高等数学（上册）-课件全套 张芳 第1-6章　预备知识 -定积分及其应用

代数与方程01不等式02三角函数03反三角函数04排列与组合05平面解析几何06参数方程与极坐标方程07复数简介0801代数与方程1.1.1代数式及其运算1.整式及其加减法与乘法定义1若干个字母与数相乘所得的式子称为单项式.若干个单项式之和的式子称为多项式.多项式中的单项式称为该多项式的项.单项式与多项式统称为整式.

例如：5，

-3ax

2z，bxyz3等都是单项式，3x+x2,5xy+(-3z),ax2+2abxy+by2等都多项式。

整式的加法、减法和乘法的结果仍是整式.加法和乘法满足交换律、结合律和分配律.减法是加法的逆运算，例如：5xy+(-3z)也可以写成5xy-3z.1.1.1代数式及其运算定义2如果两个整式经过整理后,除了次序外其他都相同,则称这两个整式相等.整式的乘积有下列常用公式:和的平方差的平方和与差之积和的立方差的立方立方和立方差n方差(1-1)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)(1-7)(1-8)1.1.1代数式及其运算例1计算解原式===1.1.1代数式及其运算2.因式分解定义3把某个整式化为若干个其他整式之积的运算称为因式分解.将公式(1-1)至公式(1-8)等号的左右两边反过来写,就是一组常用的因式分解公式.对于二次式的因式分解,除了可以用公式(1-1)至公式(1-3)之外,还可以用十字相乘法(或称因式分解法),如图1-1、图1-2所示.如果知道了方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2,则有因式分解公式1.1.1代数式及其运算例2把下列因式分解.解原式==(1)(2)(3)(4)(1)1.1.1代数式及其运算原式==(2)=原式==(3)1.1.1代数式及其运算原式==(4)=1.1.1代数式及其运算3.整式的除法定义4对于一个变量的多项式

,如果,则称其为n次多项式.只有常数项的单项式称为零次多项式.

如果该常数为零,即f(x)的所有系数均为0，则称其为零多项式，不规定次数，记作f(x)=0.

定理1

对任意两个实系数多项式f(x)和g(x)（g(x)不是零多项式），一定存在实系数多项式Q(x)和R(x),使得(1-9)

其中R(x)的次数小于g(x)的次数，或R(x)为零多项式.满足（1-9）式的Q(x)和R(x)是唯一的.

f(x)除以g(x)，得到的商式是Q(x)，余式是R(x).除法可以用下例所示的竖式进行，类似于多项式除法.1.1.1代数式及其运算例3求解用竖式做除法,有除以的商式和余式.得商式,余式1.1.1代数式及其运算定义5如果f(x)除以g(x),所得余式为零,即f(x)=Q(x)g(x)则称g(x)整除f(x).如果多项式h(x)整除多项式f(x),则h(x)是f(x)的一个因式.如果h(x)同时整除多项式f(x)和g(x),则h(x)是f(x)和g(x)的一个公因式.如果h(x)是f(x)和g(x)的一个公因式,而且f(x)和g(x)任意一个公因式都是h(x)的因式,则称h(x)是f(x)和g(x)的最大公因式.例如,和的最大公因式是1.1.1代数式及其运算定义6如果整式设f(x)和g(x)没有一次以上的公因式,即最大公因式是常数,则称f(x)和g(x)是互质的.和整数情形类似,可以有整式f(x)和g(x)的最小公倍式的概念.例如,上述f(x)和g(x)的最小公倍式是1.1.1代数式及其运算定义7设f(x)和g(x)是两个整式,形如(其中g(x)≠0）的式子称为分式或有理式,f(x)是分子，g(x)是分母.分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.如果,且,都不是零多项式,则有.反之亦然.如果g(x)整除f(x),则是一个整式,它就是f(x)除以g(x)的商式Q(x).如果h(x)为非零多项式,则有.4.分式1.1.1代数式及其运算例4把分式解

化为最简分式.类似于分数的加减法,分式的加减法通常是先通分,再将对应的分子做加、减运算.通分时,可取各分母的最小公倍式作分母.一般地,计算结果要化成最简分式.1.1.1代数式及其运算例5化简解原式===1.1.1代数式及其运算代数式叫作根式,常见的有二次根式和三次根式,根式中的被开方数a的取值范围与n有关.若n是奇数,则a可以为任意实数;若n是偶数,则a只能是非负数.

非负数的非负方根叫作算术根,因此不一定都是非负数.当a≥0时,才是算术根.(1)5.根式(2)n为奇数时,;n为偶数时,1.1.1代数式及其运算根式的运算性质:(1)(3)(m，n为大于1的自然数，当n为偶数时，a≥0，b≥0，且b做分母时(2)；不能为零).1.1.2方程1.一元一次方程及求解定义8用等号连接两个代数式的式子叫作等式.如果给等式中的未知数代入任何数值,等式都成立,这样的等式叫作恒等式.如果给等式中的未知数代入某些值,等式成立,而代入其他值,则等式不成立,这样的等式叫作条件等式.含有未知数的条件等式叫作方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合叫作方程的解集.求方程解集的过程叫作解方程.解集相同的方程称为同解方程,把方程变形为与它同解方程的过程叫作方程的同解变形.1.1.2方程方程的同解变形遵循如下原理;

(1)方程两边都加上(或都减去)同一个整式,所得方程与原方程同解.

