第2章 二元一次方程组（4类题型突破）【浙教】七下数学专题复习

第2章《二元一次方程组》（4类题型突破）重要题型题型一二元一次方程（组）的定义及二元一次方程（组）的解【例1】．（2022秋•漳州期末）下列方程中，是二元一次方程的是（）A．x﹣4＝0 B．2x﹣y＝0 C．3xy﹣5＝0 D．+y＝【例2】．（2023春•吴兴区期中）二元一次方程2x﹣y＝1有无数个解，下列四组值中是该方程的解的是（）A． B． C． D．【例3】．（2023春•益阳期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【例4】．（2023春•滦州市期中）若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为．【例5】．（2022秋•蓝田县期末）已知方程组与有相同的解，则m＝，n＝．【例6】．（2023春•嘉定区期末）方程2x+y＝5的非负整数解有．【例7】．（2023春•镇海区期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（）A．3 B．4 C．5 D．6巩固训练：1．（2023春•金华期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B． C．x+y＝3z D．2x+3y＝42．（2023春•昆明期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．3．（2022春•鄞州区校级月考）下列方程组中属于二元一次方程组的是（）①，②，③，④．A．①② B．③④ C．①③ D．①④4．（2022春•拱墅区月考）已知2x|m|﹣1﹣3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝．5．（2023春•慈溪市期中）写出一个以为解的二元一次方程：．（只要写一个方程，不要写成方程组）6．（2023春•浉河区期末）若方程组的解x、y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．0＜k＜8 B．﹣1＜k＜0 C．﹣4＜k＜0 D．k＞﹣47．（2023春•高青县期末）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（）A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，38．（2023春•温州月考）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．9．（2023春•红山区期末）满足方程组的x，y互为相反数，则m＝．题型二二元一次方程组的解法【例1】．（2023春•长兴县期中）将方程3x+y＝9写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（）A．y＝3x﹣9 B．y＝9﹣3x C． D．【例2】．（2023春•温州月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（）A．3x﹣x+1＝18 B．3x+3﹣x＝18 C．3x﹣x﹣1＝18 D．3x﹣x＝18【例3】．（2023春•文成县期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣② B．①×（﹣2）+② C．①﹣②×3 D．①+②×3【例4】．（2023春•衢江区期末）若2a﹣b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（）A． B． C． D．【例5】．（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且1※2＝5，2※1＝3，则2※3＝．【例6】．（2023春•南召县期末）表中的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝6的一个解，则表中“？”表示的数为．x210﹣1…？y2468…102【例7】．（2023春•鄞州区期中）已知方程组的解是，则方程组的解是．【例8】．（2023春•余姚市期中）已知|3x﹣y﹣8|+（4y﹣x+12）2＝0，则4x+6y＝．【例9】．（2023春•肇源县期末）解下列二元一次方程组．（1）；（2）．【例10】．（2023春•绍兴期中）解方程组：（1）；（2）．【例11】．（2023春•平湖市期中）规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数．（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是；（2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；（3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．巩固训练：1．（2023春•安乡县期末）已知，则y＝（用含有x的式子表示）．2．（2023春•玉环市期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去x，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5﹣②×3 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×2﹣②×33．（2022秋•黄岛区校级期末）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（）A． B． C． D．4．（2023春•鹿城区期中）用代入法解方程组时，代入正确的是（）A．x﹣2+x＝5 B．x﹣2+2x＝5 C．x﹣2﹣2x＝5 D．x﹣2﹣x＝55．（2023秋•九原区期末）已知方程组，则x﹣y＝．6．（2023春•温州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，则代数式﹣2x﹣2y的值为．7．（2023春•东阳市期中）若方程组的解中x+y＝2022，则k＝．8．（2023春•文成县期中）已知方程组，当m＝时，x+y＝5．9．（2023春•瓯海区期中）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则（m﹣2n）2023的值是．10．（2022春•上虞区期末）解二元一次方程组时，为便捷求出未知数x的值，我们往往将两个方程相加，这体现了这一数学思想．11．（2023春•长沙县期末）解下列方程组．（1）；（2）．12．（2022秋•林甸县期末）解下列方程组．（1）；（2）．13．（2023秋•鄞州区月考）解方程（组）：（1）；（2）．14．（2023春•新昌县期中）已知方程组．（1）消去m，可得到关于x，y的二元一次方程：；（2）若x与y的和等于4，求m的值．15．