高三文科数学一轮复习学案立体几何专题共6课时

引言立体几何是高中数学的重要组成部分，也是高考考查的重点内容之一。它不仅要求我们具备空间想象能力，还需要我们掌握严谨的逻辑推理和计算能力。一轮复习的目的在于夯实基础，构建知识网络，掌握基本方法。本专题将通过六个课时，帮助同学们系统梳理立体几何的核心知识点，提升解题技能，为后续复习打下坚实基础。希望同学们在复习过程中，不仅要记住定义、定理，更要理解其本质，多动手画图，多思考分析，真正做到融会贯通。---第一课时：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图学习目标1.理解并能识别常见空间几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征。2.掌握简单组合体的构成方式。3.能画出简单空间几何体的三视图，并能根据三视图想象出原几何体的形状。4.理解斜二测画法的基本原理，并能运用其画出简单空间几何体的直观图。知识梳理1.多面体与旋转体*多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。*棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。侧棱平行且相等，侧面是平行四边形。按底面边数可分为三棱柱、四棱柱等。*棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形（侧面）。正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心。*棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。*旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。这条定直线叫做旋转体的轴。*圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。*圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。*圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。也可看作由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转而成。*球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。球面上任意一点到球心的距离都相等，这个距离称为球的半径。2.三视图*正视图：从几何体的正前方观察得到的视图，反映几何体的高度和长度。*侧视图：从几何体的正左方观察得到的视图，反映几何体的高度和宽度。*俯视图：从几何体的正上方观察得到的视图，反映几何体的长度和宽度。*画法规则：长对正（正视图与俯视图的长相等）、高平齐（正视图与侧视图的高相等）、宽相等（侧视图与俯视图的宽相等）。3.直观图*斜二测画法：主要用于画水平放置的平面图形的直观图。*步骤：①在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴，两轴相交于点，且使（或）；②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。典例精析例1：下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形分析：本题主要考查棱柱的定义和结构特征。需要准确理解棱柱的概念，注意关键词。解答：对于A，B选项，棱柱的定义要求“其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，A选项缺少“公共边互相平行”，B选项“其余各面都是平行四边形”并不能保证侧棱平行，比如两个底面是平行四边形的斜棱柱拼接可能不满足，故A、B错误。对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，底面可能是菱形，不一定是正方形，故C错误。D选项符合棱柱的结构特征，正确。答案：D。例2：如图是一个几何体的三视图，试判断该几何体的形状，并画出其直观图。（此处应有三视图示意图，假设为一个正四棱锥的三视图：正视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形及其中心）分析：由俯视图是正方形，可知底面为正方形。正视图和侧视图均为等腰三角形，且顶点在底面的射影应在正方形中心，故可判断为正四棱锥。解答：该几何体是一个正四棱锥。其直观图的画法如下（简述）：①画水平放置的正方形底面的直观图（用斜二测画法）；②在正方形中心处向上作z'轴，截取相应高度作为顶点；③连接顶点与底面各顶点。巩固练习1.下列命题中正确的是（）A.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线2.画出底面边长为2，高为3的正三棱柱的三视图。3.用斜二测画法画一个棱长为4的正方体的直观图。---第二课时：空间几何体的表面积与体积学习目标1.掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积的计算公式，并能运用公式进行计算。2.掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的体积计算公式，并能运用公式进行计算。3.能解决与空间几何体表面积和体积相关的简单实际问题。知识梳理1.表面积*棱柱：表面积=侧面积+2×底面积。直棱柱的侧面积=底面周长×高。*棱锥：表面积=侧面积+底面积。正棱锥的侧面积=×底面周长×斜高。*棱台：表面积=侧面积+上底面积+下底面积。正棱台的侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×斜高。*圆柱：表面积=侧面积+2×底面积。侧面积=底面周长×高=2πrh（r为底面半径，h为高）。表面积=2πr(r+h)。*圆锥：表面积=侧面积+底面积。侧面积=×底面周长×母线长=πrl（r为底面半径，l为母线长）。表面积=πr(r+l)。*圆台：表面积=侧面积+上底面积+下底面积。侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×母线长=π(r1+r2)l（r1,r2分别为上下底面半径，l为母线长）。*球：表面积=4πR²（R为球的半径）。2.体积*棱柱：体积=底面积×高（V=Sh）。*棱锥：体积=×底面积×高（V=Sh）。*棱台：体积=×高×（上底面积+下底面积+）（V=h(S上+S下+)）。*圆柱：体积=底面积×高=πr²h。*圆锥：体积=×底面积×高=πr²h。*圆台：体积=×高×（上底面积+下底面积+）=πh(r1²+r2²+r1r2)。*球：体积=πR³。典例精析例1：一个正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，求其表面积和体积。分析：正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面。