(2)方程两边都乘(或都除)以同一个不为零的数,所得方程与原方程是同解方程.1.1.2方程例6解关于x的方程必须对参数m进行讨论.,其中m为常数.分析方程中未知数是x,而m是可以取不同的实数值的常数,因此不能简单地解出解将原方程变形为当m≠±1时,方程有唯一解;当m=-1时,方程无解;当m=1时,方程的解是一切实数.1.1.2方程2.一元二次方程及求解定义9形如几个常用结论:根的判别式当的方程叫作一元二次方程.当当时,方程没有实根.时,方程有两个不相等的实根;时,方程有两个相等的实根,即有一个二重根;1.1.2方程根与系数的关系(韦达定理)求解一元二次方程:(1)配方法1.1.2方程例7解方程解将原方程左边配方,有将原方程化为所以,解得两边开方得1.1.2方程(2)公式法对一元二次方程当根的判别式,当根的判别式时,方程求解公式为,在的情况下,,它们是方程的二重根.时,方程没有实根,有一对共轭复根,其中i是虚数单位.1.1.2方程例8解方程解将方程左边做因式分解,有(3)十字相乘法所以和都可使原方程成立.再分别解得02不等式不等式含有不等号()的式子叫作不等式.1.2.1不等式的性质设1.如果,则2.如果,3.如果,则4.如果,则5.如果,则6.如果,则7.如果,则8.如果,则,则,,,（）（）;如果,,则1.2.2不等式的解1.一元一次不等式只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式,叫作一元一次不等式.解一元一次不等式,就是求这个不等式的解集的过程.它的一般步骤与解一元一次方程类似,但一定要注意,当不等式两边都乘(或除)以同一个负数时,不等号的方向必须改变.2.一元一次不等式组几个一元一次不等式组成的不等式组,叫作一元一次不等式组.所有这些一元一次不等式的解集的公共部分,叫作一元一次不等式组的解集.两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况,可以归结为以下四种基本类型,见表1-11.2.2不等式的解类型（假设a<b）解

集数轴表示表1-11.2.2不等式的解3.一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫作一元二次不等式.一元二次不等式可以归结为以下两种基本类型:如果容易分解因式,可以将分解因式,然后化为一元一次不等式组求解.

一般的一元二次不等式则可利用一元二次方程ax²+bz+c=0与二次函数y=ax2+bx十c的有关性质求解,具体见表1-21.2.2不等式的解表1-2判别式

二次函数

的图像一元二次方程

的根有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根一元二次不等式解集R1.2.2不等式的解例1解不等式解解方程,解得,如图1-1所示.不等式的解为或,所以原不等式的解集为1.2.2不等式的解例2解不等式组解原不等式组可化为,解得,所以原不等式组的解集为

.03三角函数1.3.1三角函数的相关概念1.正角、负角和零角角可以看作是一条射线绕它的端点在平面内旋转而成的.射线的端点叫作角的顶点,旋转开始时的射线叫作角的始边,终止时的射线叫作角的终边.角的形成带有方向性,按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角,特别地,当射线没做任何旋转时,所形成的角叫作零角.1.3.1三角函数的相关概念2.终边相同的角所有与α角的终边相同的角,连同α角在内,有无限多个,可以用下式表示:于是与α终边相同的角的集合可记作1.3.1三角函数的相关概念3.角的度量

(1)角度制:圆周的所对的角叫作1度的角,记作1°,用度做量角单位.

(2)弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad,用弧度做量角单位.通常不写rad或中文“弧度”就表示用弧度制.规定正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,并且有其中,α为已知角的弧度数;l为以角α做圆心角所对的圆弧长;r为圆的半径.弧长公式.利用弧度来度量角可以使所有角与实数集之间建立一一对应的关系,因而在研究三角函数时十分方便,在高等数学中主要用角的弧度制.1.3.1三角函数的相关概念(3)角度与弧度之间的换算关系:(4)某些特殊的角度与弧度之间的对应关系见表1-3.度0°30°45°60°90°180°270°360°弧度0表1-31.3.1三角函数的相关概念4.任意角的三角函数

