2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用

第三章

圆锥曲线的方程3.3

抛物线3.3.2

抛物线的简单几何性质第2课时

抛物线的方程及性质的应用

(教师独具内容)课程标准：1.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.2.了解抛物线的简单应用．教学重点：1.直线与抛物线位置关系的判定方法.2.解决弦长、中点弦等问题．教学难点：抛物线的性质的综合应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用．核心素养：通过运用抛物线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握两一没有平行或重合一1．(直线与抛物线的位置关系)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(

)A．直线与抛物线有一个公共点

B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点2．(直线与抛物线相切)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(

)A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝03．(弦长问题)已知抛物线C：y2＝x，直线l：y＝x－2，直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝________．核心素养形成题型一直线与抛物线的位置关系

已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C：有且仅有一个公共点？有两个公共点？无公共点？【感悟提升】

直线与抛物线公共点个数的判断方法设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，①若a≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．②若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．【跟踪训练】

1．已知点A(0，2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．题型二弦长及中点弦问题

(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点P(2，1)的直线l与C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4.①求抛物线C的方程；②当P为弦AB的中点时，求直线l的方程．【跟踪训练】

2．(1)已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为______________．题型三直线与抛物线的综合问题

【感悟提升】

在直线与抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点、求最值或范围等问题．解决这类问题的方法有很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．随堂水平达标1．过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有(

)A．1条 B．2条

C．3条 D．4条解析：点(－1，0)在抛物线y2＝x的外部，故过点(－1，0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条，其中两条为切线，一条为x轴．3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．(4，2)4．若直线y＝x－1与抛物线y＝ax2(a≠0)只有一个公共点，则a＝_____．－85．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若OA⊥OB(O为原点)，则实数m的值为______．课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点由直线与抛物线公共点的个数判断直线条数求抛物线的焦点弦长求抛物线的一般弦长弦中点问题直线与抛物线的位置关系；抛物线的焦半径问题直线与抛物线的综合问题利用直线与抛物线相切解决最值问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点弦长问题中点弦问题抛物线的标准方程；定点问题直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系；定点问题抛物线的标准方程；定值问题直线与抛物线的位置关系；证明问题一、选择题1．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y2＝4x，已知直线l1，l2与抛物线C共有三个公共点，则满足条件的直线l2的条数为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：∵点P(2，1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C有两个公共点，设为A，B两点，∴当过点P的直线l2过点A或过点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．二、填空题7．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最小，则该点的坐标是________．y2＝12x或y2＝－4x9．过点P(2，2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在直线的方程为______________．3x－4y＋2＝012．过点P(m，－2)向抛物线x2＝4y引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB恒过的定点为________．(0，2