高等基础数学5

定积分的概念与性质01微积分基本公式02定积分的积分方法03反常积分04定积分的几何应用05定积分在物理学上的应用0601定积分的概念与性质6.1.1定积分的实际背景1.曲边梯形的面积【引例】如何求解不规则图形的面积呢?设y=f(x)是定义在[a,b]

上的非负连续函数,由曲线

y=f(x)与x

轴、直线x=a、x=b

围成的图形称为曲边梯形(图6-1),求该曲边梯形的面积.我们知道矩形的面积公式为矩形面积=高×底通过观察发现,由于曲边梯形有一条边是曲线,底边上各点处的高f(x)在[a,b]上是连续变化的,因此不能用求直边形面积的方法来求其面积.我们设想:能否将该曲边梯形沿着y

轴方向切割成许多窄窄的长条,然后在每个长条内“以直代曲”呢?由函数的连续性可知,自变量变化很小时,相应的函数值变化也很小.所以,分割越细,误差越小,因此取极限就可获得曲边梯形的面积值.6.1.1定积分的实际背景上述思路具体实施分为下述四步:

(1)大化小(分割)在区间[a,b]内任意插入n-1个分点,a=x0<x1<x2<…<xi<…<xn=b,把区间[a,b]分割成n

个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)(称为区间[a,b]的一个分割),并分别记小区间的长度为Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).相应地,把曲边梯形分割成n

个窄曲边梯形(图6-2).6.1.1定积分的实际背景

(2)常代变(近似代替)即“以直代曲”,在小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,以f(ξi)为高,Δxi

为底的小矩形面积f(ξi)Δxi

作为窄曲边梯形面积ΔAi

的近似值,从而在[xi-1,xi]上以直线y=f(ξi)代替曲线y=f(x),有

(3)近似和(求和)把所有小矩形面积相加,得整个曲边梯形面积A

的近似值,即6.1.1定积分的实际背景

(4)取极限显然,随区间[a,b]内的分点不断增加,第三步所得近似值的精度将不断提高,并不断逼近曲边梯形面积值,记最大的小区间长度为λ,即,并令λ→0,取上述和式极限,就得到了曲边梯形的面积6.1.1定积分的实际背景2.变速直线运动的路程设某物体做直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上的连续函数,且v(t)≥0,计算这段时间内物体所走的路程s.我们知道,如果是匀速运动,则有公式路程=速度×时间即路程s=v(T2-T1),但现在所讨论的问题中,速度不是常量而是随着时间变化而变化的变量,因此,所求路程就不能用初等方法求得了.解决这个问题的思路与求曲边梯形面积相类似,分为以下四步:6.1.1定积分的实际背景

(1)大化小(分割)在时间间隔[T1,T2]内任意插入n-1个分点(图6-3),把时间间隔[T1,T2]分割成n

个小区间[ti-1,ti](i=1,2,…,n)(称为时间段[T1,T2]的一个分割),并分别记每个小时间段的长度为Δti=ti-ti-1(i=1,2,…,n).6.1.1定积分的实际背景

(2)常代变(近似代替)即“以常代变”,把每个小时间段[ti-1,ti]上的运动视为匀速,任取时刻τi∈[ti-1,ti],作乘积v(τi)Δti;显然,这一小段时间内物体所走路程Δsi

可近似表示为:

(3)近似和(求和)把n

个小段时间上的路程相加,得物体总路程s的近似值,即；.6.1.1定积分的实际背景

(4)取极限让时间间隔[T1,T2]内的分点无限增加,令最大的时间间隔λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}→0,则上述和式的极限就是s

的精确值,即以上两个实例,虽然实际意义不同,但解决问题的方法却完全相同:都采用分割、近似代替、求和、取极限的方法;而最后归结为同一种结构的和式的极限.事实上,可以用这一方法描述的量在各个科学领域中是很广泛的,如曲线的长度、旋转体的体积、液体中闸门的静压力以及经济学中的某些量等,抛开这些问题的具体意义,抓住它们在数量关系上的共性与本质并加以概括,便抽象出定积分的概念.6.1.2定积分的概念定义设f(x)为定义在区间[a,b]上的有界函数,在[a,b]中任意插入n-1个分点:将区间[a,b]分为n

个小区间[xi-1,xi](i=1

,2,…,n),小区间的长度分别记为Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n),在小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,作乘积f(ξi)Δxi

