2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行

第一章

空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行

(教师独具内容)课程标准：1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理．教学重点：1.用待定系数法求平面的法向量.2.用法向量证明平行关系．教学难点：1.求平面的法向量.2.空间向量在解决立体几何平行问题中的应用．核心素养：1.通过直线的方向向量和平面的法向量的求解，提升数学运算素养.2.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的平行问题，把几何问题转化为代数问题，提升数学运算、逻辑推理及直观想象素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握ta直线的方向向量xa＋yb(3)空间中任意平面由__________及_______________唯一确定．(4)如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，称_______为_______的法向量．给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为________的平面完全确定，可以表示为集合____________．[提醒]

(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．空间一点两个不共线向量向量a平面α法向量知识点四空间中平行关系的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．[提醒]

(1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合．(2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内．(3)证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．线线平行l1∥l2⇔________⇔________________________________________________线面平行若l1⊄α，则l1∥α⇔________⇔_________面面平行α∥β⇔________⇔______________________u1∥u2∃λ∈R，使得u1＝λu2u1⊥n1u1·n1＝0n1∥n2∃λ∈R，使得n1＝λn21．(空间中线面平行的向量表示)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(

)A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)2．(空间中直线的向量表示)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是______________________．3．(空间中面面平行的向量表示)已知平面α的一个法向量为(1，3，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝____．(2，4，6)(答案不唯一)4核心素养形成题型一求直线的方向向量和平面的法向量

(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(

)A．(2，2，6) B．(1，1，3)C．(3，1，1) D．(－3，0，1)【感悟提升】

(1)求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．(2)利用待定系数法求平面法向量的步骤－2题型二利用空间向量证明线线平行

长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.【感悟提升】

向量法证明线线平行的两种思路题型三利用空间向量证明线面、面面平行

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【感悟提升】

1．利用空间向量证明线面平行的三种方法(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行问题的两种方法(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．【跟踪训练】

3.在多面体ABCDE－A1B1C1D1中，已知AB⊥AE，AE∥BC，AB∥ED，AA1⊥底面ABCDE，四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面，AB∥A1B1，D1E，B1B的中点分别为F，G，AB＝AE＝2DE＝2BC＝4，AA1＝1.证明：FG∥平面C1CD.证明：过点E作AA1的平行线，由题意可知以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(4，4，0)，C(4，2，0)，D(2，0，0)，B1(2，4，1)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)．题型四平行关系中的探究性问题

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?【感悟提升】

探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．解：存在，当E为PD的中点时，CE∥平面PAB.由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．∵PB与底面ABCD所成的角为45°，即∠PBA＝45°，∴AB＝PA＝1，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．随堂水平达标2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是(

)A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2)B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)3．已知直线l的一个方向向量为a＝(－3，2，5)，平面α的一个法向量为b＝(1，x，－1)，若l∥α，则x＝_____．解析：因为l∥α，所以a⊥b，a·b＝0，即－3×1＋2x＋5×(－1)＝0，得x＝4.44．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________．x＋2y－3z＝0课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号1234567难度★★★★★★★★考点根据面面平行求法向量根据线面平行求参数判断直线与平面的位置关系平面的法向量的应用求平面的法向量利用空间向量判断线线、线面位置关系利用空间向量判断面面平行题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点直线的方向向量、平面的法向量、平面内点的坐标表示平面的法向量的应用利用空间向量判断线线平行利用空间向量判断线面、面面位置关系根据线面平行求参数利用空间向量证明面面平行利用空间向量探索线面平行一、选择题1．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1，1)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是(

)A．(1，1，1) B．(－1，1，－1)C．(－1，－1，－1) D．(1，1，－1)解析：∵(－1，1，－1)＝－n，∴(－1，1，－1)是平面β的一个法向量．4．已知点A(2，－1，2)在平面α内，平面α的一个法向量为n＝(4，1，2)，则下列各点在平面α内的是(

)A．(－2，1，－2) B．(1，2，3)C．(3，1，－1) D．(2，－1，3)6.(多选)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，AD，AA1的中点，则下列说法错误的是(

)A．D1F⊥B1C B．FG∥D1EC．FG⊥平面AD1E D．BF∥平面AD1E二、填空题7．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是______．平行8．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为_______________________，点P的坐标满足的条件为_____________．(1，1，1)(答案不唯一)x＋y＋z＝3三、解答题10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．513．如图1，已知直角梯形CDEF中，CF∥DE，DE⊥EF，CF＝2DE＝2EF＝4，M为CF的中点，将△CDM