（2023春•荣昌区期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为：乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求原方程组中a、b的值各是多少？（2）求出原方程组中的正确解．16．（2023春•拱墅区校级期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．题型三二元一次方程（组）的实际应用【例1】．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30【例2】．（2022春•临邑县期末）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37 B．27 C．23 D．20【例3】．（2023•大庆模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（）A． B． C． D．【例4】．（2023春•吴兴区校级期末）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（）A． B． C． D．【例5】．（2023春•镇安县期末）“五一”长假前某学校举行了一年一度的文化艺术节，为表彰校“古诗词吟诵社团”的同学，特购买了单价为5元的笔记本和单价为4元的签字笔对他们进行奖励，正好花费64元（两种都要买），则购买的方案共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【例6】．（2023春•平桥区期末）如图，利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【例7】．（2023•路南区二模）设“●”“■”“▲”分别表示不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【例8】．（2023春•东阳市期中）几个人打算合买一件物品．每人出12元，还少3元；每人出13元，就多12元，则总人数有（）A．12人 B．13人 C．15人 D．16人【例9】．（2022•东平县一模）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是，则如图2表示的方程组是．【例10】．（2022秋•汝城县期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？【例11】．（2023秋•金凤区校级期末）素材若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．问题解决任务1问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？任务2在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？【例12】．（2023春•康巴什期末）根据以下信息，探索完成任务：如何设计招聘方案？素材1某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．素材2调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．素材3工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元工资，每名新工人每月发1200元工资．问题解决任务一分析数量关系每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？任务二：确定可行方案如果工厂招聘n（0＜n＜5）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？任务三：选取最优方案在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人名．（直接写出答案）【例13】．（2023•望城区模拟）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．【例14】．（2023春•瓯海区期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张，长方形纸板张．（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）巩固训练：1．（2023•隆安县一模）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（）A． B． C． D．2．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（）A． B． C． D．3．（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x只，兔y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为．4．（2023春•黄梅县期末）如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（）A．143 B．99 C．44 D．535．（2023春•绍兴期中）甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多，如果甲先做30个，乙再开始做，4天后乙反比甲多做10个．甲，乙两人每天分别做多少个？设甲，每天做x个，乙每天做y个，列出的方程组是．6．（2023•拱墅区校级模拟）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛（）斛米．（注：斛是古代一种容量单位）A． B． C． D．7．（2022秋•上虞区期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为．8．（2023春•平果市期中）如图，在长方形ABCD中放入边长为8的正方形AEGF和边长为4的正方形NHCM，S1、S2、S3表示对应阴影部分的面积，若S2＝4S1﹣3S3，且AD、AB的长为整数，则S2的值是．9．（2022春•余姚市期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（）A．4 B．8 C．12 D．1610．（2023春•平湖市期中）医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如表：其中所含蛋白质其中所含铁质甲种食物0.8单位/克1单位/克乙种食物0.7单位/克0.4单位/克如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，可列方程组为．11．（2023春•温州期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多2个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多1倍，则男生有人．12．