小学五年级数学下册暑期知识清单（人教版）

小学五年级数学下册暑期知识清单（人教版）一、数与代数：数的世界再拓展（一）因数与倍数：构建整除理论的基础【重要】【高频考点】1.核心概念界定【基础】：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（余数为0），我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，在算式12÷3=4中，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。因数与倍数是相互依存的，绝不能单独说某个数是因数或倍数，必须指明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。我们研究因数与倍数时，所说的数一般是指非零自然数（不包括0）。2.求一个数的因数【基础】：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。求一个数的因数时，可以成对地按顺序找，例如求18的因数，可以想哪两个整数相乘得18：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1，2，3，6，9，18。也可以用除法算式找，看18能被哪些整数整除。3.求一个数的倍数【基础】：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。求一个数的倍数，可以用这个数依次乘非零自然数，如求7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21……所以7的倍数有7，14，21，28……4.2、3、5的倍数特征【重要】【高频考点】：（1）2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。0也是偶数。（2）5的倍数特征：个位上是0或5的数，是5的倍数。（3）3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，判断462是不是3的倍数：4+6+2=12，12是3的倍数，所以462是3的倍数。（4）同时是2和5的倍数的特征：个位上的数字是0。（5）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，并且各位上的数的和是3的倍数。最小的这样的两位数是30，最小的三位数是120。5.奇数和偶数【基础】：整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。奇数与偶数的运算性质是高频考点【难点】：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。6.质数和合数【重要】【高频考点】：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，它是唯一的偶质数；最小的合数是4。20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。这些是必须熟记的基础知识。7.最大公因数和最小公倍数【核心难点】：（1）公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数；当两个数互质（公因数只有1）时，它们的最大公因数是1。（2）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数。当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数；当两个数互质时，它们的最小公倍数是这两个数的积。（3）求最大公因数和最小公倍数的方法【方法点拨】：①列举法：分别列出两个数的因数或倍数，再找共有的最大或最小。②分解质因数法：例如求24和36的最大公因数和最小公倍数。24=2×2×2×3，36=2×2×3×3。最大公因数等于所有公有质因数的乘积：2×2×3=12；最小公倍数等于所有公有质因数与各自独有质因数的乘积：2×2×3×2×3=72。③短除法：这是最常用、最便捷的方法。用两个数公有的质因数连续去除，除到商互质为止。所有除数相乘的积就是最大公因数，除数和最后的商相乘的积就是最小公倍数。8.典型例题精析：【例1】在自然数120中，奇数有（），偶数有（），质数有（），合数有（）。【解析】本题直接考查基本概念。需注意区分奇数与质数、偶数与合数的不同。奇数不一定都是质数（如9），偶数也不一定都是合数（如2）。答案：奇数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；偶数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；质数：2，3，5，7，11，13，17，19；合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。【例2】a和b都是非零自然数，且a÷b=5，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。【解析】本题考查倍数关系下的公因数与公倍数。由a÷b=5可知，a是b的5倍，即a是b的倍数，b是a的因数。