2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直

第一章

空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直

(教师独具内容)课程标准：1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理．教学重点：利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．教学难点：1.明确直线与平面垂直的本质是直线的方向向量与平面的法向量平行.2.明确两平面垂直的本质是两平面的法向量垂直．核心素养：通过利用向量方法解决空间中直线、平面的垂直问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升数学运算、逻辑推理及直观想象素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点空间中垂直关系的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2.[提醒]

证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直．线线垂直l1⊥l2⇔________⇔___________线面垂直l1⊥α⇔________⇔______________________面面垂直α⊥β⇔________⇔___________u1⊥u2u1·u2＝0u1∥n1∃λ∈R，使得u1＝λn1n1⊥n2n1·n2＝02．(线面垂直)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则能使l⊥α的是(

)A．m＝(0，2，1)，n＝(－1，0，1)B．m＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．m＝(1，2，0)，n＝(－2，－4，0)D．m＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)3．(面面垂直)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为____．5核心素养形成【感悟提升】

向量法证明线线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．【跟踪训练】

1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.题型二利用向量法证明线面垂直

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【感悟提升】

向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．题型三利用向量法证明面面垂直

在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.【感悟提升】

证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．【跟踪训练】

4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点．(1)在B1B上是否存在一点P，使得D1P⊥平面B1AE?(2)在平面AA1B1B内是否存在一点N，使得D1N⊥平面B1AE?随堂水平达标1．已知平面α，β的法向量分别是a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)．若α⊥β，则m＝(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：∵平面α，β的法向量分别是a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)，且α⊥β，∴a·b＝－2＋2－2m＝0，解得m＝0.故选A.2．已知直线l的一个方向向量为a＝(1，2，m)，平面α的一个法向量为b＝(2，n，2)，若l⊥α，则m＋n＝(

)A．－1 B．0C．2 D．53.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO与AM的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号1234567难度★★★★★★★★考点利用空间向量判断线面垂直利用空间向量判断线线、线面、面面位置关系根据线线垂直、线面垂直求向量坐标根据线线垂直求线段长利用空间向量判断面面垂直利用空间向量判断线线垂直、线面垂直利用空间向量判断面面垂直题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点利用空间向量判断线线垂直根据线面垂直求线段长利用空间向量证明线线垂直；根据线面垂直求点的坐标利用空间向量判断线线、面面垂直利用空间向量判断线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直利用空间向量证明线面垂直利用空间向量证明线面垂直；利用面面垂直求线段长度的比值2．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(

)A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2B．直线l的一个方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥αC．平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥βD．直线l的一个方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α6．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论一定成立的是(

)A．EF⊥AA1B．EF⊥平面BDD1B1C．AE⊥CFD．AC∥平面BEF二、填空题7．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有____对．解析：∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．0是9.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是棱BB1的中点，P是平面D1C1CD内一点，且AP⊥平面A1DE，则EP＝____．三、解答题10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为B1B，CD的中点，有以下命题：①MN∥平面A1BD；②MN⊥CD1；③平面A1MN⊥平面A1AC，则正确命题的序号为________．①②13.已知正三棱台ABC－A1B1C1中，AA1＝1，BC＝2B1C1＝2，D，E分别为AA1，B1C1的中点．求证：DE⊥平面BCC1B1.解：(1)证明：∵