2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 3.1.1 椭圆及其标准方程

第三章

圆锥曲线的方程3.1

椭圆3.1.1

椭圆及其标准方程

(教师独具内容)课程标准：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程．教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．核心素养：通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一椭圆(1)平面内与两个定点F1，F2的____________________________的点的轨迹叫做椭圆.____________叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．(2)椭圆的集合语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．距离的和等于常数(大于|F1F2|)这两个定点提示：动点的轨迹不一定是椭圆，具体情况如下：[想一想]若将椭圆定义中“大于|F1F2|”去掉，动点的轨迹还是椭圆吗？条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在标准方程______________________________________图形知识点二椭圆的标准方程焦距|F1F2|＝____焦点坐标_________________a，b，c的关系___________2c(±c，0)(0，±c)a2＝b2＋c2[说明]

两种椭圆图形和标准方程的相同点和不同点1．(椭圆的定义)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(

)A．椭圆 B．直线

C．圆 D．线段3．(椭圆的标准方程)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为___________．6核心素养形成下列说法中正确的是(

)A．与点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．与点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．与点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D．与点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆题型一

椭圆的定义解析对于A，|F1F2|＝8，故与点F1，F2的距离之和为8的点的轨迹是线段F1F2，A错误；对于B，与点F1，F2的距离之和为6的点的轨迹不存在，B错误；对于C，由椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，C正确；对于D，该点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，D错误．【感悟提升】

1．对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中与两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个方面(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练】1．已知P，Q为椭圆上的两点，且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8，则在点Q的运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值为____．36题型二椭圆的标准方程

(1，3)∪(3，5)2．求椭圆标准方程的方法(1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)和焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，简化运算．【跟踪训练】2．(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(

)A．(0，＋∞) B．(0，2)C．(1，＋∞) D．(0，1)题型三椭圆定义的应用

8[条件探究]本例(2)中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？120°题型四求与椭圆有关的轨迹方程

(1)如图，圆A：(x＋3)2＋y2＝100内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，则圆心P的轨迹方程为____________．【感悟提升】

求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．【跟踪训练】

4．在△ABC中，已知顶点A(－2，0)，B(2，0)，若顶点C满足2|AB|＝|AC|＋|BC|，则顶点C的轨迹方程为________________，△ABC的重心G的轨迹方程为________________．随堂水平达标1．若平面内点M与定点F1(0，－1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(

)A．椭圆B．直线F1F2C．线段F1F2D．线段F1F2的垂直平分线解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.3课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点待定系数法求椭圆的标准方程椭圆定义的应用对椭圆定义的理解椭圆中a，b，c的关系相关点法求与椭圆有关的轨迹方程椭圆的焦点三角形问题由椭圆方程及焦点坐标求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点椭圆的焦点三角形问题相关点法求与椭圆有关的轨迹方程待定系数法求椭圆的标准方程；椭圆的焦点三角形问题定义法求与椭圆有关的轨迹方程椭圆的焦点三角形问题椭圆的焦点三角形问题椭圆定义的应用二、填