因此，它们的最大公因数是较小的数b，最小公倍数是较大的数a。答案：b；a。【例3】有一张长方形纸，长60厘米，宽45厘米。如果要剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？能剪出多少个这样的正方形？【解析】本题考查用最大公因数解决实际问题。要将长方形剪成同样大小的正方形且没有剩余，说明正方形的边长必须能同时整除长方形的长和宽，即正方形边长是长和宽的公因数。要求“边长最大”，就是求长和宽的最大公因数。先求60和45的最大公因数：60=2×2×3×5，45=3×3×5，所以最大公因数是3×5=15。因此正方形边长最大是15厘米。沿长边可以剪60÷15=4（个），沿宽边可以剪45÷15=3（个），一共可以剪4×3=12（个）。答案：边长最大15厘米，能剪12个。【例4】一种瓷砖长4dm，宽3dm。如果用这种瓷砖铺一个正方形（用的瓷砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？【解析】本题考查用最小公倍数解决实际问题。要用整块的长4dm、宽3dm的长方形瓷砖铺成正方形，说明正方形的边长必须既是4的倍数，又是3的倍数，即正方形边长是4和3的公倍数。要求“最小是多少”，就是求4和3的最小公倍数。因为4和3互质，所以它们的最小公倍数是4×3=12。那么正方形的边长可以是12dm，24dm，36dm……最小是12dm。答案：边长可以是12dm，24dm，36dm……最小是12dm。9.综合训练：（1）在括号里填上合适的质数：15=（）+（），24=（）+（）。（2）一个三位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数最小是（），最大是（）。（3）五（1）班同学做操，分成9人一组或12人一组都正好分完，这个班的人数在4050之间，这个班有多少人？（4）把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，最多可以裁多少个？（二）分数的意义和性质：数的概念的扩充【核心】【重中之重】1.分数的意义【基础】：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。单位“1”不仅可以是一个物体、一个计量单位，也可以是许多物体组成的一个整体，如一个班级、一箱苹果等。表示其中一份的数叫做分数单位。例如，5/8的分数单位是1/8，它有5个这样的分数单位。2.分数与除法的关系【重要】：被除数÷除数=被除数/除数（除数不为0）。用字母表示为a÷b=a/b（b≠0）。这个关系实现了分数与除法之间的互化。例如，把3米长的绳子平均分成5段，每段长多少米？用除法：3÷5=0.6米，用分数表示就是3/5米。这里的3/5不仅表示份数与整体的关系，还表示一个具体的数量。3.真分数和假分数【基础】：（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。如2/3，5/8。（2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。如7/5，4/4。（3）带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。它是假分数的另一种表示形式。如1又2/3（写作：）。假分数化成带分数或整数的方法：用分子除以分母，商作为整数部分，余数作为分子，分母不变。能整除的则化成整数。4.分数的基本性质【核心】：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这是约分和通分的依据。例如，2/5=2×3/5×3=6/15。5.约分【重要】：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。约分时，通常要约成最简分数。最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数。约分的方法有两种：①逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除；②一次约分法：直接用分子和分母的最大公因数去除。6.通分【重要】：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。例如，比较3/4和5/6的大小，4和6的最小公倍数是12，3/4=9/12，5/6=10/12，因为9/12<10/12，所以3/4<5/6。7.分数和小数的互化【高频考点】：（1）小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……写成分数后，能约分的要约成最简分数。例如，0.25=25/100=1/4。（2）分数化小数：用分子除以分母。除不尽时，通常保留三位小数。例如，3/8=3÷8=0.375；2/3≈0.667。8.典型例题精析：【例1】把一根5米长的绳子平均分成8段，每段占全长的（），每段长（）米。【解析】本题是考查分数意义与分数与除法关系的经典易错题。第一个空求“每段占全长的几分之几”，是把全长看作单位“1”，平均分成8段，每段就是1段的1/8，与绳子具体长度无关。第二个空求“每段长多少米”，是一个具体的长度，用总长度除以段数：5÷8=5/8米。