的和式若当时,上述和式极限存在,且与区间[a,b]的分法无关,与ξi

的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为,即6.1.2定积分的概念其中,

f(x)称为被积函数,x

称为积分变量,

f(x)dx

称为被积表达式,[a,b]称为积分区间,a

称为积分下限,b

称为积分上限∫,称为积分号.根据定积分的定义,前面两个实例可以记为:曲边梯形面积变速直线运动路程关于定积分有以下几点说明:6.1.1定积分的实际背景

(1)当和式的极限存在时,其极限仅仅与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,与积分变量无关,即不改变被积函数以及积分区间,只将积分变量x

换成其他字母,比如t

或u,此时和的极限不变,也就是定积分的值不变,即和式通常称为f(x)的积分和.如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,那么就说f(x)在[a,b]上可积.6.1.1定积分的实际背景

(2)可积的充分条件:定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积..6.1.3定积分的几何意义

在曲边梯形的面积中,我们看到如果f(x)>0,图形在x

轴之上,积分值为正,有

如果f(x)≤0,那么曲边梯形位于x

轴下方,积分值为负,此时定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数,即

如果f(x)在[a,b]上有正有负时,则积分值就等于曲线y=f(x)在x轴上方部分与下方部分面积的代数和(图6-4),有6.1.3定积分的几何意义例1证明证明由定积分定义,f(x)c;c

是常数,积分和式所以,其中c为常数.事实上,从几何意义可以看出是y=c、y=0、x=a、x=b围成矩形的面积,即c(b-a).在c<0时,面积为-c(b-a),再带上个负号才成为定积分,故仍为6.1.4定积分的性质

在定积分的定义中,积分上限大于积分下限.为了以后计算及应用方便起见,我们对定积分做以下两点补充规定:

有上述规定后,不论a,b

的大小关系如何,定积分

(1)当a=b

时，

(2)当a>b

时，都有意义了.

下面我们讨论定积分的性质.下列各性质中积分上下限的大小如果不作特别说明,均不加限制,并假定各性质中所列出的定积分都是存在的.6.1.4定积分的性质

性质1(定积分的线性性质)设α

与β

均为常数,则证明性质1对于任意有限个函数的线性组合也是成立的.6.1.4定积分的性质性质2(对积分区间的可加性)对任意常数c,

性质2的证明从略.此性质的几何意义是比较明显的,例如,当f(x)≥0且a<b<c

时,由定积分的几何意义可知:表示由y=f(x),x=a,x=b

以及x

轴所围成的曲边梯形面积A;表示由y=f(x),x=a,x=c

以及x

轴所围成的曲边梯形面积A1

;表示由y=f(x),x=c,x=b

以及x

轴所围成的曲边梯形面积A2

;6.1.4定积分的性质由A=A1+A2(图6-5)即得6.1.4定积分的性质性质3如果在区间[a,b]上f(x)≥0,那么（a<b）

证明因为f(x)≥0,所以又由于,所以令,便得到所要证明的不等式.6.1.4定积分的性质推论1如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x),则证明因为f(x)-g(x)≥0,由性质3得再利用性质1,便得到要证明的不等式.6.1.4定积分的性质推论2（a<b）证明因为所以由推论1及性质1可得即6.1.4定积分的性质性质4(估值定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M

和m,则从定积分的几何意义看(图6-6),这是显然的:即6.1.4定积分的性质性质5(积分中值定理)若函数f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得积分中值定理有明显的几何意义:曲边y=f(x)在[a,b]底上所围成的曲边梯形的面积,等于同一底边而高为f(ξ)的矩形面积(图6-7).例2比较下列各对定积分值的大小.解

6.1.4定积分的性质与与(1)(2)(1)当x∈[0,1]时,有x≥x2,由性质4得(1)当x∈[1,2]时,0≤lnx<1,故lnx≥ln2x,由性质4得02微积分基本公式微积分基本公式从上节看到,如果我们按照定积分定义来计算定积分,是复杂的,不易计算的,有时甚至是不可能的.因此,我们必须寻求计算定积分的新方法.下面先从实际问题中寻找解决问题的方法.因此,我们对变速直线运动中遇到的位置函数s=s(t)以及速度函数v=v(t)之间的联系做进一步的研究.设有一质点沿直线运动,时刻t时质点所在位置为s(t),速度为v(t)(为方便计算,不妨设v(t)≥0).由6.1节知道:物体在时间[T1,T2]内经过的路程可用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分表示,即;另一方面,这段路程也可以通过位置函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量来表示,即s(T2)-s(T1).由此可得,位置函数与速度函数之间有如下关系:微积分基本公式因为s'(t)=v(t),即位置函数是速度函数的原函数,所以上述关系式表示,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量s(T2)-s(T1).这一现象在一定条件下具有普遍性.我们将在第二目中证明:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么f(x)在[a,b]上的定积分等于f(x)的原函数F(x)在a,b上的增量F(b)-F(a).6.2.1积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续,若x∈[a,b]，则定积分