(1)定义1设α是一个任意大小的角,角的终边上任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离为(图1-2),那么α角的六个三角函数定义如下:正弦函数正切函数正割函数正弦函数正切函数正割函数1.3.1三角函数的相关概念(2)任意角的三角函数值的符号各个三角函数在各象限的正负值如图1-3所示,其中的数字表示终边在该半轴时对应角的三角函数值,∞表示该三角函数值不存在.1.3.1三角函数的相关概念(3)几个特殊角的三角函数值见表1-4.a0sina01cosa10tana01不存在表1-41.3.2同角三角函数的关系1.平方关系式2.商数关系式3.倒数关系式1.3.3三角函数的诱导公式设,对任意的,有如下诱导公式,见表1-5.角度函数sincostancot表1-51.3.3三角函数的诱导公式以上公式可用“函数同名称,符号看象限”来记忆.例如,求,先在后边写成同名的三角函数值sinα,再把α暂时看成锐角,观察到2kπ-α属于第四象限,正弦值为负,就在sinα前加一个负号,得诱导公式还有,,.由此可得到,的计算公式,例如1.3.4常用的三角函数公式1.两角和与差公式1.3.4常用的三角函数公式2.倍角公式1.3.4常用的三角函数公式3.和差化积公式1.3.4常用的三角函数公式4.积化和差公式1.3.4常用的三角函数公式5.万能公式;;1.3.4常用的三角函数公式例1已知,,求的值.解由,,得因为,所以α为第三象限角,因此1.3.5三角函数的图像和性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图像和性质见表1-6.表1-6函数图像定义域RR值域[-1,1][-1,1]R单调性递增区间（）（）（）递减区间（）（）奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性1.3.5三角函数的图像和性质函数与(其中)的周期为函数;函数.定义2当时,函数称为余切函数,记作,定义域为,值域为R.当时,函数称为正割函数,记作,定义域为,值域为.1.3.5三角函数的图像和性质当时,函数称为余割函数,记作,定义域为,值域为.余切函数,正割函数,余割函数的图像和性质见表1-7.表1-7函数图像1.3.5三角函数的图像和性质函数定义域值域R单调性递增区间（

）（

）递减区间

（

）（

）（

）奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性,,,,04反三角函数1.4.1反函数1.定义一般地,对于函数y=f(x),设它的定义域为D,值域为M,如果对M中的每一个元素y,都有D中唯一确定的元素x与之对应.即x是y的函数,并表示为x=g(y),则称x=g(y)是y=f(x)的反函数,也常用x

=f-1(y)来表示.一般地,我们常用y表示函数,x表示自变量,因此,函数y=f(x)的反函数常表示为y=f-1(x).反函数y=f-1(x)的定义域和值域分别是原函数y=f(x)的值域和定义域.1.4.1反函数2.性质对于函数y=f(x)及其反函数x

=f-1(x)有如下性质:(1)反函数的存在性对于函数对于函数通过

f(x)只能找到唯一的一个

x值与之对应,则

f(x)的反函数存在,否则不存在.(2)互为反函数的两个函数的图像的对称性互为反函数的两个函数y=f(x)及x

=f-1(x),在同一个平面直角坐标系内,其图像关于直线y=x对称.1.4.1反函数(3)互为反函数的两个函数的定义域与值域的交叉性(4)互为反函数的两个函数的单调性一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的.互为反函数的两个函数y=f(x)及x

=f-1(x),原来的函数的定义域是其反函数的值域,原来的函数的值域是其反函数的定义域.(5)互为反函数的两个函数的奇偶性若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.1.4.1反函数例1求下列函数的反函数.解

(1)

(2)

(3)

(1)由

(2)由

(3)由,所以的反函数是得,得,所以的反函数是,得,所以的反函数是1.4.2反三角函数概述由于三角函数是周期函数,一般地,对于x的值,y都在[-1,1]上上的每个值x有无穷多个值与之对应.因此,要定义其反函数,必须限制三角函数的定义域,要求定义域中的值和值域中的值能够一一对应.1.反正弦函数(1)定义函数的反函数叫作反正弦函数,记作,常记作.它的定义域是,值域是当时,;当时,1.4.2反三角函数概述例2求下列反三角函数值.

(1)

(2)

(3)解

(1)在上,因为,所以同理可得:(2)(3)1.4.2反三角函数概述(2)反正弦函数的图像和性质利用原函数与反函数的图像关于直线

y=x对称这一特点,我们可以得到反正弦函数的图像(图1-4)及其性质:①定义域:②值域：③奇偶性:奇函数.

④单调性:增函数.1.4.2反三角函数概述2.反余弦函数(1)定义函数的反函数叫作反余弦函数,记作,常记作它的定义域是,值域是当时,;当时,1.4.2反三角函数概述例３求下列反三角函数值.

(1)

(2)

(3)解

(1)在上,因为,所以同理可得:(2)(3)1.4.2反三角函数概述(2)反余弦函数的图像和性质利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称这一特点,我们可以得到反余弦函数的图像(图1-5)及其性质:①定义域:②值域：③奇偶性:非奇非偶函数.

④单调性:减函数.1.4.2反三角函数概述例4证明证明因为所以所以即1.4.2反三角函数概述3.反正切函数(1)定义函数的反函数叫作反正切函数,记作,常记作它的定义域是,值域是当时,;当时,1.4.2反三角函数概述例6求下列反三角函数值.