（2022秋•拱墅区期末）某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有120人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的2倍．（1）求树苗保障组的人数；（2）已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有a人．①用含a的代数式表示种植组在乙处的人数；②若a＝46，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数是乙处种植人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？13．（2022秋•龙华区期末）列方程解决问题某文具店出售的部分文具的单价如下表：种类单价红黑双色中性笔10元/支黑色笔芯6元/盒红色笔芯8元/盒“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？14．（2022秋•上虞区期末）“中国人的饭碗要牢牢端在自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了20亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为43200元．（1）求A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少kg？（2）今年该农业科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克的价格将在去年的基础上上涨10%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求a的值．15．（2023春•乐清市期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）A款m120B款n90若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．（1）求m和n的值；（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）16．（2023春•宁波期末）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？17．（2023春•文成县期中）根据以下素材，探索完成任务．如何设计板材裁切方案？素材1图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．素材2因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）我是板材裁切师任务一拟定裁切方案若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背张和坐垫张．方法三：裁切靠背张和坐垫张．任务二确定搭配数量若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？任务三解决实际问题现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．题型四三元一次方程（组）相关【例1】．（2020秋•光明区期末）解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（）A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③【例2】．（2022春•晋江市期末）有理数x、y、z满足，则x+2y+5z的值是（）A．﹣4 B．3 C．4 D．值不能确定【例3】．（2023春•黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝．【例4】．（2023春•温州月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需元．【例5】．（2022春•金华期末）解方程组：（1）；（2）．【例6】．（2021春•椒江区月考）已知＝＝，且2x+4y﹣6z＝120，求x、y、z的值．【例7】．（2022秋•通川区期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元．（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝．巩固训练：1．（2022春•辛集市期末）已知实数x，y，z满足，则代数式3（x﹣z）+1的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣62．（2021春•西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y﹣3z＝5，x+2y+z＝﹣4，请用x的代数式表示z，即．3．（2023•平湖市一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要元．4．（2023春•西湖区期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号ABC盒子容量（单位：升）234盒子单价（单位：元）569其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为个．5．（2023春•绍兴期中）五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝分钟．6．（2022•江北区开学）解方程组：（1）；（2）＝3；（3）．7．（2021•下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．8．（2023秋•酒泉期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝；（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．