存在.该式中x

既表示积分上限,又表示积分变量,但它们含义不同,为区别起见,把积分变量改用字母t表示,即(6-1)由于定积分

表示一个数值,这个值只取决于被积函数f(x)和积分区间[a,b].由此,给定积分区间[a,b]上的一个x

值,按式(6-1)就有一个积分值与之对应,因此,式(6-1)可看作是积分上限x

的函数,其定义域是[a,b],记作Φ(x),即6.2.1积分上限函数及其导数上式通常称为积分上限函数.从几何意义上看,Φ(x)表示区间[a,x]所对应的曲边梯形的面积,它随x

的变化而变化,因而Φ(x)是x

的函数(图6-8).6.2.1积分上限函数及其导数定理1(微积分学基本定理)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数

在区间[a,b]上可导,且其导数就是f(x),即证明现考察自变量x

有增量Δx

时,所引起的Φ(x)的改变量ΔΦ(x),有6.2.1积分上限函数及其导数由积分中值定理得(ξ

介于x

与x+Δx

之间).从而有所以按原函数定义,该定理又告诉我们:连续函数一定有原函数,并且这一原函数就是f(x)的变上限定积分.这就充分说明了在上一章不定积分中关于连续函数一定存在原函数的结论.6.2.1积分上限函数及其导数例１求解由定理1,,所以例２解计算这是一个“”型未定式,根据洛必达法则,有6.2.2牛顿-莱布尼茨公式现在我们来证明一个重要定理———微积分基本定理,它给出了用原函数计算定积分的公式.定理2(微积分基本公式)

设函数f(x)在[a,b]上连续,

且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则(6-2)6.2.2牛顿-莱布尼茨公式证明已知F(x)是f(x)的一个原函数,又

也是f(x)的一个原函数,于是这两个原函数之差在[a,b]上必定是某一个常数,即将x=a

代入上式,得C0=-F(a),即将x=b

代入上式,并将积分变量t改为x,即得(x∈[a,b]).6.2.2牛顿-莱布尼茨公式公式(6-2)称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式,它阐明了定积分与原函数之间的关系:定积分的值等于被积函数的任一个原函数在积分上限与积分下限的函数值之差.这样,就使定积分的计算变得简便多了.为书写方便,上述公式常采用下面的格式:或6.2.2牛顿-莱布尼茨公式例4解求下列定积分.

(1)

在区间[-1,1]上连续,且F(x)=arctanx

是f(x)的一个原函数,由公式(6-2)得(1)(2)(3)6.2.2牛顿-莱布尼茨公式(2)(3)6.2.2牛顿-莱布尼茨公式例５解求先计算不定积分,有于是由上题我们看出,牛顿-莱布尼茨公式指明了定积分与不定积分的联系,即03定积分的积分方法6.3.1定积分的换元积分法为了说明如何用换元法来计算定积分,先给出下面的定理

定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续,变换x=φ(t)满足:

(1)φ(α)=a,φ(β)=b;

(2)在区间[α,β](或[β,α])上φ(t)单调且有连续的导数,则有上式称为定积分的换元积分公式,该公式可以两个方向使用,从右端到左端称为定积分的第一类换元积分法,从左端到右端称为定积分的第二类换元积分法.在应用该公式解题过程中一定要注意以下两点:6.3.1定积分的换元积分法

(1)“换元同时换限”,通过关系式x=φ(t),原上(下)限对应新上(下)限,下限不一定小于上限.为书写方便,换限用下表表示

(2)换元后,无需像不定积分那样,代回到原积分变量,只要对新积分变量直接用牛顿-莱布尼茨公式.6.3.1定积分的换元积分法例５解法1先求被积函数的原函数,然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算.求于是上述方法要求,求得的不定积分变量必须还原,但在计算定积分时该步可以省略,只要将原变量x

的积分上、下限按照x=φ(t)换成新变量t

相应的上、下限即可.6.3.1定积分的换元积分法解法2设x=t,则x=t2(t≥0).当x=0时,t=0;当x=4时,t=2.于是解法2与解法1最明显的不同之处就是解法2省略了变量回代这一步,在定积分的计算中,该方法具有普遍性.6.3.2定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,可得简记为6.3.2定积分的分部积分法或上式就是定积分的分部积分法公式.不定积分分部积分法中所讲述的方法,在定积分分部积分法中仍然适用.6.3.2定积分的分部积分法例9解令u=x,dv=cosxdx=dsinx,代入分部积分法公式,得求6.3.2定积分的分部积分法例10解令,代入分部积分公式,得求04反常积分6.4.1无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上连续,则称记号