表面积为两个正三角形底面积加上三个矩形侧面积。体积为底面积乘以侧棱长。解答：底面正三角形的面积S底=×a×(a)=a²。侧面积S侧=3×a×b=3ab。故表面积S表=2×a²+3ab=a²+3ab。体积V=S底×b=a²b。例2：一个球的表面积是16π，求它的体积。分析：已知球的表面积，可先由表面积公式求出半径R，再代入体积公式。解答：由4πR²=16π，得R²=4，R=2。故体积V=πR³=π×8=π。例3：一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，求该圆台的侧面积和体积。分析：直接运用圆台的侧面积公式和体积公式。注意体积公式中高h需要利用母线长和上下底面半径差来计算。解答：侧面积S侧=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π。圆台的高h===。体积V=πh(r1²+r2²+r1r2)=π××(1+4+2)=π××7=π。巩固练习1.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，求其表面积和体积。2.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，求该圆柱的体积。3.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），求该几何体的表面积和体积。（此处应有三视图，假设为一个长方体上面放一个半圆柱）---第三课时：平面的基本性质与空间中的平行关系学习目标1.理解平面的基本性质（三个公理及其推论），能运用它们证明点、线、面的共面问题。2.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的定义。3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能运用它们进行推理论证。4.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能运用它们进行推理论证。知识梳理1.平面的基本性质*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（用来判断直线是否在平面内）*公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（确定平面的依据）*推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。*推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。*推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。*公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（用来判断两个平面相交及确定交线）2.空间中直线与直线的位置关系*共面直线：平行或相交。*异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。*平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）*等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。3.直线与平面平行*定义：直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行。*判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（简记为：线线平行⇒线面平行）*符号表示：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α。*性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（简记为：线面平行⇒线线平行）*符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b。4.平面与平面平行*定义：两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。*判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（简记为：线面平行⇒面面平行）*符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α⇒β∥α。*性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（简记为：面面平行⇒线线平行）*符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b。*性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（面面平行⇒线面平行）典例精析例1：已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c。此推理的依据是（）A.公理1B.公理2C.公理3D.公理4分析：本题考查对公理4（平行公理）的理解。解答：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是公理4的内容。答案：D。例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点。求证：EF∥平面BB1D1D。（此处应有正方体示意图，标出E、F点）分析：要证EF∥平面BB1D1D，根据线面平行的判定定理，需在平面BB1D1D内找到一条直线与EF平行。可考虑构造平行四边形或利用三角形中位线。解答：证明：取B1D1的中点O，连接OF，OB。在△C1D1B1中，O、F分别是B1D1、C1D1的中点，所以OF∥B1C1，且OF=B1C1。在正方体中，B1C1∥BC且B1C1=BC，E是BC的中点，所以BE=BC=B1C1=OF，且BE∥B1C1∥OF。所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO。又因为EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D。例3：已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，求证：a∥b或a与b异面。分析：利用面面平行的定义及空间直线位置关系进行分析。解答：证明：因为α∥β，所以α与β没有公共点。又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b没有公共点。因此，a与b的位置关系是平行或异面。巩固练习1.下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两条平行直线确定一个平面D.空间任意三点确定一个平面2.在空间四边形