2026年应用时间序列分析习题答案解析

2026年应用时间序列分析习题答案解析习题1：平稳性检验与自相关分析已知某地区2010-2025年季度GDP增长率序列（记为序列{y_t}），样本量n=60。要求：（1）判断该序列是否平稳；（2）计算前12阶自相关系数（ACF）与偏自相关系数（PACF），并分析其统计特征。解答：（1）平稳性判断需结合图形分析、ADF检验及自相关函数特性。首先绘制序列时序图，若序列均值随时间明显变化（如上升或下降趋势）或方差显著扩张/收缩，则可能非平稳。假设观察到{y_t}的时序图呈现围绕2.5%上下波动的特征，无明显趋势或方差变化，初步推测可能平稳。进一步进行ADF单位根检验。ADF检验的原假设H₀：序列存在单位根（非平稳），备择假设H₁：序列平稳。设定检验方程为Δy_t=α+βt+γy_{t-1}+Σδ_iΔy_{t-i}+ε_t（包含截距和趋势项），滞后阶数p根据AIC准则确定（假设p=2）。计算得ADF统计量为-3.85，1%显著性水平下临界值为-3.96（MacKinnon临界值），5%临界值为-3.37。由于-3.85>-3.96但小于-3.37，拒绝H₀（在5%水平下），说明序列不存在单位根，为平稳序列。（2）计算前12阶ACF与PACF。ACF计算公式为ρ_k=γ_k/γ₀，其中γ_k为k阶自协方差；PACF通过Yule-Walker方程递推计算，或使用回归法估计。假设计算结果如下：ACF：ρ₁=0.62，ρ₂=0.45，ρ₃=0.31，ρ₄=0.18，ρ₅=0.09，ρ₆=-0.02，ρ₇=-0.05，ρ₈=-0.03，ρ₉=0.01，ρ₁₀=0.04，ρ₁₁=0.06，ρ₁₂=0.07。PACF：φ₁₁=0.62，φ₂₂=0.15（k=2时PACF），φ₃₃=0.08（k=3时），k≥4时PACF绝对值均小于0.05（接近0）。统计特征分析：ACF呈现缓慢衰减（拖尾），PACF在k=1后截尾（k≥2时PACF不显著），符合AR(1)模型的典型特征（AR(p)模型PACF在p阶截尾，ACF拖尾）。结合平稳性结论，序列可初步建模为AR(1)过程。习题2：ARIMA模型构建与预测使用习题1中的GDP增长率序列{y_t}，要求：（1）确定ARIMA(p,d,q)模型阶数；（2）估计模型参数；（3）对2026年1-4季度增长率进行预测（保留2位小数）。解答：（1）阶数确定需先判断差分次数d。由于习题1已验证{y_t}平稳，d=0，模型为ARMA(p,q)。观察ACF与PACF：PACF在k=1显著（φ₁₁=0.62），k≥2不显著；ACF拖尾。根据ARMA模型识别规则，PACF截尾于1阶，ACF拖尾，应选择AR(1)模型（p=1，q=0）。为验证是否存在MA成分，计算不同(p,q)组合的AIC/BIC准则。假设尝试AR(1)、AR(2)、MA(1)、ARMA(1,1)：AR(1)：AIC=-2.15，BIC=-2.08AR(2)：AIC=-2.12，BIC=-2.01MA(1)：AIC=-1.98，BIC=-1.91ARMA(1,1)：AIC=-2.13，BIC=-2.02AR(1)的AIC/BIC最小，故选择AR(1)模型，即ARIMA(1,0,0)。（2）参数估计采用极大似然法（ML）。AR(1)模型形式为y_t=c+φ₁y_{t-1}+ε_t，ε_t~WN(0,σ²)。假设估计结果为：常数项c=0.02（t值=2.15，p=0.03）自回归系数φ₁=0.58（t值=5.23，p<0.01）残差标准差σ=0.85参数均显著（p<0.05），模型拟合良好。（3）预测2026年1-4季度增长率。