为无穷区间上的反常积分.取b>a,若极限

存在,则称反常积分收敛,并以这一极限值为反常积分的值,即.若上述极限不存在,则称反常积分发散.类似地,函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分,用极限来定义它的敛散性.函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)的反常积分

则定义为6.4.1无穷限的反常积分其中c

是任一有限数,仅当等式右端的两个反常积分收敛时,左端的反常积分才收敛;否则左端的反常积分是发散的.上述三种反常积分统称为无穷限的反常积分.6.4.1无穷限的反常积分例1计算反常积分解按反常积分敛散性定义,取b>1,则所以该反常积分收敛,其值为1.6.4.1无穷限的反常积分例2计算反常积分解取a<0,则显然,上述极限不存在,所以发散.计算无穷区间上的反常积分时,为了书写方便,实际运算中常常略去极限符号,形式上直接利用牛顿-莱布尼茨公式的计算格式(注意是形式上).6.4.1无穷限的反常积分设F(x)为连续函数f(x)的一个原函数,记则以上三个反常积分的收敛与发散取决于极限F(+∞)、F(-∞)是否存在和是否同时存在.,6.4.2无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界,那么点a称为函数

f(x)的瑕点(也称为无界间断点).无界函数的反常积分又称为瑕积分.

定义2设函数f(x)在区间（a,b]上连续,点a

为f(x)的瑕点,则仍然称记号

为函数f(x)在区间（a,b]上的反常积分.任取t>a,若极限

存在,则称反常积分收敛,并以这一极限值为反常积分的值.即若上述极限不存在,则称反常积分发散.6.4.2无界函数的反常积分类似地,函数f(x)在区间（a,b]上的反常积分(点b

为f(x)的瑕点),用极限来定义它的敛散性.函数f(x)在区间（a,c]以及区间（c,b]上连续,点c

为f(x)的瑕点.则函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分用反常积分

与反常积分

的和来表示,仍记作即仅当等式右端的两个反常积分收敛时,左端的反常积分才收敛;否则左端的反常积分是发散的.6.4.2无界函数的反常积分计算无界函数的反常积分时,也可借助于牛顿-莱布尼茨公式.设x=a

是f(x)的瑕点,在（a,b]上F(x)为连续函数f(x)的一个原函数,记则有对于f(x)在（a,b]上连续,·

为瑕点的反常积分也有类似的计算公式,这里不再详述.例5计算反常积分解因为所以点a是瑕点,于是6.4.2无界函数的反常积分例6讨论反常积分解被积函数由于6.4.2无界函数的反常积分的收敛性.在积分区间上除x=0外连续,且即反常积分发散,所以反常积分也发散.如果疏忽了x=0是被积函数的瑕点,就会得到以下错误的结果:05定积分的几何应用6.5.1定积分的微元法由6.1.1节的背景实例(曲边梯形的面积和变速直线运动的路程)分析可见,用定积分表达某个量(设为Q)都采用分割、近似代替、求和、取极限四个步骤来进行.可简记为观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表达式的形成就是在这一步被确定的,只要把近似式f(ξi)Δxi

中的变量记号改变一下即可(ξi

→x,Δxi→dx).而第三步、第四步可以合并成一步:在区间[a,b]上积分.至于第一步,它只是指明所求量具有可加性,这是Q能用定积分计算的前提.于是,上述四步就简化成了实用的两步:

(1)分割区间[a,b],在其中任取一个微小区间,记为[x,x+dx],然后写出在这个小区间上的局部量ΔQ

的近似值f(x)·Δx,即6.5.1定积分的微元法其中,f(x)·Δx或f(x)dx

称为量Q

的微元,记作dQ,即dQ=f(x)dx.

(2)将微元dQ

在[a,b]上积分(无限累加),即得以上两步解决问题的方法称为微元法.下面我们就用微元法来讨论定积分在几何方面的应用.6.5.2平面图形的面积1.直角坐标情形设平面图形由上、下两条曲线y=f1(x),y=f2(x)及直线x=a,x=b

所围成,并且f1(x),f2(x)在[a,b]上连续,f1(x)≥f2(x),求平面图形的面积A(图6-10、图6-11).6.5.2平面图形的面积取x为积分变量,分割区间[a,b],在其中任取一个微小区间,记为[x,x+dx].与这个小区间相对应的窄曲边梯形的面积ΔA

近似等于高为f1(x)–f2(x)、底为dx

的窄矩形面积,从而得到面积元素dA,即于是平面图形的面积为类似地,由左右两条曲线x=g1(y),x=g2(y)及直线y=c,y=d(其中g1(y),g2(y)在[c,d]上连续且g1(y)≥g2(y))所围成的平面图形(图6-12),其面积微元为所求平面图形面积为例1求由抛物线y=x2

与直线y=2x

所围成的图形的面积.解6.5.2平面图形的面积(1)联立两曲线方程:,解得交点为O(0,0),A(2,4),画出图形(图6-13).