第2章《二元一次方程组》（4类题型突破）重要题型题型一二元一次方程（组）的定义及二元一次方程（组）的解【例1】．（2022秋•漳州期末）下列方程中，是二元一次方程的是（）A．x﹣4＝0 B．2x﹣y＝0 C．3xy﹣5＝0 D．+y＝【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．【解答】解：A．x﹣4＝0属于一元一次方程，不合题意；B.2x﹣y＝0属于二元一次方程，符合题意；C.3xy﹣5＝0属于二元二次方程，不合题意；D.不是整式方程，属于分式方程，不合题意；故选：B．【例2】．（2023春•吴兴区期中）二元一次方程2x﹣y＝1有无数个解，下列四组值中是该方程的解的是（）A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：A．当x＝0，y＝﹣，则2x﹣y＝0+＝≠1，那么不是该方程的解，故A不符合题意．B．当x＝1，y＝1，则2x﹣y＝2﹣1＝1，那么是该方程的解，故B符合题意．C．当x＝1，y＝0，则2x﹣y＝2﹣0＝2≠1，那么不是该方程的解，故C不符合题意．D．当x＝﹣1，y＝﹣1，则2x﹣y＝﹣2+1＝﹣1≠﹣1，那么不是该方程的解，故D不符合题意．故选：B．【例3】．（2023春•益阳期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；B、不属于二元一次方程组，不符合题意；C、属于二元二次方程组，不符合题意；D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．【例4】．（2023春•滦州市期中）若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为﹣2．【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，求出即可．【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【例5】．（2022秋•蓝田县期末）已知方程组与有相同的解，则m＝﹣1，n＝﹣4．【分析】首先解方程组，即可求得方程组的解，然后把方程组的解代入含有m，n的两个方程，即可求解出m，n的值．【解答】解：解方程组，得，把代入方程mx+5y＝4得m+5＝4，解得m＝﹣1，把代入方程5x+ny＝1得5+n＝1，解得n＝﹣4，故答案为：﹣1，﹣4．【例6】．（2023春•嘉定区期末）方程2x+y＝5的非负整数解有或或．【分析】用x表示y，将x从0开始取，逐个求解即可得到答案；【解答】解：由题意可得，y＝5﹣2x，当x＝0时，y＝5﹣2×0＝5，当x＝1时，y＝5﹣2×1＝3，当x＝2时，y＝5﹣2×2＝1，当x＝3时，y＝5﹣2×3＝﹣1＜0，故答案为：或或．【例7】．（2023春•镇海区期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a+b值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根据关于x，y的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．【解答】解：，求得，∵关于x，y的方程组和有相同的解，将代入，得，解得，∴2a+b＝2×（﹣2）+8＝4，故选：B．巩固训练：1．（2023春•金华期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B． C．x+y＝3z D．2x+3y＝4【分析】二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程是二元一次方程，再利用二元一次方程的概念对各个选项逐一判断即可解答．【解答】解：A．x2﹣y＝1不是二元一次方程，故本项不符合题意；B．不是二元一次方程，故本项不符合题意；C．x+y＝3z不是二元一次方程，故本项不符合题意；D．2x+3y＝4是二元一次方程，故本项符合题意．故选：D．2．（2023春•昆明期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B．方程组中第二个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C．方程组是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意；故选：D．3．（2022春•鄞州区校级月考）下列方程组中属于二元一次方程组的是（）①，②，③，④．A．①② B．③④ C．①③ D．①④【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．【解答】解：①是二元一次方程组；②不是二元一次方程组；③不是二元一次方程组；④是二元一次方程组；故选：D．4．（2022春•拱墅区月考）已知2x|m|﹣1﹣3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝±2．【分析】根据二次一次方程的定义，可得|m|﹣1＝1，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|m|﹣1＝1，解得：m＝±2，故答案为：±2．5．（2023春•慈溪市期中）写出一个以为解的二元一次方程：x+y＝0（答案不唯一）．（只要写一个方程，不要写成方程组）【分析】根据二元一次方程的解的定义，比如把x与y的值相加得0，即x+y＝0是一个符合条件的方程．【解答】解：本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为即可，如x+y＝0．故答案为：x+y＝0（答案不唯一）．6．（2023春•浉河区期末）若方程组的解x、y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．0＜k＜8 B．﹣1＜k＜0 C．﹣4＜k＜0 D．k＞﹣4【分析】方程组两方程相加，表示出x+y，代入已知不等式求出k的范围即可．【解答】解：方程组两方程相加得：4x+4y＝k+4，即x+y＝，根据题意得：0＜＜1，即0＜k+4＜4，解得：﹣4＜k＜0，故选：C．7．（2023春•高青县期末）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（）A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3【分析】把代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y求★．【解答】解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10，故选：A．8．（2023春•温州月考）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．【分析】将方程组可变形为，由方程组的解是，可得出关于，的方程组的解是，解之即可得出结论．【解答】解：关于x，y的方程组可变形为．∵关于x，y的方程组的解是，∴关于，的方程组的解是，解得：，∴关于x，y的方程组的解是．故选：D．9．（2023春•红山区期末）满足方程组的x，y互为相反数，则m＝1．【分析】由x与y互为相反数，得到y＝﹣x，代入方程组计算即可求出m的值．【解答】解：由题意得：y＝﹣x，代入方程组得：，消去x得：3m＝m+2，解得：m＝1．故答案为：1．题型二二元一次方程组的解法【例1】．（2023春•长兴县期中）将方程3x+y＝9写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（）A．y＝3x﹣9 B．y＝9﹣3x C． D．【分析】把y看作已知数求出x即可．【解答】解：3x+y＝9，3x＝9﹣y，解得x＝3﹣．故选：D．【例2】．（2023春•温州月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（）A．