《计算机图形学》课件 7.1 自然景物模拟与分形艺术-分形几何的发展历程

分形几何的发展历程自然景物模拟自然界里的形体大多是不规则、不光滑、不可微的自然景物和自然现象的模拟计算机图形学中最具挑战性的问题之一分形几何vs欧氏几何欧氏几何使用方程

描述有平滑的表面和规则形状的物体分形几何使用过程

对具有不规则几何形态的物体（如自然景物）建模欧氏几何2000年历史规则和光滑物体平面几何、解析几何、微分几何、代数几何人工制品如桌、椅数据模型分形几何200年历史不规则、不光滑曲线、曲面自然景物如山、云过程模型分形理论非线性科学中最重要的三个概念分形(Fractal)混沌(chaos)孤子(soliton)，也称“孤波”(solitarywave)分形理论本质是一种新的世界观和方法论揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一在极端有序与真正混沌之间提供了一种中间可能性分形的产生第一个分形例子文艺复兴时期德国著名画家丢勒(AlbertDurer，1471-1528)D=log5/log(3+SQRT(5)/2)=1.672丢勒正五边形分形的产生微积分研究领域可微的函数必定连续，但连续函数未必可微一个流行的观念：连续函数的不可导的点集在某种意义上很小，但事实上并非如此1860年，瑞士数学家C.Cellerer(1818-1889)这个流行的观念是错误的并给出了一个类似于Weierstrass函数的反例1970年有人证明，Cellerer函数不同于Weierstrass函数，它们不是处处不可微的，在某些点上它们是有导数的分形的产生一个真正的处处连续、但处处不可微的函数1872年，德国数学家K.T.W.Weierstrass(1815-1897)向柏林科学院报告了数学分析学中的一个反例三角函数级数，即著名的具有分形性质的Weierstrass函数直到1875年才由E.duBois-Reymond正式发表分形的产生1883年，德国的数学家G.F.P.Cantor(1845-1918)构造了三分集每次迭代将线段三等份，去掉线段中间的1/3，最后剩下的就是Cantorset这是分形几何学的最典型、最简单的模型为了显示方便，无宽度的［0,1］，线段在这里故意用一矩形框表示Cantor三分集的生成过程D=log2/log3=0.6309

分形的产生1890年，意大利数学家G.Peano构造了一种奇怪的曲线能通过正方形内的所有点，有面积分形的产生1891年，德国数学家D.Hilbert也构造了一种性质相同的曲线按一定顺序相继穿过每一个小正方形的“中位线”。D=log4/log2=2.0分形的产生Hilbert曲线和Peano曲线的相同性质能够填充空间十分曲折，连续但不可导具有自相似性分形几何兴起以后由反例跃居为主角这类曲线现在统称为Peano曲线分形的产生1906年，瑞典数学家H.VonKoch在研究构造连续而不可微函数时，构造了Koch曲线周长无穷，但面积为定值（0）构造方法演示分形的产生周长无穷，但面积为定值构造方法VonkochsnowflakeD=log4/log3=1.2618分形的产生1915-1916年，波兰数学家W.Sierpinski(1882-1969)构造了Sierpinski曲线、海绵、墓垛。Sierpinski地毯是平面万有曲线Sierpinski海绵是空间万有曲线奥地利数学家K.Menger证明，任何曲线都可嵌入Sierpinski地毯中SierpinskicarpetSierpinskigasket1967年，B.B.Mandelbrot

（1924-2010）在美国《科学》杂志上发表题为《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分形维数》的论文答案：海岸线的长度不是与尺度无关的不变量，海岸线的长度依赖于测量单位的长度分形几何学的诞生研究发现了一个很重要而有趣的性质自相似性反映了从宏观尺度到微观尺度上事物在结构、形状和变化规律等方面的相似性创立了分形几何理论，被誉为现代分形理论的奠基人B.B.Mandelbrot的主要贡献揭示了众多现象的自相似性在非线性中找到了一个重要不变量—分数维数分形几何学的诞生分形几何学的诞生1975年，出版法文专著《分形：形、机遇与维数》1977年，出版英译本《Fractals:Form,Chance,andDimension》1982年，出版增补本，改名为《TheFractalgeometryofnature》分形几何学的诞生Fractal的由来由拉丁词fractus（词根含义：