(1)

(2)

(3)解

(1)在上,因为,所以同理可得:(2)(3)1.4.2反三角函数概述(2)反正切函数的图像和性质利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称这一特点,我们可以得到反正切函数的图像(图1-7)及其性质:①定义域:②值域：③奇偶性:奇函数.

④单调性:增函数.1.4.2反三角函数概述例7已知tanx=7,求

x.解当时,又因为,所以1.4.2反三角函数概述4.反余切函数(1)定义函数的反函数叫作反余切函数,记作,常记作它的定义域是,值域是当时,;当时,1.4.2反三角函数概述例8求下列反三角函数值.

(1)

(2)

(3)解

(1)在上,因为,所以同理可得:(2)(3)1.4.2反三角函数概述(2)反余切函数的图像和性质利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称这一特点,我们可以得到反余切函数的图像(图1-8)及其性质:①定义域:②值域：③奇偶性:非奇非偶函数.

④单调性:减函数.1.4.2反三角函数概述例7求证:证明由诱导公式与反余切函数的定义得,因为变形得,即.因此,由反正切函数的定义,可得,所以即05排列与组合1.5.1两个基本原理1.分类计数原理(加法原理)做一件事,如果完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法,……,第n类办法中有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有(种)不同的方法.1.5.1两个基本原理2.分步计数原理(乘法原理)做一件事,如果完成它可以有n个步骤,做第一步办法中有m1种不同的方法,做第二类办法中有m2种不同的方法,……,第n类办法中有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有(种)不同的方法.1.5.1两个基本原理例1书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书,(1)从中任取一本,有多少种不同的取法?(2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法?解

(1)利用分类加法计数原理,可得6+5=11(种);

(2)利用分步乘法计数原理,可得6×5=30(种).分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事.分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.1.5.2排列组合的基本概念和性质1.排列从n

个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为其中,规定:1.5.2排列组合的基本概念和性质2.组合从n

个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合的个数记为规定:1.5.2排列组合的基本概念和性质3.排列与组合的关系(2)区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.(1)4.组合数性质(2)(1)(3)1.5.2排列组合的基本概念和性质例2某段铁路上有12个车站,请问:(1)共需准备多少种普通客票?(2)共有多少种不同的票价?解(1)车票是需要区分起点和终点的,所以有种客票.(2)两个车站无论谁是起点谁是终点,它们之间的票价是一样的,所以票价的种类是1.5.3二项式定理1.定理其中,右边的多项式称为二项展开式,它共有(n+1)项,各项的系数在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得公式称为二项式系数.式中称为二项展开式的通项,用表示.1.5.3二项式定理2.二项展开式的通项公式它是二项展开式的第(r+1)项.1.5.3二项式定理3.二项式系数的性质(2)二项式系数和:(1)对称性:(3)(4)最值①n

为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大,且为第项,二项式系数为①n

为奇数时,n+1为偶数,中间两项的二项式系数最大,且为第项及第项,其二项式系数分别为,且1.5.3二项式定理例3展开解1.5.3二项式定理例4求(x+a)12

的展开式中的倒数第4项.解

(x+a)12

的展开式共有13项,所以倒数第4项是它的第10项.展开式的第10项是06平面解析几何1.6.1直线1.直线的倾斜角和斜率

(1)一条直线向上的方向与x轴正方向所成的正角叫作这条直线的倾斜角.当直线平行于x轴时,规定它的倾斜角为0°.因此,倾斜角α的取值范围是

(2)一条直线的倾斜角α

的正切叫作这条直线的斜率,常用k

表示,即当α为锐角时,;当α为钝角时,;当时,k

值不存在;当α=0时,1.6.1直线2.直线方程的各种形式(1)几种特殊的直线方程平行于

轴的直线

轴平行于

轴的直线

轴经过原点（不包括

轴）的直线1.6.1直线(2)直线方程的各种形式见表1-8.名称已知条件方程说明斜截式斜率为

，在

轴的截距为

不包括

轴和平行于

轴的直线点斜式点

，斜率

不包括

轴和平行于

轴的直线两点式点

，点

不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式在

轴的截距为

，在

轴的截距为

不包括过原点和平行于坐标轴的直线一般式

不同时为零表1-81.6.1直线3.点到直线的距离点到直线的垂线段的长,叫作点到直线的距离.设点到直线的距离为d,则1.6.1直线4.两直线的位置关系已知两直线的方程分别为:(1)两直线平行或或,且或(均不为零).,且特别地,当或(均不为零)时,两条直线重合.(2)两直线垂直或1.6.1直线例1求分别过原点和点A(1,3)且距离等于