3x﹣x+1＝18 B．3x+3﹣x＝18 C．3x﹣x﹣1＝18 D．3x﹣x＝18【分析】把y＝x+1代入3x﹣y＝18，再去括号即可．【解答】解：解方程组的过程中，将②代入①可得3x﹣（x+1）＝18，去括号，可得3x﹣x﹣1＝18．故选：C．【例3】．（2023春•文成县期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣② B．①×（﹣2）+② C．①﹣②×3 D．①+②×3【分析】先根据方程组和条件进行计算，再得出选项即可．【解答】解：A．，①×2﹣②，得7y＝7，能消元，故本选项不符合题意；B．，②×3+①，得7x＝7，能消元，故本选项不符合题意；C．，①﹣②×3，得﹣5x+6y＝1，不能消元，故本选项符合题意；D．，①×（﹣2）+②，得﹣7y＝﹣7，能消元，故本选项不符合题意．故选：C．【例4】．（2023春•衢江区期末）若2a﹣b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（）A． B． C． D．【分析】由2a﹣b＝0得b＝2a，把b＝2a代入（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0得（a﹣1）x+2ay+5﹣2a＝0，整理得：（x+2y﹣2）a﹣x+5＝0，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出，解关于x、y的方程组即可．【解答】解：由2a﹣b＝0得：b＝2a，∴关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0可变为：（a﹣1）x+2ay+5﹣2a＝0，整理得：（x+2y﹣2）a﹣x+5＝0，∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，，解得．故选：C．【例5】．（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且1※2＝5，2※1＝3，则2※3＝11．【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：根据题意，得：，解得：，则x※y＝x+y2，∴2※3＝2+32＝11，故答案为：11．【例6】．（2023春•南召县期末）表中的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝6的一个解，则表中“？”表示的数为﹣48．x210﹣1…？y2468…102【分析】将，代入原方程，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，进而可得出原方程为2x+y＝6，再代入y＝102，即可求出表中“？”表示的数．【解答】解：将，代入原方程得：，解得：，∴原方程为2x+y＝6．当y＝102时，2x+102＝6，解得：x＝﹣48，∴表中“？”表示的数为﹣48．故答案为：﹣48．【例7】．（2023春•鄞州区期中）已知方程组的解是，则方程组的解是．【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．【解答】解：∵的解是，∴方程组的解是，解得：．故答案为：．【例8】．（2023春•余姚市期中）已知|3x﹣y﹣8|+（4y﹣x+12）2＝0，则4x+6y＝﹣8．【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：∵|3x﹣y﹣8|+（4y﹣x+12）2＝0，∴，整理得：，由①×4﹣②得：11x＝20，解得：x＝，把x＝代入①得：y＝﹣，∴4x+6y＝4×+6×＝﹣8．故答案为：﹣8．【例9】．（2023春•肇源县期末）解下列二元一次方程组．（1）；（2）．【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．【解答】解：（1），①代入②，可得：2y+3y＝10，解得y＝2，把y＝2代入①，可得x＝2×2＝4，∴原方程组的解是．（2），由①，可得：4x+2y＝6③，②+③，可得7x＝14，解得x＝2，把x＝2代入②，可得：3×2﹣2y＝8，解得y＝﹣1，∴原方程组的解是．【例10】．（2023春•绍兴期中）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法进行计算，即可解答；（2）先将原方程组进行化简整理可得：，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．【解答】解：（1），把①代入②得：y＝2（3y﹣2）﹣y，解得：y＝1，把y＝1代入①中得：x＝3﹣2＝1，∴原方程组的解为：；（2）将原方程组化简整理得：，①﹣②得：6x＝4，解得：x＝，把x＝代入②中得：﹣+y＝2，解得：y＝，∴原方程组的解为：．【例11】．（2023春•平湖市期中）规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数．（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是x+3y＝5；（2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；（3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．【分析】（1）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可；（2）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可求出共辄系数；（3）表示出方程组的解，根据x与y相等确定出k的范围，即可作出判断．【解答】解：（1）方程3x+y＝5的共辄二元一次方程是x+3y＝5；故答案为：x+3y＝5；（2）∵关于x，y的二元一次方程组为共辄方程，∴2﹣5a＝1﹣2b，﹣b﹣4＝﹣5﹣a，整理得：，①﹣②×2得：3a＝3，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1﹣b＝﹣1，解得：b＝2，∴2﹣5a＝2﹣5＝﹣3，﹣b﹣4＝﹣2﹣4＝﹣6，则此共辄方程组的共辄系数为﹣3，﹣6；（3）不同意他的说法，理由为：方程组，①×k﹣②得：（k2﹣1）y＝kb﹣b，②×k﹣①得：（k2﹣1）x＝kb﹣b，当k2﹣1≠0，即k≠±1时，x＝y＝＝，则当k≠±1时，无论b为何值，x与y的值相等．巩固训练：1．（2023春•安乡县期末）已知，则y＝（用含有x的式子表示）．【分析】把x看做已知数求出y即可．【解答】解：方程+＝6，去分母得：2x+3（y﹣1）＝36，去括号得：2x+3y﹣3＝36，解得：y＝．故答案为：．2．（2023春•玉环市期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去x，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5﹣②×3 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×2﹣②×3【分析】利用消元法一一判断即可．