AR(1)模型的递推预测公式为：第T+1期预测：ŷ_{T+1}=c+φ₁y_T第T+2期预测：ŷ_{T+2}=c+φ₁ŷ_{T+1}=c(1+φ₁)+φ₁²y_T以此类推，第T+k期预测：ŷ_{T+k}=c(1+φ₁+…+φ₁^{k-1})+φ₁^ky_T假设样本最后一期（2025年4季度）y_T=2.8%，则：2026年1季度（T+1）：ŷ=0.02+0.58×2.8=0.02+1.624=1.64%2026年2季度（T+2）：ŷ=0.02+0.58×1.64≈0.02+0.951=0.97%2026年3季度（T+3）：ŷ=0.02+0.58×0.97≈0.02+0.563=0.58%2026年4季度（T+4）：ŷ=0.02+0.58×0.58≈0.02+0.336=0.35%习题3：GARCH模型应用某股票日收益率序列{r_t}（n=500）存在波动率聚类现象，要求：（1）检验是否存在ARCH效应；（2）构建GARCH模型并解释参数意义；（3）计算下一日的条件波动率。解答：（1）ARCH效应检验采用ARCH-LM检验。步骤如下：①估计均值方程（假设为白噪声模型r_t=ε_t），得到残差ê_t；②对残差平方序列ê_t²进行回归：ê_t²=α₀+α₁ê_{t-1}²+…+α_pê_{t-p}²+v_t（p=5）；③计算F统计量或LM统计量（LM=n×R²）。假设n=500，R²=0.12，则LM=500×0.12=60。自由度p=5，χ²(5)分布在1%显著性水平下临界值为15.09，LM=60>15.09，拒绝原假设（无ARCH效应），存在显著ARCH效应。（2）构建GARCH(1,1)模型（最常用），形式为：均值方程：r_t=μ+ε_t（μ为均值，假设μ=0.001）方差方程：σ_t²=ω+α₁ε_{t-1}²+β₁σ_{t-1}²使用极大似然法估计参数，假设结果为：ω=0.0002（t值=2.31，p=0.02）α₁=0.18（t值=4.25，p<0.01）β₁=0.75（t值=8.12，p<0.01）参数意义：α₁为ARCH项系数，反映过去残差平方对当前波动率的影响；β₁为GARCH项系数，反映过去条件方差对当前波动率的影响。α₁+β₁=0.93<1（但接近1），说明波动率具有高持续性（冲击衰减缓慢），但模型平稳（若α₁+β₁≥1则非平稳）。（3）计算下一日（t+1）的条件波动率σ_{t+1}²。假设第t日残差ε_t=0.02（即收益率为2%），第t日条件方差σ_t²=0.0005，则：σ_{t+1}²=0.0002+0.18×(0.02)²+0.75×0.0005=0.0002+0.18×0.0004+0.000375=0.0002+0.000072+0.000375=0.000647因此，下一日条件波动率为√0.000647≈0.0254（即2.54%）。习题4：协整检验与误差修正模型（ECM）已知2010-2025年季度数据：工业增加值增长率x_t与用电量增长率z_t（n=60），要求：（1）检验x_t与z_t的单整阶数；（2）检验两者是否存在协整关系；（3）建立误差修正模型并解释其经济意义。解答：（1）单整阶数检验采用ADF检验。对x_t和z_t分别进行水平值（I(0)）和一阶差分（I(1)）检验：x_t水平值ADF统计量=-1.82（5%临界值-2.89），不拒绝单位根；一阶差分Δx_t的ADF统计量=-4.15（5%临界值-2.89），拒绝单位根，故x_t~I(1)。z_t水平值ADF统计量=-1.67（5%临界值-2.89），不拒绝单位根；一阶差分Δz_t的ADF统计量=-3.98（5%临界值-2.89），拒绝单位根，故z_t~I(1)。（2）协整检验采用Engle-Granger两步法：①估计协整回归方程：z_t=α+βx_t+u_t，得到残差û_t；②对û_t进行ADF检验（无截距和趋势项），原假设H₀：û_t非平稳（无协整）。假设ADF统计量=-3.42，5%临界值-2.89（协整检验临界值比普通ADF更严格，MacKinnon临界值约为-3.34），-3.42<-3.34，拒绝H₀，存在协整关系，协整向量为(1,-β)。假设协整回归结果为：z_t=0.5+0.8x_t+u_t（R²=0.85，D-W=1.92），说明长期均衡关系为z_t=0.5+0.8x_t（工业增加值每增长1%，用电量增长0.8%）。（3）建立误差修正模型（ECM），形式为：Δz_t=γ₀+γ₁Δx_t+λû_{t-1}+ε_t其中û_{t-1}=z_{t-1}0.50.8x_{t-1}为误差修正项，λ为调整系数（应显著且负）。假设估计结果为：Δz_t=0.02+