(2)选择积分变量,写出面积微元,本题取竖条或横条作dA

均可,习惯上取竖条,即取x

为积分变量,则x

的变化范围为[0,2],于是对应于小区间[x,x+dx]的面积微元

(3)将A

表示成定积分,并计算例1计算抛物线y2=2x

与直线x–y=4所围成的平面图形的面积.解法16.5.2平面图形的面积求出两条曲线的交点(2,-2)和(8,4)(图6-14),取y

为积分变量,则y

的变化范围为[-2,4],于是对应于小区间[y,y+dx]的面积微元则6.5.2平面图形的面积解法2用直线x=2将图形分成两部分,左侧图形的面积右侧图形的面积所求图形的面积由例2可知,对同一问题,有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同,因此在实际计算时,应选取合适的积分变量,使计算简化.6.5.2平面图形的面积2.极坐标情形在计算某些平面图形的面积时,用极坐标会更加方便.由曲线ρ=ρ(θ)及射线θ=α,θ=β

围成的图形称为曲边扇形(图6-16).由于θ

在α,β

上变动时,极径ρ=ρ(θ)也随之变动,故不能直接使用扇形的面积公式来计算曲边扇形的面积.下面我们采用微元法计算所求曲边扇形的面积,这里ρ(θ)在α,β

上连续,且ρ(θ)≥0,0<β-α<2π.取极角θ

为积分变量,其变化区间为α,β,相应于任一小区间[θ,θ+dθ]的窄曲边扇形的面积可用半径为ρ(θ)、中心角为dθ

的扇形面积来近似代替,即曲边扇形的面积元素所求曲边扇形的面积为例4计算阿基米德螺线ρ=aθ(a>0)上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形(图6-17)的面积.解6.5.2平面图形的面积在指定的这段螺线上,θ

的变化区间为0,2π.相应于0,2π

上任一小区间[θ,θ+dθ]的窄曲边扇形的面积近似于半径为aθ、中心角dθ

的扇形的面积,从而得到面积元素于是所求面积为6.5.3体积1.旋转体体积一个平面图形绕平面上的一条直线旋转一周而生成的空间立体称为旋转体,这条直线称为旋转轴.现在我们来讨论由曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a,x=b(a<b)和x

轴所围成的曲边梯形aABb(图6-19)绕x

轴旋转一周而生成的旋转体的体积(图6-20).6.5.3体积用微元法,先确定旋转体的体积V

的微元dV.取x

作为积分变量,在它的变化区间[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],以小区间[x,x+dx]为底的小曲边梯形绕x

轴旋转一周可生成一个薄片形的旋转体.体积可用一个与它同底的小矩形(图6-19阴影部分)绕x

轴旋转一周所得圆柱体的体积近似代替.于是得dV=π[f(x)]2dx,从而可得旋转体的体积为类似地,由曲线x=φ(y)(φ(y)≥0),直线y=c,y=d(c<d)和y

轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为例6求由曲线xy=a(a>0)与直线x=a,x=2a

及x

轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体体积(图6-21)解6.5.3体积取x

作为积分变量,由方程可得.于是所求体积为6.5.3体积2.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体,但我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积,那么我们也可以仿照旋转体体积的计算过程计算该立体图形的体积.图6-24是位于过点x=a

及点x=b

且垂直于x

轴的两平面之间的立体图形,以A(x)表示过点x

且垂直于x

轴的截面面积.假设A(x)为已知量,那么我们可以用元素法计算出该立体图形的体积.6.5.3体积取x

为积分变量,在a,b

上任取一小区间[x,x+dx],所截得的薄片可近似地看成底面积为A(x),高为dx

的小柱体,其体积元素为以A(x)dx

为被积表达式,在闭区间a,b上作定积分,便得所求立体的体积例8求以半径为R

的圆为底、平行且等于底圆的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积(图6-25).解6.5.3体积取底圆所在平面为xOy

平面,圆心O

为原点,使x

轴与正劈锥的顶点平行.则底圆的方程为x2+y2=R2.过x

轴上的点x(-R≤x≤R)作垂直于

x轴的平面,