的两条平行线的方程.解设这两条平行直线的斜率是k,则过点A的直线方程为y-3=k(x-1),即因为原点到这条直线的距离解方程可得所求两条平行线的方程分别是或1.6.2圆锥曲线1.圆定义在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长是半径.(1)圆的标准方程圆心在点C(a,b),半径为r的圆的方程是(2)圆的一般方程(3)圆的参数方程1.6.2圆锥曲线2.椭圆(1)定义平面上到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.定点是焦点,两个焦点的距离是焦距.(2)椭圆的标准方程及图形如下标准方程图形

(3)椭圆的参数方程1.6.2圆锥曲线3.双曲线(1)定义平面上到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.定点是焦点,两个焦点的距离是焦距.1.6.2圆锥曲线(2)双曲线的标准方程及图形如下.标准方程图形实轴与虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,它的标准方程是或1.6.2圆锥曲线4.抛物线(1)定义平面上到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.定点是焦点,定直线是准线.1.6.2圆锥曲线

(2)抛物线的标准方程及图形如下.标准方程图形1.6.2圆锥曲线例2已知一双曲线经过点解设双曲线方程为与,求该双曲线的标准方程.(其中AB<0),带入点与,可得方程组解得.即双曲线的标准方程为07参数方程与极坐标方程1.7.1参数方程1.定义在坐标平面内,曲线上任意一点的坐标x,

y分别表示为某一第三变量t

的函数:这种方程叫作曲线的参数方程,这个第三变量t叫作参数.1.7.1参数方程2.化参数方程为普通方程在同一直角坐标系下,参数方程和普通方程可以互化,消去参数方程中的参数,即可得到普通方程;反之,对于曲线的普通方程,只要选择适当的参数,也可化为参数方程.通常用下列方法消去参数:

(1)从一个方程求出参数t,带入另一个方程;

(2)应用三角恒等式消去参数.1.7.1参数方程3.求轨迹的参数方程求轨迹的参数方程的步骤与求轨迹的普通方程类似,一般是:

(1)设动点坐标为(x,y);

(2)根据具体情况选定一个变量作为参数(关键一步);

(3)用参数分别表示坐标x,y.1.7.1参数方程4.圆锥曲线的参数方程(1)圆的参数方程为(2)椭圆的参数方程为(3)双曲线的参数方程为(4)抛物线的参数方程为1.7.1参数方程例1已知曲线解,直线(t为参数),求曲线C的参数方程,直线

的普通方程.由三角恒等式可得,曲线C的参数方程为(

为参数).对直线的参数方程消参可得其普通方程为1.7.2极坐标方程1.极坐标系极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系.在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线Ox,叫作极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,这样建立的坐标系叫作极坐标系,如图1-9所示.1.7.2极坐标方程2.平面上点的极坐标表示

(1)ρ=0表示极点,即极点坐标为O(0,θ);

(2)当ρ>0,0≤θ<2π时,平面上点M与实数对(ρ,θ)一一对应.即当限制ρ≥0,0≤θ<2π时,平面上除去极点O外,其他每一点都有唯一的一个极坐标.极点的极径为零,极角是任意的.除去上述限制,平面上每一点都有无数多组极坐标,一般地,如果(ρ,θ)是一个点的极坐标,那么(ρ,θ+2nπ),(-ρ,θ+(2n+1)π)都可作为它的极坐标,这里n∈Z.1.7.2极坐标方程3.直角坐标与极坐标的互化极坐标与直角坐标互化的前提条件:

(1)极点与原点重合;

(2)极轴与x轴非负半轴重合;

(3)取相同的单位长度.如图1-10所示,,设点M的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ)则有一般取ρ≥0,0≤θ<2π．

或1.7.2极坐标方程例1已知点M的极坐标为解,求其直角坐标.因为,所以点M的直角坐标为1.7.2极坐标方程4.曲线的极坐标方程极坐标系和直角坐标系是平面上两种不同的坐标系.同一个点可以有极坐标,也可以有直角坐标;同一条曲线可以有极坐标方程,也可以有直角坐标方程.为了研究方便,有时需要把一种坐标系中的方程化为另一种坐标系中的方程.

(1)极坐标曲线

θ=常数,表示过极点的射线;

ρ=常数,表示以极点为中心的圆.如为过极点,与Ox轴正向夹角为的半射线,在直角坐标系中的方程为;ρ=5是半径为5的圆,在直角坐标系中的方程为1.7.2极坐标方程

(2)极坐标方程在极坐标系中,平面内的一条曲线用含有ρ

和θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示,这种方程叫作曲线的极坐标方程.求曲线的极坐标方程的方法和步骤,与求直角坐标方程完全类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的极坐标(ρ,θ)的关系式φ(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程.1.7.2极坐标方程例４求极坐标方程解表示的曲线.因为,所以,即.将代入上式可得,表示一条抛物线.08复数简介复数简介16世纪中叶,意大利学者卡尔丹(Cardan,1545)在解三次方程时,首先产生了负数开平方的思想.为了使负数开平方有意义.需要把数系扩大,于是,就引进了虚数,使实数域扩大到复数域.但他并没有给出有关复数理论系统的描述.直到1777年,瑞士数学家欧拉(Euler)系统地建立了复数系统的理论,他发现了复指数函数和三角函数之间的关系,而且,首次引进符号“i”作为虚数单位,并规定i2=-1,从此,复数被人们广泛使用.1.8.1复数的相关概念1.复数设x,y