【解答】解：要消去x，可以将①×5﹣②×2，可得15y+4y＝30﹣18，可得y＝．故选：C．3．（2022秋•黄岛区校级期末）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（）A． B． C． D．【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，进行计算即可解答．【解答】解：把代入中可得：，解得：，把代入中可得，，解得：，故选：C．4．（2023春•鹿城区期中）用代入法解方程组时，代入正确的是（）A．x﹣2+x＝5 B．x﹣2+2x＝5 C．x﹣2﹣2x＝5 D．x﹣2﹣x＝5【分析】将②代入①整理即可得出答案．【解答】解：，把②代入①得，x﹣2（1+x）＝5，去括号得，x﹣2﹣2x＝5．故选：C．5．（2023秋•九原区期末）已知方程组，则x﹣y＝﹣1．【分析】方程组中两方程相减即可求出所求．【解答】解：，①﹣②得：2x﹣2y＝﹣2，则x﹣y＝﹣1．故答案为：﹣1．6．（2023春•温州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，则代数式﹣2x﹣2y的值为﹣6．【分析】把方程组的两个式子相加，从而可求得x+y的值，再代入所求的式子进行运算即可．【解答】解：，①+②得：8x+8y＝24，解得：x+y＝3，∴﹣2x﹣2y＝﹣2（x+y）＝﹣2×3＝﹣6．故答案为：﹣6．7．（2023春•东阳市期中）若方程组的解中x+y＝2022，则k＝2023．【分析】利用（①+②）÷5，可得出x+y＝k﹣1，结合x+y＝2022，可得出k﹣1＝2022，解之即可求出k的值．【解答】解：，（①+②）÷5得：x+y＝k﹣1．又∵x+y＝2022，∴k﹣1＝2022，∴k＝2023．故答案为：2023．8．（2023春•文成县期中）已知方程组，当m＝3时，x+y＝5．【分析】先两式相减即可得出x+y的值，再根据x+y＝5求出m的值即可．【解答】解：，①﹣②得，x+y＝2m﹣1，∵x+y＝5，∴2m﹣1＝5，解得m＝3．故答案为：3．9．（2023春•瓯海区期中）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则（m﹣2n）2023的值是0．【分析】将代入原方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入（m﹣2n）2023中，即可求出结论．【解答】解：将代入原方程组得：，解得：，∴（m﹣2n）2023＝（2﹣2×1）2023＝0．故答案为：0．10．（2022春•上虞区期末）解二元一次方程组时，为便捷求出未知数x的值，我们往往将两个方程相加，这体现了消元这一数学思想．【分析】根据二元一次方程组的解法确定出体现的数学思想即可．【解答】解：解二元一次方程组时，为便捷求出未知数x的值，我们往往将两个方程相加，这体现了消元这一数学思想．故答案为：消元．11．（2023春•长沙县期末）解下列方程组．（1）；（2）．【分析】（1）根据代入消元法求解二元一次方程组即可；（2）根据加减消元法求解二元一次方程组即可．【解答】解：（1），将①代入②得，2x+3x+1＝﹣10，解得：x＝﹣2，将x＝﹣2代入①得：y＝3×（﹣2）+1＝﹣5，∴该方程组的解为；（2），将③×3+④得：10x＝50，解得：x＝5，将x＝5代入③得2×5+y＝13，解得：y＝3，∴该方程的解为．12．（2022秋•林甸县期末）解下列方程组．（1）；（2）．【分析】（1）把②代入①消掉y，得到一个关于x的一元一次方程再解即可；（2）先化简，再用加减消元法消掉y，得到一个关于x的一元一次方程再解即可．【解答】解：（1）把②代入①，得x+2x+4＝1，x＝﹣1，把x＝﹣1代入②，得y＝2，所以方程组的解为；（2）化简得②×2，得4x+2y＝6③，①+③，得7x＝13，x＝，把x＝代入③，得y＝，所以方程组的解为．13．（2023秋•鄞州区月考）解方程（组）：（1）；（2）．【分析】（1）首先将方程的两边同时乘以6，得：2（x+y）+3（x﹣y）＝36，整理得y＝5x﹣36，再将方程3（x+y）﹣2（x﹣y）＝28整理得x+5y＝28，再将y＝5x﹣36代入x+5y＝28解出x，进而再解出y即可；（2）首先将转化为：，再去分母，将方程两边同时乘以72，得：3（7000x﹣1000）＝4（1000﹣200x）﹣6（5000x+1000），然后去括号，移项，合并同类项，得51800x＝1000，最后再将未知数的习俗化为1即可．【解答】解：将方程的两边同时乘以6，得：2（x+y）+3（x﹣y）＝36，去括号，移项，合并同类项，得：5x﹣y＝36，∴y＝5x﹣36，将3（x+y）﹣2（x﹣y）＝28，去括号，移项，合并同类项，得：x+5y＝28，将y＝5x﹣36代入x+5y＝28，得：x+5（5x﹣36）＝28，去括号，移项，合并同类项，得：26x＝208，∴x＝8，将x＝8代入y＝5x﹣36，得：y＝4，∴原方程组的解为：，（2）将转化为：，去分母，将方程两边同时乘以72，得：3（7000x﹣1000）＝4（1000﹣200x）﹣6（5000x+1000），去括号，得：21000x﹣3000＝4000﹣800x﹣30000x﹣6000，移项，得：21000x+800x+30000x＝4000+3000﹣6000，合并同类项，得：51800x＝1000，未知数的系数化为1，得：x＝．14．（2023春•新昌县期中）已知方程组．（1）消去m，可得到关于x，y的二元一次方程：x+2y＝2；（2）若x与y的和等于4，求m的值．【分析】（1）利用加减消元法直接消去m，即可得到关于x，y的二元一次方程；（2）先联立x+2y＝2和x+y＝4，解方程组求出x与y的值，再代入2x+3y＝m中即可求出m的值．【解答】解：（1），①﹣②，得：x+2y＝2，故答案是x+2y＝2；（2）∵x与y的和等于4，即x+y＝4，联立x+2y＝2和x+y＝4得：，③﹣④，得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入④得，x＝6，把x＝6，y＝﹣2，代入②，得：m＝6．15．（2023春•荣昌区期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为：乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求原方程组中a、b的值各是多少？（2）求出原方程组中的正确解．【分析】（1）把甲得到的解代入第二个方程，把乙得到的解代入第一个方程，然后求解即可；（2）把a、b的值代入方程组，然后利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）由题意得，解得；（2）把a、b的值代入得，，①×2得，﹣2x+10y＝30③，②+③得，2x＝28，解得x＝14，把x＝14代入①得，﹣14+5y＝15，解得y＝，所以，原方程组的正确解是．16．