2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版2.3.2　 圆的一般方程

第二章

平面解析几何2.3圆及其方程2.3.2圆的一般方程课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程．教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点．教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题．核心素养：通过根据给定条件求圆的一般方程，并利用圆的一般方程解决问题提升数学抽象素养和数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一圆的一般方程(1)当_________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为_____________，半径为_______________．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点_____________．(3)当_______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．D2＋E2－4F>0D2＋E2－4F<0

[点拨]

(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要满足以下条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.(2)圆的标准方程和一般方程的相互转化知识点二点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：外上内1．(圆的一般方程的定义)若方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(

)A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]2．(点与圆的位置关系)已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是_____________．3．(过三点的圆的一般方程)已知A(0，0)，B(2，2)，C(4，2)，则△ABC外接圆的一般方程为___________________．x2＋y2－6x＋2y＝0核心素养形成题型一圆的一般方程的定义

例1判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能，求出圆心和半径．【跟踪训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，∴方程不表示任何图形．题型二求圆的一般方程

例2已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)Rt△ABC外接圆的一般方程．【感悟提升】待定系数法求圆的一般方程的步骤【跟踪训练】2．(1)已知A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求△ABC外接圆的一般方程．

(2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程．随堂水平达标3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(

)A．4，－6，3 B．－4，6，3C．－4，6，－3 D．4，－6，－3解析：以(－2，3)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，即x2＋y2＋4x－6y－3＝0，所以D＝4，E＝－6，F＝－3.故选D.4．圆x2＋y2＋2y＝1的圆心坐标为__________，半径为________．(0，－1)5．已知点P(－2，3)在圆C：x2＋y2－2x＋2y＋m＝0上，则实数m＝________，圆的半径r＝________．－235课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点已知直径两端点求圆的一般方程已知含参数的一般方程求半径圆外一点与圆上一点距离的最值已知圆上两点及圆心的位置求圆的一般方程已知圆的一般方程求圆心和半径；判断点与圆的位置关系已知方程表示圆求参数及圆心已知点与圆的位置关系求参数的取值范围题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点已知圆心位置和半径求圆的一般方程判断方程是否表示圆；求圆心和半径两点间距离公式；圆外一点与圆上一点距离的最值已知圆心和半径求圆的一般方程已知圆上两点及圆内接四边形的面积求圆的一般方程已知圆上三点求圆的一般方程；判断点与圆的位置关系已知方程表示圆求参数的取值范围；已知点与圆的位置关系求参数的取值范围一、选择题1．已知M(－2，0)，N(0，2)两点，则以线段MN为直径的圆的一般方程为(

)A．x2＋y2－2x＋2y＝0 B．x2＋y2＋2x－2y－6＝0C．x2＋y2＋4x－4y＝0 D．x2＋y2＋2x－2y＝04．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(

)A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝05．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(

)A．圆M的圆心坐标为(4，－3)B．圆M的半径为25C．点(2，－3)在圆M的内部D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0)解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0)，D正确．故选ACD.二、填空题6．已知某曲线的方程为x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，若方程表示的曲线是一个圆，则F＝________________(写出符合条件的一个值)，圆心坐标为___________．解析：x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，故2－F>0，即F<2，取F＝0满足条件，圆心坐标为(1，－1)．0(答案不唯一)(1，－1)7．若P(2，2)是圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0外的一点，则m的取值范围是________．(2，7)8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为__________________________．x2＋y2＋2x－4y＋3＝0三、解答题9．下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径：(1)2x2＋y2＋2x－y＝0；(2)x2＋y2＋2x＋4y＝0；(3)x2＋2x－y＋1＝0；(4)2x2＋2y2＋2x－4y＋1＝0；(5)x2＋y2－2x＋y＋2＝0.10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．11．(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形．若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(

)A．x2＋y2－2x－2y＋1＝0B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0C．x2＋y2＋2x＋2y＋1＝