为实数,我们称形如z=x+iy或z=x+yi的数为复数,其中i满足i2=－1,称为虚数单位,实数x,y分别称为复数z

的实部和虚部,常记为:x=Rez,y=Imz.把复数表示成z=x+iy

的形式,叫作复数的代数形式.对复数z=x+iy(x,y∈R),当且仅当y=0时,它是实数x;当且仅当x=y=0时,它是实数0;当y≠0时,叫作虚数;当x=0,y≠0时,叫作纯虚数.例如,都是虚数,它们的实部分别是;虚部分别是,其中是纯虚数.全体复数所组成的集合叫作复数集,一般用字母C表示.显然,实数集R是复数集C的真子集.1.8.1复数的相关概念2.共轭复数设,则称为z

的共轭复数.3.复数相等两个复数相等,是指它们的实部和虚部分别相等,即必须且只需特别注意,两个复数不能比较大小,只能说相等或不相等.1.8.1复数的相关概念例1实数m

取什么值时,复数解当m

－1=0,即m=1时,复数z

是实数;当m

－1≠0,即m≠1时,复数z

是虚数;当m

＋1=0,m

－1≠0,即m=－1时,复数z

是纯虚数.是实数、虚数、纯虚数?1.8.1复数的相关概念4.复平面(1)复数的坐标表示每一个复数本质上由一对有序实数唯一确定,从而能建立平面上全部的点和全体复数之间的一一对应关系.换句话说,我们可以借助于横坐标为x

、纵坐标为y

的点来表示复数(图1-11).

x轴称为实轴,y轴称为虚轴.这样表示复数z

的平面称为复平面.为复数的坐标表示形式,称为点z.(2)复数的向量表示在复平面上,记复数在平面上确定的点为z,向量与复数一一对应,把它称为复数z

的向量形式.需要说明的是,复数的加法与减法也可以借助于向量形式表示.1.8.1复数的相关概念5.复数的模表示复数的位置,也可以借助点z的极坐标r

和θ

来确定.向量的长度称为复数z

的模或绝对值,记为或r,则有且,并有结论:6.复数的辐角实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角θ

满足,称为复数z

的辐角(Argument),记为.时,辐角无意义.1.8.2复数的运算1.复数的加减法设规定:为复数z1与

z2

的和.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).为复数z1与

z2

的差.容易验证复数加法满足交换律和结合律.1.8.2复数的运算例2计算解1.8.2复数的运算2.复数的乘法与除法设规定:为复数z1与

z2

的乘积.为复数z1与

z2

的商.容易验证复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.1.8.2复数的运算例3计算解1.8.3复数的三角形式和指数形式1.复数的三角形式根据直角坐标与极坐标的转换关系式,我们可以用复数的模与辐角来表示非零复数,即,这个表达式称为复数z

的三角形式.特别的,当r=1时,复数称为单位复数.1.8.3复数的三角形式和指数形式2.复数的指数形式由欧拉公式,代入复数的三角形式,可以得到称为复数的指数形式.复数的三角形式、指数形式及代数形式可以相互转换,以适应讨论不同问题时的需要,且使用起来各有其便.1.8.3复数的三角形式和指数形式例4设解设的指数形式.所以1.8.3复数的三角形式和指数形式3.复数的乘方作为复数乘积的特例,下面考虑非零复数的正整数次幂特别的,令r=1

,则得到棣莫弗(DeMoivre)公式,则,设根据乘法的运算律,实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对任意复数和自然数m,n

有1.8.3复数的三角形式和指数形式例5计算解函数及其性质01函数的极限与运算02两个重要极限03无穷小与无穷大04函数的连续性0501函数及其性质2.1.1区间与邻域本书涉及的各种区间类型有:设a,b∈R且a<b,开区间(a,b)={x∈R|a<x<b};闭区间[a,b]={x∈R|a≤x≤b};半开半闭区间(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b};无穷区间(-∞,+∞)=R;(a,+∞)={x∈R|x>a},[a,+∞)={x∈R|x≥a};(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,b]={x∈R|x≤b};为了讨论函数在一点附近的某些性态,会用到邻域的概念.2.1.1区间与邻域定义1设δ

为某一正数，称开区间(x0-δ,x0+δ)为点x0

的δ邻域，记作x0

与δ

分别称为该邻域的中心和半径.

由定义1,显然有,如图2-1所示.2.1.1区间与邻域

若把若把的中心x0

去掉，得到一个新的集合，该集合称为点x0

的去心邻域，记作,即,或如图2-2所示.