（2023春•拱墅区校级期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．【分析】利用换元法解方程组即可．【解答】解：令m＝，n＝，原方程组可化为：，①+②得，2m＝，即m＝，②﹣①得，2n＝﹣，即n＝﹣，∴，∴原方程组的解为．题型三二元一次方程（组）的实际应用【例1】．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5xg，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．【解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为xg，∴碳水化合物含量是1.5xg．根据题意得：1.5x+x+y＝30，∴x+y＝30．故选：A．【例2】．（2022春•临邑县期末）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37 B．27 C．23 D．20【分析】根据题意得出关于a和b的二元一次方程，然后用b表示出a，继而用b表示出a+b，然后可以利用函数的思想得出a+b取得最值的条件，即能得出答案．【解答】解：由题意得，5a+19b＝213，∴a＝，∴a+b＝+b＝，∵a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小，∴当b最小时，a+b取最大值，又∵a，b是正整数，∴当b＝2时，a+b的最大值＝37．解法二：由题意得，5a+19b＝213，又a，b是正整数，∴，，∴当b＝2时，a+b的最大值＝37．故选：A．【例3】．（2023•大庆模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，∴3（y﹣2）＝x；∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，∴x＝2y+9．∴可列方程组为．故选：C．【例4】．（2023春•吴兴区校级期末）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（）A． B． C． D．【分析】根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可．【解答】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，40分钟＝小时，30分钟＝小时，可列出方程组为．故选：A．【例5】．（2023春•镇安县期末）“五一”长假前某学校举行了一年一度的文化艺术节，为表彰校“古诗词吟诵社团”的同学，特购买了单价为5元的笔记本和单价为4元的签字笔对他们进行奖励，正好花费64元（两种都要买），则购买的方案共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【分析】设购买笔记本x本，签字笔y支，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【解答】解：设购买笔记本x本，签字笔y支，依题意得：5x+4y＝64，∴y＝16﹣x．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴有3种购买方案．故选：B．【例6】．（2023春•平桥区期末）如图，利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【分析】设长方体木块的长为xcm，宽为ycm，长方体物品的高为acm，由图中数据建立方程组求出其解即可得出结论．【解答】解：设长方体木块的长为xcm，宽为ycm，长方体物品的高为acm，由题意得：，两式相加得：2a＝150，解得：a＝75，故选：C．【例7】．（2023•路南区二模）设“●”“■”“▲”分别表示不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图列出方程组解答即可解决问题．【解答】解：设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图（1）（2）可知，，解得x＝2y，z＝3y，所以x+z＝2y+3y＝5y，即“■”的个数为5．故选：A．【例8】．（2023春•东阳市期中）几个人打算合买一件物品．每人出12元，还少3元；每人出13元，就多12元，则总人数有（）A．12人 B．13人 C．15人 D．16人【分析】设总人数为x人，买物品的总钱数为y元，由题意：每人出12元，还少3元；每人出13元，就多12元．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设总人数为x人，买物品的总钱数为y元，由题意得：，解得：，即总人数为15人．故选：C．【例9】．（2022•东平县一模）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是，则如图2表示的方程组是．【分析】观察图形，根据图中的算筹代表的含义，即可找出图2表示的方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：．故答案为：．【例10】．（2022秋•汝城县期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据“共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，（2）根据“商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品”，分别列出按照套装①和套装②购买所需付款，即可求得答案．【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据题意得：，解得：，答：篮球的单价是90元，排球的单价为60元，（2）按照套装①打折，买15个篮球和15个排球需付款：15×90×0.8+15×60×0.8＝1800（元），按照套装②打折，15个篮球需付款：15×90＝1350（元），13个排球需付款：13×60＝780（元），共需付款：1350+780﹣200＝1930（元），即按照套装①购买更划算，答：按照套装①购买更划算．【例11】．（2023秋•金凤区校级期末）素材若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．问题解决任务1问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？任务2在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？【分析】（任务1）设A款咖啡的销售单价是x元，B款咖啡的销售单价是y元，根据“买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；买25杯A型物啡，25杯B型咖啡需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（任务2）设购买m杯A款咖啡，n杯B款咖啡，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出共有4种购买方案．