北师大版小学数学上册三年级讲义,混合运算-除法与加减法的运算

同学们，我们已经学习了加减法的混合运算，也学习了乘除法的混合运算，还记得它们的运算顺序吗？没错，在只有加减或者只有乘除的算式里，我们要按照从左到右的顺序依次计算。今天，我们要学习一种新的混合运算，它里面既有除法，又有加法或者减法。这种运算的顺序又是怎样的呢？别着急，通过今天的学习，你一定会弄明白的。一、情境引入，初探新知我们先来看看生活中的一个数学问题：情境一：学校食堂午餐时间，同学们正在领水果。食堂阿姨说：“今天我们准备了一些橘子，如果每盘放6个橘子，正好可以放4盘。现在，我们要把这些橘子分给表现优秀的10位同学，每人分1个，还剩下多少个橘子呢？”要解决这个问题，我们首先要知道一共有多少个橘子。题目告诉我们“每盘放6个橘子，正好可以放4盘”，那么橘子的总数就是6乘以4，等于24个。接下来，分给10位同学，每人1个，分出去了10个，所以剩下的橘子数量就是用总数减去分出去的数量，也就是24-10=14个。如果我们把这两个步骤合并成一个综合算式，应该怎么写呢？是不是“6×4-10”？这个算式我们之前学过，是乘法和减法的混合运算，我们知道要先算乘法，再算减法。结果是24-10=14，和我们分步计算的结果一样。情境二：现在，我们换一个问题。还是这些橘子，一共有24个。如果我们想把这24个橘子，先拿出8个送给老师，剩下的平均分给4个小组，每个小组能分到多少个橘子呢？这个问题又该怎么解决呢？我们得先算出送给老师后还剩下多少个橘子，也就是24-8=16个。然后，把剩下的16个平均分给4个小组，每个小组分到的数量就是16÷4=4个。同样，如果我们想把它写成一个综合算式，该怎么写呢？是不是“24-8÷4”？或者是“(24-8)÷4”？这两个算式，哪一个才是正确的呢？我们来分析一下。如果是“24-8÷4”，按照我们之前学过的乘法和加减法的运算顺序，是不是应该先算除法？那就是先算8÷4=2，再算24-2=22。这和我们分步计算的结果16÷4=4一样吗？不一样。显然，这个算式不能正确表达我们解决问题的步骤。那“(24-8)÷4”呢？这个算式里有了小括号。我们之前学过，算式里有括号的，要先算括号里面的。所以先算24-8=16，再算16÷4=4。这个结果和我们分步计算的结果是一样的。看来，小括号在这里起到了改变运算顺序的作用，它能让我们先算括号里面的减法。但是，今天我们要重点研究的，是像“24-8÷4”这种，没有括号，但是既有除法又有加减法的算式。刚才我们看到，如果按照先算除法再算减法的顺序，得到的结果和我们分步解决“先减后除”的问题结果不一样。那么，在没有括号的算式里，如果既有除法，又有加减法，到底应该先算什么，后算什么呢？二、探究规律，明确顺序我们再来看几个例子，通过这些例子来发现规律。例1：计算18÷3+6这个算式里有除法，也有加法。我们应该先算什么呢？如果先算加法，18÷(3+6)=18÷9=2。（注意：这里只是假设，实际上没有括号不能先算加法）如果先算除法，18÷3+6=6+6=12。哪种算法对呢？我们可以结合生活实际来想。假设“18÷3”表示每个小朋友分到3块糖，18块糖可以分给几个小朋友，得到6个小朋友。然后“+6”表示又来了6个小朋友。那么总共有多少个小朋友呢？应该是先算出原来的6个，再加上后来的6个，一共12个。所以先算除法是合理的。例2：计算20-15÷5这个算式里有减法和除法。如果先算减法，(20-15)÷5=5÷5=1。（同样，这里是假设）如果先算除法，20-15÷5=20-3=17。我们也用生活例子来理解。“15÷5”可以表示15个苹果平均分给5个小朋友，每个小朋友得到3个。“20-3”表示原来有20个苹果，分给小朋友3个，还剩多少个？结果是17个。这显然是合理的。如果先算减法，就变成了20减15的差再平均分，这和题目表达的意思就不一样了。通过上面的例子，以及我们之前学习的乘法与加减法的混合运算（先算乘法，后算加减），我们能不能总结出一个规律呢？总结：在没有括号的算式里，如果既有除法，又有加法或者减法，我们要先算除法，后算加减法。这个顺序非常重要，就像我们做事情一样，总有个先后次序。除法就像我们每天要先完成作业，再去玩耍一样，要先进行计算。三、巩固练习，深化理解现在我们已经知道了运算顺序，就来试着解决一些问题吧！例题1：计算30÷5+8分析与解答：这个算式里有除法和加法。根据我们总结的规律，先算除法。30÷5=6然后，用所得的商加上8：6+8=14所以，30÷5+8=14例题2：计算25-16÷4分析与解答：这个算式里有减法和除法。先算除法。16÷4=4然后，用25减去所得的商：25-4=21所以，25-16÷4=21例题3：一支钢笔10元，一本练习本2元。小明买了1支钢笔和4本练习本，一共需要付多少钱？分析与解答：我们先分析题目。1支钢笔10元，4本练习本，每本2元。所以练习本一共需要4×2=8元。然后，钢笔的价钱加上练习本的价钱就是总共要付的钱：10+8=18元。写成综合算式就是：10+4×2。咦，这是乘法和加法，我们之前学过，先算乘法，10+8=18元。如果我们把题目改一下：小明带了20元钱，买了4本练习本，每本2元，还剩多少钱？分析与解答：先算买练习本花了多少钱：4×2=8元。再算剩下的钱：20-8=12元。综合算式：20-4×2=20-8=12元。现在，我们再把练习本改成“小明带了20元钱，买了一些练习本，每本2元，正好买了4本，还剩多少钱？”这和上面的问题是一样的。那如果题目是：“小明带了20元钱，买了1支钢笔（10元），剩下的钱买练习本，每本2元，可以买多少本练习本？”分析与解答：这个问题就需要先算剩下的钱：20-10=10元。然后用剩下的10元买练习本，每本2元，可以买10÷2=5本。写成综合算式是(20-10)÷2。这里，我们必须加上小括号，才能保证先算减法，得到剩下的钱数，再算除法。如果不加括号，写成20-10÷2，就会先算除法10÷2=5，再算20-5=15，这就不符合题意了。所以，小括号的作用是改变运算顺序，当我们需要先算加减法，再算除法时，就必须给加减法加上小括号。四、课堂小结同学们，今天我们学习了非常重要的新知识：在没有括号的算式里，如果既有除法，又有加法或减法，要先算除法，后算加减法。我们一定要牢牢记住这个运算顺序，在计算的时候，先仔细观察算式里有哪些运算，然后按照规则一步一步地算。如果遇到需要先算加减法再算除法的情况，就像我们最后那个买练习本的问题，一定要记得请小括号来帮忙，把需要先算的部分括起来。在解决实际问题的时候，也要认真分析题意，确定先求什么，再求什么，然后列出正确的综合算式，并按照运算顺序进行计算。五、拓展练习现在，请大家试着做一做下面的题目，看看谁掌握得最好！1.直接写出得数。*12÷3+7=*30-24÷6=*4+20÷5=*18-8÷2=2.先说出运算顺序，再计算。*7+24÷8*36÷6-5*45-35÷7*16÷4+93.解决问题。*妈妈买了3千克苹果，每千克8元，又买了1盒15