山东济南市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题含答案

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线y=x³-x²-x在点(-1,-1)的切线斜率为()A.12.学校餐厅推出组合套餐，有3种饮品和4种小食可供选择，每种套餐包含1种饮品和1种小食，则可搭配出的套餐种数为()A.7B.123.已知随机变量X服从正态分布N(0,o²),且P(X>1)=0.075,则P(x|≤1)=()A.0.15B.0.35C.0.85D4.已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是()相关系数r₁相关系数r₂A.ri<0BC.Ii|<1₂|D.Ti+试卷第1页，共5页试卷第2页，共5页5.下列区间中，函数f(x)=xsinx+cosx单调递增的区间是()6.某校举办宪法知识挑战比赛，有A,B,C三类题，其中A类100道，B类150道，C类200道.已知小明答对A类题的概率为0.96,答对B类题的概率为0.9,答对C类题的概率为0.87.现从所有题中随机选一道，则小明答对的概率为()A.0.88B.0.9C.0.91A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>c8.如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点A(0,0)出发，沿格线爬行到格点B(4,4),规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行1格；②同一方向连续爬行不得超过2格.则不同的爬行路径共有()A.展开式共有5项B.展开式中存在常数项C.展开式中x²项的系数为16D.展开式的二项式系数的和为1610.某地区2021年至2025年乡村旅游年收入(单位：万元)与年份代码x(1,2,3,4,5依次对应2021年至2025试卷第3页，共5页年)的统计数据如下：x1234y已知V关于x的经验回归方程为=bx+120,则()A.回归直线过(3,240)C.样本点都落在经验回归直线上D.预测2026年该地区乡村旅游年收入约为360万元B.存在a,使得f(x)与8(x)的图象仅有一对关于V=x对称的点C.存在a,使得直线y=g(x)是曲线y=f(x)的切线也是曲线的切线13.已知函数.若对任意x∈[1,2],f(x)≤m恒成立，则m的取值范围为_____14.现有标号为1,2,3,4,5,6的盒子.抛掷一枚质地均匀的骰子(各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6),记点数为k.若k为奇数，则在标号为1,2,3的盒子中各放入一球；若k为偶数，则在标号为k的约数的盒子中各放入一球(例如：k=4,则在标号为1,2,4的盒子中各放入一球).重复以上操作三次后，2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为_·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》,明确提出积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时.高中某班50名学生2025年下学期和2026年上学期的体测等2025年下学期体测等级优良不及格试卷第4页，共5页2026年上学期体测等级优良不及格37优良优良以下2025年下学期2026年上学期(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析该班体测等级优良率与参加体测的学期是否有关.α16.已知函数f(x)=x³-3ax²+4,其中a>0.(1)若f(x)在x=2处的导数为0.(ii)求f(x)在区间[0,3]上的值域；(2)若f(x)有3个不同的零点，求a的取值范围.(2)将上述试验重复进行3次，设随机变量X表示3次试验中事件A发生的次数.(ii)在事件A至少发生1次的条件下，求事件A恰好发生2次的概率.试卷第5页，共5页19.有3个相同的球，分别标有数字-1,0,1,从中有放回地随机取n(n≥2)次，每次取1个球.记第i次取到的球的数字为x(i=1,2,3,-,n),,随机变(1)求x的数学期望E(x₁)与方差D(x₁);(2)求V的数学期望E(V);(用含n的式子表示)【详解】对函数求导可得y'=3x²-2x-1,将x=-1代入导函数，得y'L=-1=3×(-1)²-2×(-1)-1=3+2-1=4,即曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为4,对应选项D.【详解】要完成一份套餐的搭配，需分两个步骤：第一步，从3种饮品中选择1种，共有3种不同的选法；第二步，从4种小食中选择1种，共有4种不同的选法.根据分步乘法计数原理，因此可搭配出的套餐总种数为3×4=12.【详解】已知随机变量X服从正态分布N(0,σ²),因此其分布曲线关于对称轴x=0对称，可得P(X(-1)=P(X)1)=0.075,根据概率的基本性质，P(X|≤1)=P(-1≤X≤1)=1-P(X(-1)-P(X)1)=1-0.075【详解】∵第一组散点图的点整体呈下降趋势，两变量为负相关，∴i<0,不符合题意；∵第二组散点图的点整体呈上升趋势，两变量为正相关，∴r₂>0,不符合题意；观察散点图可知第一组数据的散点更贴近拟合直线，线性相关程度更强，:|>12|,故C错误，符合题意；【详解】∵函数f(x)=xsinx+cosx的定义域为R,对其求导得f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.函数f(x)单调递增等价于f'(x)>0,即xc符合要求.不符合要求.C不符合要求.试卷第1页，共12页试卷第2页，共12页对选项D,当x∈(2π,3π)时，时cosx>0,此时f'(x)>0;时cosx<0,此时【详解】因为所有题目的总数为100+150+200=450,则随机选1道题，选中A类题的概率,选中B类题的概率,选中C类题的概记事件D为“小明答对所选题目”,由题意知P(D|A由全概率公式得P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P故小明答对的概率为0.9.【分析】构造函数。利用导数求解函数的单调性，再比较函数值的大小.