2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题

第一章

空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题

(教师独具内容)课程标准：1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.2.能用向量方法解决简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．教学重点：利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角问题．教学难点：将夹角问题转化为空间向量问题．核心素养：通过学习利用空间向量求三种空间角的大小或其三角函数值，实现几何问题代数化，在此过程中提升数学运算及直观想象素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一空间角及向量求法(1)异面直线所成的角的向量求法若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝___________＝_______＝______．注意：异面直线所成的角的取值范围是________．(2)直线与平面所成的角的向量求法直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝_______＝______．注意：直线与平面所成的角的取值范围是________．|cos〈u，v〉||cos〈u，n〉|[想一想]设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？不大于90°|cos〈n1，n2〉|知识点二用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题．(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．1．(平面与平面的夹角)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角为_____．2．(直线与平面所成的角)设直线a的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为______．3．(异面直线所成的角)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意一点，则直线BM与OP所成角的大小为____.45°核心素养形成题型一利用空间向量求异面直线所成的角

在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．解

解法一：取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，又AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系，如图所示．【跟踪训练】

1.如图，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．[条件探究]本例中增加条件“E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点”，求B1F与平面GEF所成角的正弦值．【跟踪训练】

2.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值．【跟踪训练】

3.(2025·新课标Ⅱ卷，17)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明：A′B∥平面CD′F；(2)求平面BCD′与平面EFD′A′所成的二面角的正弦值．解：(1)证明：因为AB∥CD，所以AE∥DF，所以A′E∥D′F，因为D′F⊂平面CD′F，A′E⊄平面CD′F，所以A′E∥平面CD′F.因为FC∥EB，FC⊂平面CD′F，EB⊄平面CD′F，所以EB∥平面CD′F，又EB∩A′E＝E，EB，A′E⊂平面A′EB，所以平面A′EB∥平面CD′F，又A′B⊂平面A′EB，所以A′B∥平面CD′F.(2)因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB，又因为AB∥FC，EF∥AD，所以EF⊥FC，以F为原点，FE，FC所在直线以及垂直于平面EFCB的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为D′F⊥EF，CF⊥EF，平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°，所以∠D′FC＝60°.设AD＝1，所以AB＝3，CD＝2，因为F为CD的中点，所以DF＝FC＝1，则D′F＝DF＝1，题型四向量法的综合应用

如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【感悟提升】

向量法解决存在性问题的策略首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述解题策略，可使此类存在性难题变为常规问题．随堂水平达标2．已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，－1，0)，则这两个平面的夹角为(

)A．30° B．60°C．60°或120° D．120°课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点利用空间向量求平面与平面的夹角利用空间向量求异面直线所成的角已知直线与平面所成的角求其他量已知异面直线所成的角求其他量利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角利用空间向量求直线与平面所成的角题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点利用空间向量求空间角已知平面与平面的夹角求其他量利用空间向量求空间角；利用空间向量求点到平面的距离利用空间向量求异面直线所成的角和平面与平面的夹角利用空间向量解决直线与平面所成角的最值(范围)问题判断(证明)直线与平面平行；已知二面角求其他量证明直线与直线垂直；求直线与平面所成的角；已知平面与平面的夹角求其他量二、填空题7．如果平面的一条斜线与它在这个平面内的射影的方向向量分别是r1＝(1，0，－1)，r2＝(0，1，1)，那么这条斜线与这个平面所成角的大小为____．60°8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则直线A1D与EC所成角的余弦值为_______；平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为____．三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．(1)求直线AD与平面ACM所成角的余弦值；(2)求平面ACD与平面ACM夹角的余弦值；(3)求点P到平面ACM的距离．12.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.若PD＝AD＝1，Q为l上的点，则直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为______．解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，又AD