例如,表示点2的0.1邻域，也可表示为开区间.同理表示点2的去心0.1邻域，也可表示为两个开区间的形式2.1.2函数的概念1.函数的定义定义2设x

和y

是两个变量,D

是一个给定的数集.如果对于任给的x∈D,变量y按照某个对应法则f总有唯一确定的值和它对应,则称y

是x

的函数,记作y=f(x).数集D

叫作这个函数的定义域,x

叫作自变量,y

叫作因变量,数集为函数的值域.2.1.2函数的概念函数定义的几点说明:

(1)函数

中,表示对应法则的记号f

也可改用其他字母,例如“g”“φ”,这时函数就记作、.

(2)对应法则和定义域是函数的两个要素.即两个函数相同的充要条件是对应法则、定义域相同,与自变量的选取无关.如:与的对应关系不同,因此它们是两个不同的函数;与的定义域不同，因此它们也是两个不同的函数；而与是同一个函数.2.1.2函数的概念

(3)函数的表示方法有三种：

(4)函数的定义域就是自变量能够取到的、使解析式有意义的一切实数值.例如函数的定义域就是闭区间[-2,2]，函数的定义域就是开区间(-1,1).解析式法表格法图像法2.1.2函数的概念2.函数的几种特性设函数f(x)的定义域为D.

(1)有界性数集X⊂D.如果存在数K1,使得对于一切x∈X,有则称函数f(x)在X上有上界,而K1称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数K2,使得对于一切x∈X,有2.1.2函数的概念则称函数f(x)在X

上有下界，而K2

称为函数f(x)在X

上的一个下界。如果存在正数M

，使得则称函数f(x)在X

上有界，如果这样的M

不存在，则称函数

f(x)在X

上无界，这就是说，如果对于任意正数M

总存在,使得,那么函数f(x)在X

上无界.例如,函数、在内是有界的，因为存在正数M=1，无论x

取任何实数，都有、.数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界).2.1.2函数的概念又如函数在开区间（0，1）内没有上界，但有下界，例如1就是它的一个下界。函数在开区间（0，1）内是无界的，因为不存在这样的正数M

，使对于区间（0，1）内的一切x

都成立,但是在区间（1，2）内是有界的，例如可取，使对于区间（1，2）内的一切x

都成立.2.1.2函数的概念

(2)函数的单调性区间I⊂D,如果对于区I

上任意两点x1

及x2，当x1<x2

时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I

上是单调增加的，区间I

为函数f（x）的单调增区间；如果对于区间I

上任意两点x1

及x2，当x1<x2

时，恒有f（x1）>

f（x2），则称函数

f（x）在区间I上是单调减少的,区间I为函数f（x）的单调减区间.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.例如，函数y=x3

在区间（-∞，+∞）内是单调增加的；y=x2

在区间（-∞，0）内单调减少，在区间[0，+∞）内单调增加，但在区间（-∞，+∞）内不是单调的.2.1.2函数的概念

(3)函数的奇偶性设函数f（x）的定义域D

关于坐标原点对称（若x∈D，则必有-x∈D）。如果对于任意的x∈D，恒有成立，则称f（x）为奇函数.如果对于任意的x∈D，恒有成立，则称f（x）为偶函数.例如，f（x）=sinx

是奇函数，f（x）=cosx

是偶函数,

f（x）=sinx+cosx

既非奇函数,也非偶函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于坐标原点对称.2.1.2函数的概念

(4)函数的周期性如果存在不为零的数T

，使得对于任一x∈D，有（x+T）∈D,且恒成立,则称函数f（x）为周期函数，T称为函数f（x）的周期.如果T>0，并且它是f（x）的所有正周期中最小的，则称T

为

f（x）的最小正周期。通常我们所说的周期函数的周期都是指其最小正周期。例如，函数sinx、cosx

都是以2π为周期的周期函数；tanx、cotx

都是以π为周期的周期函数。以T

为周期的周期函数，在整个定义域内的每个长度为T

的区间上，其图形有相同的形状。2.1.3复合函数、分段函数与反函数在某一个变化过程中,两个变量的联系有时不是直接的,而是通过另一个变量间接联系起来的.例如,在自由落体运动中,动能E是速度v的函数:式中,m

为物体质量;而速度v

又是时间t的函数:这样,通过中间变量v,动能E

就成了时间t的函数.即将v=φ(t)代入函数E=f(v)中,就得到了由E=f(v)经过中间变量v=φ(t)复合而成的关于t的函数:该函数称为复合函数.像这样的函数,我们有如下定义:2.1.3复合函数、分段函数与反函数定义3已知两个函数y=f(u)；u∈D1，y∈Z1，u=φ

