空间向量．(2)长度________________叫做空间向量的长度或____．(3)表示方法空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为____或_____．具有大小和方向的量空间向量的大小模|a|长度为0的向量00模为1的向量与向量a长度相等而方向相反的向量－a方向相同且模相等的向量同一向量相等向量a＋ba－bb＋aa＋(b＋c)λ的范围方向关系几何表示λ>0方向_____λ<0方向_____λ＝0λa＝0，其方向是任意的知识点三空间向量的数乘运算(1)定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘．(2)向量a与λa的关系相同相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①结合律：λ(μa)＝______．②分配律：(λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝________.[提醒]

(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(λμ)aλa＋μaλa＋λb表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合知识点四共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量存在实数λ，使a＝λb与向量a平行的非零向量[提醒]

(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．(2)共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线．定义________________________，叫做共面向量充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是__________________________________________平行于同一个平面的向量(2)共面向量存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb①③10相反4．(共线向量)非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是_____．5．(共面向量)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是_______向量(填“共线”“共面”“不共线”或“不共面”)．±1共面核心素养形成【感悟提升】

处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与空间向量概念有关的命题时，要抓住空间向量的两个要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件；②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的．解析：若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行或重合，故A错误；若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选D.【感悟提升】

1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．0【感悟提升】

利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．－8随堂水平达标1．关于空间向量，下列四个结论正确的是(

)A．方向相反的两个向量是相反向量B．任意两个空间向量总是共面的C．零向量没有方向D．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模可以相等，此时只要方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B.课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点空间向量的加法运算判断向量是否共面向量共面的应用——求参数空间向量的加减、数乘运算利用空间向量的线性运算求参数判断向量关系与图形形状空间向量的加减、数乘运算题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点求空间向量的模向量共面的应用——求线段长度的比值空间向量的概念空间向量的线性运算；向量共面的应用——判断点在平面内向量共面的应用——求参数的最小值共线的证明问题向量共面的应用——求参数8．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝_____．解析：由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|