答案：1/8；5/8。【例2】一个分数的分子扩大2倍，分母缩小到原来的1/3，分数的大小（）。A.扩大到原来的6倍B.缩小到原来的1/6C.不变D.扩大到原来的2/3倍【解析】本题考查分数的基本性质的变式。根据分数与除法的关系，分数值=分子÷分母。分子扩大2倍，相当于被除数扩大2倍，商扩大2倍；分母缩小到原来的1/3，相当于除数缩小到原来的1/3，商会扩大3倍。因此，最终分数值扩大了2×3=6倍。答案：A。【例3】把5/6，4/9，7/18通分，并按从小到大的顺序排列。【解析】先找分母6，9，18的最小公倍数。6=2×3，9=3×3，18=2×3×3，所以最小公倍数是18。5/6=5×3/6×3=15/18；4/9=4×2/9×2=8/18；7/18=7/18。比较三个新分数：7/18<8/18<15/18，所以7/18<4/9<5/6。答案：7/18<4/9<5/6。【例4】一个分数，分子与分母的和是45，如果分子减去5，分母加上5，新分数约分后是1/4。求原分数。【解析】本题考查分数的综合应用。分子减去5，分母加上5，分子与分母的总和不变，还是45。新分数约分后是1/4，说明新分数的分子是1份，分母是4份，总共5份，对应45。所以新分数的分子是45÷5×1=9，分母是45÷5×4=36。那么原分数的分子是9+5=14，分母是365=31。所以原分数是14/31。答案：14/31。9.综合训练：（1）3÷5=()/15=12/()=()（填小数）。（2）在a/7中（a为非零自然数），当a（）时，它是真分数；当a（）时，它是假分数；当a（）时，它等于3。（3）加工同样多的零件，李师傅用了0.75小时，王师傅用了4/5小时，谁做得快一些？（4）一个最简真分数，分子与分母的积是36，这个分数可能是多少？（三）分数的加法和减法：运算律的扩展【重要】【高频考点】1.同分母分数加、减法【基础】：同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。计算结果，能约分的要约成最简分数。例如，2/7+3/7=5/7；7/92/9=5/9。2.异分母分数加、减法【核心难点】：异分母分数相加减，先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。例如，计算1/2+1/3，先通分，2和3的最小公倍数是6，1/2=3/6，1/3=2/6，所以3/6+2/6=5/6。3.分数加减混合运算【重要】：（1）运算顺序：分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，按照从左到右的顺序依次计算；有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。（2）简便运算：整数加法的运算定律（交换律、结合律）以及减法的运算性质，对分数加法同样适用。合理运用运算律可以使计算简便。例如，计算3/7+2/5+4/7+3/5，可以运用加法交换律和结合律：(3/7+4/7)+(2/5+3/5)=1+1=2。4.分数加减法应用题【高频考点】：主要题型包括求总数（用加法）、求剩余（用减法）、求相差量（用减法）、以及“比多比少”问题。解题的关键是找准单位“1”，并理解分数在此处是表示具体数量还是表示与整体的关系。5.典型例题精析：【例1】计算下面各题，能简算的要简算。（1）5/8+1/3+3/8（2）5/6(1/2+1/3)（3）9/10(1/10+2/5)【解析】第（1）题，观察到5/8和3/8分母相同，可以运用加法交换律先相加：5/8+3/8+1/3=1+1/3=1又1/3。第（2）题，有括号先算括号里的：1/2+1/3=3/6+2/6=5/6，所以5/65/6=0。也可以运用减法的性质，但此处直接算更简便。第（3）题，方法一：先算括号里1/10+2/5=1/10+4/10=5/10=1/2，9/101/2=9/105/10=4/10=2/5。方法二：运用减法的性质去括号，但要注意变号：9/101/102/5=8/102/5=4/52/5=2/5。答案：（1）1又1/3；（2）0；（3）2/5。【例2】修一条路，第一天修了全长的2/7，第二天修了全长的1/3，还剩下全长的几分之几没修？【解析】本题把全长看作单位“1”，求剩余部分，用减法：12/71/3。计算时需要通分，7和3的最小公倍数是21。原式=21/216/217/21=8/21。也可以列综合算式：1(2/7+1/3)=1(6/21+7/21)=113/21=8/21。答案：还剩下全长的8/21没修。【例3】一堂课40分钟，老师讲解用了1/5小时，学生互动用了1/4小时，剩下的时间学生做练习。做练习用了多少小时？【解析】本题需要注意单位统一。已知总时间是40分钟，而讲解和互动时间都是以“小时”为单位的分数。因此需要将40分钟化为小时：40分钟=40/60=2/3小时。然后用总时间减去讲解和互动的时间：2/31/51/4。先通分，分母3，5，4的最小公倍数是60。原式=40/6012/6015/60=13/60（小时）。也可以列综合算式：2/3(1/5+1/4)=40/60(12/60+15/60)=40/6027/60=13/60。答案：做练习用了13/60小时。6.综合训练：（1）直接写出得数：1/2+1/3=5/61/2=3/4+1/6=14/7=（2）计算下面各题：7/81/6+1/4；4/5(1/4+3/10)；2/3+4/51/2。