【解答】解：（任务1）设A款咖啡的销售单价是x元，B款咖啡的销售单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A款咖啡的销售单价是8元，B款咖啡的销售单价是10元；（任务2）设购买m杯A款咖啡，n杯B款咖啡，根据题意得：8m+10n＝200，∴n＝20﹣m，又∵m，n均为正整数，∴或或或，∴共有4种购买方案．【例12】．（2023春•康巴什期末）根据以下信息，探索完成任务：如何设计招聘方案？素材1某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．素材2调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．素材3工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元工资，每名新工人每月发1200元工资．问题解决任务一分析数量关系每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？任务二：确定可行方案如果工厂招聘n（0＜n＜5）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？任务三：选取最优方案在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人2名．（直接写出答案）【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，根据使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；（3）求出方案①和方案②的成本，即可得出结论．【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，由题意得：，解得：，答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，由题意得：12（4m+2n）＝240，整理得：n＝10﹣2m，∵m、n为正整数，且0＜n＜5，∴或，∴有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工3名，招聘新工人4名；②抽调熟练工4名，招聘新工人2名；（3）方案①中，发放工资为：3×2000+4×1200＝10800（元）；方案②中，发放工资为：4×2000+2×1200＝10400（元）；∵10400＜10800，∴为了节省成本，应该抽调熟练工4名，招聘新工人2名，故答案为：2．【例13】．（2023•望城区模拟）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意：专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论；（3）分别求出3种采购方案的利润，再比较即可．【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，由题意得：，解得，答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意得：150m+80n＝4500，整理得：m＝30﹣n，∵m、n为正整数，∴或或，∴专卖店共有3种采购方案；（3）当m＝22，n＝15时，利润为：22×（200﹣150）+15×（100﹣80）＝1400（元）；当m＝14，n＝30时，利润为：14×（200﹣150）+30×（100﹣80）＝1300（元）；当m＝6，n＝45时，利润为：6×（200﹣150）+45×（100﹣80）＝1200（元）；∵1200＜1300＜1400，∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元．【例14】．（2023春•瓯海区期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板5张，长方形纸板10张．（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及290＜a＜300，可找出a的所有可能值．【解答】解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板1+2×2＝5张，长方形纸板4+2×3＝10张，故答案为：5，10；（2）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据题意得：，解得：，∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，由题意得：，化简得：，∵290＜a＜300，且a、m为整数，∴，即18.8＜m＜22.8，∴满足题意的m有19，20，21，22，∴使为整数的m取值是：20，22，∴a的所有可能值是：293，298．巩固训练：1．（2023•隆安县一模）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（）A． B． C． D．【分析】根据本题中的相等关系（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，列方程组即可．【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得．故选：C．2．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴．∴所列方程组为．故选：B．3．（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x只，兔y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为2x+4y＝94．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为2x+4y＝94．故答案为：2x+4y＝94．4．（2023春•黄梅县期末）如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（）A．143 B．99 C．44 D．53【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：，解得：，小长方形的面积为5×2＝10，大长方形的面积为AB×BC＝（3y+x）（x+4y）＝11×13＝143，空白部分面积为143﹣9×10＝53，故选：D．5．（2023春•绍兴期中）甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多，如果甲先做30个，乙再开始做，4天后乙反比甲多做10个．甲，乙两人每天分别做多少个？设甲，每天做x个，乙每天做y个，列出的方程组是．【