【详解】设,则当x∈(0,2),f'(x)>0,在(0,2)上单调递增，因为0<0.5<0.7<√2<2,所以f(0.5)<f(0.7)<f(√2),计算符合条件的路径数量.【详解】蚂蚁从A(0,0)爬行到B(4,4),在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.“至少连续3次向右(RRR)”:{RRR,R,U,U,U,U},共6个元素，路径总数为A2=30,试卷第3页，共12页同一方向连续爬行超过2格的路径总数为：30+30-24=36,根据容斥原理，符合条件的路径总数70-36=34.【详解】二项式的展开式通项对选项A,∵二项式(a+b)”的展开式项数为n+1,此处n=4,∴展开式共4+1=5项，故A正确.对选项B,令4-2k=0,解得k=2∈{0,1,2,3,4},∴展开式存在常数项，故B正确.对选项C,令4-2k=2,解得k=1,∴x²项的系数为C₄·2⁴-¹=4×8=32≠16,故C错误.对选项D,∵二项式展开式的二项式系数和为2”,∴本题二项式系数的和为2⁴=16,故D正确.【分析】先计算样本中心点，结合回归直线过样本中心点的性质求解回归系数，再逐一分析各选项正误.【详解】∴样本中心点为(3,240).∵经验回归直线恒过样本中心点，∴回归直线过(3,240),故A正确.将(3,240)代入=bx+120,得240=3b+120,解得b=40,故B正确.当x=2时，代入回归方程得=40×2+120=200,与实际值y=190不相等，可知样本点不都落在经验回归直线上，故C错误.2026年对应的年份代码为x=6,代入回归方程得=40×6+120=360,即预测2026年该地区乡村旅游年收入约为360万元，故D正确.【分析】利用函数导数与单调性和函数极值点的定义，反函数的性质，函数导数的几何意义以及不等式恒成立转化求最值，以及利用函数导数与单调性求最值，逐项分析求解.【详解】对于A,由f(x)=lnx,g(x)=ax+1,则y=f(x)+g(x)=lnx+ax+1,因为函数y=Inx+ax+1的定义域为(0,+∞),所以试卷第4页，共12页所以函数y=f(x)+g(x)存在唯一极大值点，故A正确；选项B,若函数f(x)与g(x)的图象仅有一对关于y=x对称的点，则函数y=f(x)与y=g(x)的反函数.仅有一个交点，所以函数h(x)只有一个零点，即存在a,使得f(x)与8(x)的图象仅有一对关于V=x对称的点，故B正确；选项C,设y=g(x)与y=f(x)的切点为：(x₁,Inx₁),得：,则切线的斜率为：所以切线方程为：,即.此时切线的斜率为：由题意知两条切线为同一条直线，所以化简得：,解得：x₂=e²或x₂=0(令n(x)=f(x+1)-g(x)+1=In(x+所以n(x)mn=n(2)=In3-2a,所以n(x)>n(0)=0,不满足题意，若n(x)mn=ln3-2a,则有0>In3-2a即试卷第5页，共12页试卷第6页，共12页,所以此时综上所述：不一定得出a≥1,故D错误.【详解】∵排列数A²=6×5=30.又∵组合数满足性质C"=C-,∴【分析】根据给定条件，利用导数求出函数f(x)在[1,2]上的最大值即可.【详解】函,求导恒成立，得【详解】抛掷一次骰子得到的点数k=1,2,3,4,5,6,每种概率都为当k=1,3,5时，在标号为1,2,3的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样；当k=2时，在标号为1,2的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球；当k=4时，在标号为1,2,4的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球；当k=6时，在标号为1,2,3,6的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样.故当k=1,3,5,6时2号盒中与3号盒中球的数量一样，当k=2,4时2号盒中比3号盒中恰好多一个球.设事件A:抛掷一次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球，则事件A:抛掷一次骰子后2号盒中与3设抛掷三次骰子出现事件A的次数为m,出现事件A的次数为3-m,此时2号盒中比3号盒中恰好多一个故抛掷三次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为优良优良以下2025年下学期2026年上学期(2)依据小概率值α=0.005的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.【分析】(1)根据给定数据完善2×2列联表.(2)求出x²的观测值，再与临界值比对即得.【详解】(1)略(2)由(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.16.(1)(i)a=1;(ii)值域为[0,4]【分析】(1)(i)求出函数f(x)的导数，再代值求出a;(ii)利用导数求出f(x)在给定区间上的最大值与最小值即得.(2)利用导数求出函数f(x)的极值，再利用三次函数的图象特征列出不等式组求解.【详解】(1)(i)函数f(x)=x³-3ax²+4,求导得f(x)=3x²-6ax,由f(x)在x=2处的导数为0,得f'(2)=12-12a=0,所以a=1.试卷第7页，共12页试卷第8页，共12页函数f(x)在x=0处取得极大值f(0)=4,在x=2a处取得极小值f(2a)=-4a³+4,由函数f(x)有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得解得a>1,X0123P【分析】(1)利用列举法求出古典概率.(2)(i)利用二项分布求出概率分布列，进而求出期望；(ii)利用条件概率公式求解.所以(2)(i)X的所有可能值为0,1,2,3,依题意，所以X的分布列为X0123P试卷第9页，共12页(ii)事件A至少发生1次的概率为事件A发生2次的概率所以在事件A至少发生1次的条件下，事件A恰好发生2次的概率(2)((ii)由极值点性质，x₁x₂=1(不妨设0<x<1<x₂),又因为ax²+(2a+2)x₁+a=0,a(x²+1)=-2(a+1)x,所以,则需证：,即证已知,两边除以a,得：再用a(x²+1)=-2(a+1)x解出,代入化简：令g(t)=(t²+1)Int-t²+1