（3）一瓶2L的饮料，小明喝了3/8L，小红喝了1/4L，还剩下多少升？（4）有三根铁丝，第一根长3/5米，第二根比第一根短1/4米，第三根比第二根长1/2米，第三根长多少米？二、图形与几何：空间观念的飞跃（一）观察物体（三）【基础】1.从不同方向观察立体图形【基础】：站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。从不同的位置观察同一个立体图形，看到的形状可能是相同的，也可能是不同的。2.根据从不同方向看到的平面图形还原立体图形【难点】：根据从一个方向看到的图形，可以摆出不同的立体图形，摆法不唯一。根据从三个方向（正面、上面、左面）观察到的图形摆小正方体，通常可以确定立体图形的形状，只有一种摆法。这是培养空间想象力的核心训练。3.典型例题精析：【例】一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是。搭这样的立体图形，最少需要几个小正方体？最多需要几个？【解析】本题需要空间想象和推理。从上面看到的形状决定了底层小正方体的布局：底层有4个小正方体，呈“L”型。从正面看到的形状是，说明这个立体图形有两层，且左边一列最高有两层。那么，在底层左边一列的上方，可以放1个或2个小正方体（对应后面那一排的位置）。最少的情况：只在左边一列后面那个上方放1个，共4+1=5个。最多的情况：左边一列两个（前后排）上方都放1个，共4+2=6个。答案：最少需要5个，最多需要6个。（二）长方体和正方体：系统认识立体图形【核心】【重中之重】1.长方体和正方体的认识【基础】：（1）长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。它有6个面，相对的面完全相同；12条棱，相对的棱长度相等（可分为3组，每组4条）；8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（2）正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面完全相同，12条棱长度都相等，8个顶点。正方体是长、宽、高都相等的长方体，所以可以说正方体是特殊的长方体。2.棱长总和的计算【基础】：（1）长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4，字母公式：C=4(a+b+h)。（2）正方体的棱长总和=棱长×12，字母公式：C=12a。3.表面积的计算【高频考点】：（1）表面积的意义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。（2）长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，字母公式：S=2(ab+ah+bh)。（3）正方体的表面积=棱长×棱长×6，字母公式：S=6a²。（4）实际应用中的变化【难点】：在解决实际问题时，有时并不需要计算所有6个面的面积。例如，求无盖鱼缸、游泳池抹水泥（只求5个面：下面和四周，缺少上面）；求烟囱、通风管道的铁皮（只求4个面：前后左右，缺少上下两个面）。4.体积和容积的计算【核心】【高频考点】：（1）体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（2）容积的意义：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。通常用体积单位计量，但计量液体体积时，常用升（L）和毫升（mL）。（3）体积单位及进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米。1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。（4）长方体的体积=长×宽×高，字母公式：V=abh。（5）正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式：V=a³（读作a的立方）。（6）统一的体积公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高，字母公式：V=Sh。这个公式具有普适性，适用于所有柱体。（7）排水法求不规则物体的体积【难点】：当物体完全浸没在装有水的容器中时，水面上升（或下降）的那部分水的体积就等于物体的体积。即：物体的体积=容器的底面积×水面上升（或下降）的高度。5.典型例题精析：【例1】一个长方体的棱长总和是72厘米，长8厘米，宽6厘米，它的高是多少厘米？表面积是多少？体积是多少？【解析】本题考查棱长总和、表面积、体积的综合运用。由棱长总和公式可推导出：长+宽+高=棱长总和÷4，所以高=72÷486=1814=4（厘米）。表面积=(8×6+8×4+6×4)×2=(48+32+24)×2=104×2=208（平方厘米）。体积=8×6×4=192（立方厘米）。答案：高4cm，表面积208cm²，体积192cm³。【例2】一间教室长8米，宽6米，高3.5米，要粉刷教室的顶面和四面墙壁，除去门窗和黑板的面积22平方米，粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米用涂料0.25千克，共需要涂料多少千克？