2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 第1章 章末总结

第一章空间向量与立体几何章末总结知识系统整合规律方法收藏学科素养培优目录知识系统整合堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍规律方法收藏3．运用向量方法研究平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，直线l1的方向向量为b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(以下相同)线线平行：l∥l1⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．线线垂直：l⊥l1⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.线面平行：若l⊄α，则l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝λμ⇔a1＝λa3，b1＝λb3，c1＝λc3(λ∈R)．面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4(λ∈R)．面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.(5)求平面与平面的夹角用向量法求平面与平面的夹角也有两种方法：一种方法是利用二面角的平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小，若二面角为锐角，则平面与平面的夹角为该角，若二面角为钝角，则平面与平面的夹角为它的补角；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与平面与平面的夹角的大小相等或互补.学科素养培优

一、空间向量及其运算本部分内容包括空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量基本定理、两个向量的数量积，这是学习空间向量与立体几何的基础，也是空间向量与立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算．1．空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．2．空间向量的数量积正确运用空间向量的数量积公式及性质求角及距离．(1)空间向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．(2)空间向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a.3．共线向量、共面向量运用共线向量的充要条件和共面向量的充要条件可以解决立体几何中的平行问题和共面问题．二、立体几何中的向量方法空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题．1．利用空间向量证明平行关系若直线a⊄平面α，其方向向量为a，平面α的法向量是n，且a⊥n，则a∥α.若u，v分别是平面α，β的法向量，且u∥v，则α∥β.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：(1)PB∥平面EFG；(2)平面EFG∥平面PBC.证明：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．【素养提升】

利用空间向量证明平行关系的方法(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个与直线的方向向量共线的向量；③利用共面向量的充要条件，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(3)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．2．利用空间向量证明垂直关系用向量法证线面垂直，一是通过数量积证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直，二是证平面的法向量与直线的方向向量平行；证面面垂直可证两个平面的法向量垂直．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．(1)求证：EF⊥DA1；(2)求证：DA1⊥平面ABC1.【素养提升】

利用空间向量证明垂直关系的方法(1)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．(2)线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直．(4)相互转化线线垂直⇌线面垂直⇌面面垂直．3．利用空间向量求空间距离(1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，其中两点距与点面距为高考重点考查内容，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解．(2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．4．利用空间向量求角利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围以及空间角与向量夹角的关系．解：(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，∴PA⊥平面ABCD.5．利用空间向量解决探索性问题探索性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求出线段AS的长；若不存在，请说明理由．【素养提升】

有关是否存在