(x)；x∈D1，u∈Z1，则函数是由函数y=f(u)和u=φ

(x)经过复合而成的复合函数,通常称f(u)为外部函数，φ

(x)为内部函数，u

为中间变量。2.1.3复合函数、分段函数与反函数需要注意的是，不是任意两个函数都能够复合成复合函数。只有当内部函数u=φ

(x)的值域Z2

与外部函数y=f(u)的定义域D1

的交集非空时，即Z2∩D1≠⌀时,这两个函数才能复合成复合函数。如y=4cosx

是由y=4u

，u=cosx

复合而成的复合函数；是由y=u，u=lnv,v=1+x2

复合而成的复合函数。但函数y=arcsinu，u=3+x2

是不能复合成一个复合函数的.2.1.3复合函数、分段函数与反函数例下列函数由哪些基本初等函数复合而成?(1)(2)解(1)由内部函数向外部函数分析，就是按由x确定y的运算顺序进行:对给定的x,先计算3x+1，令u=3x+1；再由u计算函数sinu，得y=sinu.于是，y=sin(3x+1)由以下两个基本初等函数复合而成:y=sinu，u=3x+1.(2)由(1)同理可得，y=(arctanx3)2

是由y=u2，u=arctanv，v=x3

复合而成的.2.1.3复合函数、分段函数与反函数定义4当定义域内自变量x

取不同的值时，函数f(x)要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数.例如:是定义域在(-∞,+∞)上的分段函数，其图像如图2-3所示.2.1.3复合函数、分段函数与反函数定义5设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W

。一般地，对于任一数值y∈W

，D上至少可以确定一个数值x

与之对应，这个数值x

适合关系这里如果把y

看作自变量，x

看作因变量，按照函数概念，就得到一个新的函数x=φ(y)，则称这个新的函数为函数f(x)的反函数，可记作x=f-1(y).f(x)=y.2.1.4初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成,且可用一个解析式表示的函数,叫作初等函数,否则就是非初等函数.本教材所讨论的函数绝大多数都是初等函数.表2-1是常见的基本初等函数的定义与性质,便于读者查阅.2.1.4初等函数2.1.4初等函数三角函数2.1.4初等函数三角函数2.1.4初等函数反三角函数2.1.4初等函数反三角函数02函数的极限与运算2.2.1函数的极限极限是微积分中最基本的概念之一,是导数与积分概念的基础,一般用于研究在自变量的某个变化过程中函数的变化趋势.1．x→∞时函数f(x)的极限观察反比例函数2.2.1函数的极限的图像,如图2-4所示.由图可知,当自变量x的绝对值无限增大时,相应的函数值y无限逼近常数0.2.2.1函数的极限

定义1设函数在时有定义,若当x

的绝对值无限增大时,函数无限逼近于常数A，则称A

为时函数的极限,记为或由定义1可知，对于函数,其图像如图2-5所示.由图像可以看出是不存在的,但当时无限逼近于,当时无限逼近于.由此给出如下定义:2.2.1函数的极限

定义2设函数在时有定义，若当x(或–x)无限增大时，相应的函数无限逼近于常数A，则称A

为x→+∞(或x→-∞)时函数的极限,记为(或)由定义2可知，，由定义1和定义2得到如下关系:

定理1的充要条件是2.x→x0

时函数f(x)的极限观察当x→2时,函数f(x)=x+2(图2-6)和2.2.1函数的极限(图2-7)的函数值的变化趋势.2.2.1函数的极限不难看出,当x→2时,函数f(x)与g(x)均无限逼近于4,函数f(x)的数值变化见表2-2.当x≠2时,,故其数值变化也可用表2-2表示可以看出，当x→2时，f(x)=x+2的值无限逼近于4；同理，当x→2时,的值也无限逼近于4.由此得到如下定义:2.2.1函数的极限

定义2设函数相应的函数值点x0的去心邻域内有定义.当自变量在x

→x0的过程中,无限逼近于常数A，则称A

为函数当x

→x0时的极限，记作或由定义3,,函数f(x)=x+2与是两个不同的函数，前者在x=2处有定义，后者在x=2处无定义.这就是说，当x→2时，f(x)的极限是否存在与其在x=2处是否有定义无关.2.2.1函数的极限在定义3中，x→x0

的过程中，变量x

是由x0

两端分别逼近x0

的，但有些函数只在x0

的一端有定义，像对函数y=lnx

讨论当x→0的极限时，只能考虑0右侧的极限。因此我们引入左(右)极限定义:

定义4设函数f(x)在x0

的某个左半邻域(x0

－δ，x0

)

(或右半邻域(x0，x0+δ))内有定义.当x

从x0

的左侧(或右侧)趋于x0

时，f(x)无限逼近于常数A，那么A

称为函数f(x)在x0

处的左(右)极限，记作:或，（或）.2.2.1函数的极限由定义4，由定义3和定义4得到如下关系:

定理2的充要条件是2.2.1函数的极限例1设函数解,试讨论该函数在x=0处的极限.这是一个分段函数，x=0为分段点.由于在x=0的两侧，函数的解析式不同，须考察左、右极限.由图2-8可知由于在x=0处的左、右极限都存在且相等，所以函数f(x)在x=0处的极限存在，且2.2.1函数的极限例2设函数解x=1是该分段函数的分段