《计算机图形学》课件 7.2自然景物模拟与分形艺术-分数维数和分形

分形维数和分形整数维数欧氏几何学描述的都是整数维的对象点是零维的线是一维的面是二维的体是三维的拓扑维数在拓扑变换下，对象的维数不变只能取整数，表示描述一个对象所需的独立变量个数在一维直线上确定一个点用一个坐标在二维平面上确定一个点用两个坐标在三维空间中确定一个点用三个坐标分形维数维数可以是分数，且为度量维数物体粗糙性或细碎性的度量Hausdorff维数1919年，德国数学家F.Hausdorff推广了维数的概念为维数的非整化提供了理论基础分形维数整数维数分数维数拓扑维数度量维数从测量的角度来定义例如：看一个毛线团远看是一个0维的点在银河系外的宇宙空间看地球近看是三维的球进入太阳系后，乘航天飞机在太空中沿地球轨道飞行贴近其表面看是二维球面，甚至是二维平面站在旷野上环顾左右对象的维数是可变的，与测量尺度密切相关度量维数从测量的角度重新理解维数概念精确描述世界中的现象要有度量“尺度”的观念“夫尺有所短，寸有所长”（《楚辞·卜居》）事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺度去测量对于一个有确切维数的几何体若用与其维数相同的“尺度”去度量，可得到确切数值若用低于其维数的“尺度”去度量，结果为无穷大若用高于其维数的“尺度”去度量，结果就为零度量维数一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)？得到3个原始对象：

L3L分形维数的计算一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)？得到3个原始对象：二维平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍得到9个原始对象：分形维数的计算

分形维数的计算

一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)？得到3个原始对象：二维平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍得到9个原始对象：三维空间上的正方体V，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍得到27个原始对象：

放大倍数为3时一维情况下，可得到3个原始对象：二维情况下，可得到9个原始对象：三维情况下，可得到27个原始对象：若放大倍数为b，则得到的总的原始对象个数为：分形维数的计算幂指数（幂律）关系N

b

D

从放大的角度若放大倍数为b，得到的总的原始对象个数为：从细分的角度对给定的对象，用小单元块r填充，填满所需的细分单元数为r越小，所需的N越所；r越大，所需的N就越少r为细分时的缩放因子，相当于测量尺度分形维数的计算幂指数（幂律）关系N

(1/r)

D幂指数（幂律）关系N

b

D

分数维D的计算为：‌分形维数的计算log(1/r)log(b)logN1110100100010100幂指数（幂律）关系N

(1/r)

D双对数坐标系下为线性关系幂指数（幂律）关系N

b

D以Koch曲线为例细分线段数为N=4，细分单元长度为r=1/3Koch曲线的分数维为：D=ln4/ln3=1.2619而按照欧氏几何方法将一条线段4等分则N=4，r=1/4，因此有D=1分形维数的计算一般来说，二维空间中的分形曲线维数介于1和2之间三维空间中的分形曲线维数在2和3之间。对于实际的自然景物，常使用盒维数（计盒维数）方法核心思想：盒子计数(Box-counting)法（1）用边长为ɛ的正方形（或立方体）网格覆盖目标对象（2）统计覆盖整个对象所需的最小盒子数量N(ɛ)（3）逐渐减小盒子尺寸ɛ，重复上述过程分形维数的计算对于实际的自然景物，常使用盒维数（计盒维数）方法核心思想：盒子计数(Box-counting)法分形维数的计算（1）用边长为ɛ的正方形（或立方体）网格覆盖目标对象（2）统计覆盖整个对象所需的最小盒子数量N(ɛ)（3）逐渐减小盒子尺寸ɛ，重复上述过程

对于实际的自然景物，常使用盒维数（计盒维数）方法核心思想：盒子计数(Box-counting)法分形维数的计算将测量结果在“双对数”坐标系中绘制出来，会得到一条直线此直线斜率的绝对值就是对象的盒维数分形维数的计算关于分数维的计算，可用下面的打油诗来描述：山重水复疑无路，分数维数新测度。幂律关系显结构，标度变换双对数。分形维数的定义不同定义的分数维概念盒维数（Box-countingDimension）容量维（CapacityDimension）信息维（InformationDimension）关联维（CorrelationDimension）‌谱维数（SpectralDimension）‌‌填充维（PackingDimension）从不同角度描述了分形图形的不规则性、复杂或粗糙程度什么是分形？Mandelbrot开始时Hausdorff维数不是整数的集合称为分形但该定义将某些显然为分形的集合排除在外例如，Peano曲线是分形曲线，但Hausdorff维数为2，是整数后来修改为将具有自相似性的集合称为分形至今无统一定义，比较合理、普遍被人接受的定义定义具有如下性质的集合F为分形F具有精细的结构，有任意小比例的细节F是如此地不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述F通常有某种自相似的性质，这种自相似性可以是近似的或者是统计意义下的一般地，F的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数在大多数令人感兴趣的情形下，F通常能以非常简单的方法定义，由迭代过程产生什么是分形？