2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（下）期中数学试卷一.填空题（共12题，其中1-6题每题4分，7-12每题5分，共计54分）1．复数为纯虚数为虚数单位），则．2．函数的值域是．3．若，则（用表示）．4．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为．5．在复数范围内分解因式：．6．已知，则的值为．7．函数的最小正周期是，则的值．8．若，是第四象限的角，则．9．已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标是；10．已知在△中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是．11．如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是．12．设，，，，且，则在上的投影的取值范围是．二.选择题（第13，14题每题4分，第15，16题每题5分，共计18分）13．若，，则的值是（）A．1 B． C． D．014．下列函数中是奇函数的是（）A． B． C． D．15．在△中，“”是“”成立的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要16．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有个．①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三.解答题（第17，18，19每题14分，第20，21每题18分）17．已知，．（1）为何值时，与垂直？（2）为何值时，与平行？18．已知复数，复数满足方程，求：（1）复数的值；（2）求是的共轭复数）的值．19．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．20．（18分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数在上的最值；（3）在△中，，若对任意实数恒有，求△面积的最大值．21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；

参考答案一.填空题（共12题，其中1-6题每题4分，7-12每题5分，共计54分）1．复数为纯虚数为虚数单位），则2．解：因为复数为纯虚数，故，解得．故答案为：2．2．函数的值域是．解：函数，故函数的值域为，故答案为：，3．若，则（用表示）．解：因为，所以．故答案为：．4．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为2．解：设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则扇形的弧长，扇形的周长为4，面积为1，，解得，，即扇形圆心角的弧度数为2．故答案为：2．5．在复数范围内分解因式：．解：．故答案为：．6．已知，则的值为．解：因为，所以．故答案为：．7．函数的最小正周期是，则的值1．解：由题意得，结合，可得函数的最小正周期，解得．故答案为：1．8．若，是第四象限的角，则．解：由题意得，可得，结合为第四象限角，可得，所以．故答案为：．9．已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标是；解：设以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，射线为终边的角为，由点，得，射线为终边的角为，则，则，又，点，所以点的坐标为．故答案为：．10．已知在△中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是钝角三角形．解：设△的三边、、上对应高的长度分别为，则，化简得，设，，，其中，为最大角，由余弦定理得，结合，可知为钝角，故△为钝角三角形．故答案为：钝角三角形．11．如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是3．解：过点作轴于，过点作轴于，设，，则，又，，所以，，，，，，所以，，则，，所以，，则，又，所以，根据正弦函数的图象性质得，，，所以，即的最大值是3．故答案为：3．12．设，，，，且，则在上的投影的取值范围是，．解：，，，，且，，．设在上的投影为，则，．当时，，当时，，故当时，取得最小值，为1，即，．当时，，即，．综上可得，，，故答案为：，．二.选择题（第13，14题每题4分，第15，16题每题5分，共计18分）13．若，，则的值是（）A．1 B． C． D．0解：，，则．故选：．14．下列函数中是奇函数的是（）A． B． C． D．解：．，则函数为偶函数，．，则函数为偶函数，．，则函数为偶函数，．，则函数为奇函数，故选：．15．在△中，“”是“”成立的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要解：在△中，若，则，，由正弦定理得，故充分性成立；在△中，若成立，由正弦定理可得，即，在△中，，，所以有或；当时，，不一定有，故必要性不成立．故选：．16．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有个．①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：由都是非零向量，，得，而，因此向量共线，且方向相反，对于①，由，得向量共线，且方向相同，故①不能使其成立；对于②，由，得向量共线，方向可以相同或相反，故②不一定能使其成立；对于③，由，得向量共线，且方向相反，故③一定能使其成立；对于④，由，得向量的夹角为，两向量不共线，故④不能使其成立．故选：．三.解答题（第17，18，19每题14分，第20，21每题18分）17．已知，．（1）为何值时，与垂直？（2）为何值时，与平行？解：，，则，，（1）与垂直，则，解得；（2）与平行，则，解得．18．已知复数，复数满足方程，求：（1）复数的值；（2）求是的共轭复数）的值．解：（1）由题可得：，即，故，则；（2）由（1）得，则，故．19．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，，．．（2）由正弦定理可得，．，，，，，．20．（18分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数在上的最值；（3）在△中，，若对任意实数恒有，求△面积的最大值．解：（1）因为，所以的最小正周期为，令，可得的单调递增区间为；（2）当时，，则，所以在上的最小值为，最大值为；（3）由，得，因为，所以，则，即，因为，所以，所以，则对于任意实数恒成立，所以△，即，即，则，而，，则，即，则，所以，当且仅当等号成立，则△面积的最大值为．21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求