【解析】本题是表面积的实际应用，需要注意粉刷的是哪几个面。教室的地面不用粉刷，所以是求5个面的面积和：顶面（长×宽）+前后面（长×高×2）+左右面（宽×高×2）。顶面：8×6=48m²；前后面：8×3.5×2=56m²；左右面：6×3.5×2=42m²。总面积=48+56+42=146m²。再减去门窗黑板面积：14622=124m²。需要涂料：124×0.25=31（千克）。答案：粉刷面积124m²，需要涂料31千克。【例3】把一个棱长为6分米的正方体钢坯，锻造成一个横截面是9平方分米的长方体钢材，这个长方体钢材的长是多少分米？【解析】本题考查“等积变形”思想。锻造过程中，钢材的形状变了，但体积不变。先求正方体钢坯的体积：V=a³=6×6×6=216（立方分米）。锻造后的长方体钢材体积也是216立方分米。已知横截面积（即底面积）是9平方分米，根据体积公式V=Sh，可求出长（即高）h=V÷S=216÷9=24（分米）。答案：长是24分米。【例4】一个长50厘米、宽40厘米、高30厘米的长方体鱼缸中水深20厘米，放入一些金鱼后，水面上升到22厘米。这些金鱼的体积是多少立方厘米？【解析】本题考查排水法求不规则物体体积。放入金鱼后，水面上升的高度是2220=2厘米。上升的这部分水的体积就是金鱼的体积。鱼缸的底面积是50×40=2000（平方厘米）。所以金鱼的体积=底面积×水面上升高度=2000×2=4000（立方厘米）。答案：金鱼的体积是4000立方厘米。6.综合训练：（1）3.05立方米=（）立方米（）立方分米，4.8升=（）升（）毫升=（）毫升。（2）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的（）倍，表面积扩大到原来的（）倍，体积扩大到原来的（）倍。（3）用一根长120厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，长、宽、高的比是3:2:1，这个长方体的体积是多少立方厘米？（4）一个长10米、宽6米、深2米的长方体水池。①这个水池的占地面积是多少平方米？②要在水池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？③这个水池最多能蓄水多少立方米？（5）一个棱长为8厘米的正方体容器装满了水，把这些水全部倒入一个长16厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体容器中，这时水面高多少厘米？（假设容器足够高）（三）图形的运动（三）：旋转【重要】1.旋转的三要素【基础】：旋转中心（绕哪一个点旋转）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度（旋转了多少度，如90°、180°等）。2.旋转的特征【基础】：图形旋转后，形状和大小都没有发生变化，只是位置改变了。旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向相同，旋转的角度也相同。对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等。3.在方格纸上画旋转后的图形【难点】：（1）确定旋转中心和旋转方向、角度。（2）找出原图形的关键点（如顶点）。（3）将关键点与旋转中心连接，根据旋转方向和角度，画出关键点旋转后的对应点（确保对应点到旋转中心的距离相等）。（4）顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。4.钟面上的旋转【高频考点】：钟面上共有12个大格，每一大格对应的圆心角是30°。时针每小时旋转30°，分针每分钟旋转6°，秒针每秒旋转6°。例如，从“3”到“6”，指针绕点O顺时针旋转了90°。5.典型例题精析：【例1】画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形。【解析】（思路描述，无图）首先确定旋转中心是点O，旋转方向是逆时针，旋转角度是90°。找关键点：A和B。先找点A的对应点A'：连接OA，以OA为始边，逆时针方向画一个90°的角，在角的另一边截取OA'=OA。同样方法找到点B的对应点B'。最后连接OA'、OB'、A'B'，三角形A'OB'即为所求。作图时注意检查旋转后的图形应与原图形全等。【例2】从3:15到3:30，钟面上的分针旋转了（）度。【解析】从3:15到3:30，经过了15分钟。分针每分钟旋转6°，所以15分钟旋转了15×6=90°。答案：90°。三、统计与概率：数据分析观念的深化（一）折线统计图【重要】1.折线统计图的特点【基础】：折线统计图不仅可以表示数量的多少，还可以清晰地反映数量的增减变化情况（即变化趋势）。2.单式折线统计图【基础】：用于表示一组数据的多少和变化趋势。制作方法：写清标题，建立横轴和纵轴（一般横轴表示时间，纵轴表示数量），根据数据描点，再顺次连接各点，最后标上数据。3.复式折线统计图【高频考点】：可以在一幅图中表示两组或两组以上不同的数据，便于比较它们的变化趋势和差异。制作时需要标明图例，用不同的折线（如不同颜色、实线虚线）区分不同的数据。4.根据统计图进行数据分析【核心】：能根据折线的升降幅度，分析数据变化的趋势、速度的快慢，并做出合理的预测和决策。例如，哪段时间增长最快，哪段时间下降最快，全年最高