2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．若集合，1，，，0，，则．2．已知集合，，，2，，若，则实数的值是．3．已知，，则与的大小关系为．4．已知集合，，则．5．若，则．6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则．7．使得有意义的的取值范围是．8．已知，，则．（用含、的式子表示）9．设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围是．10．若对一切都成立，则的取值范围是．11．已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是．12．设，若且，则的最小值为．二、单选题13．满足，，，，，，的集合的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．3214．已知，，，，则下列不等式成立的有（）A． B． C． D．15．不等式的解集是，则不等式的解集为（）A． B． C． D．16．已知集合，，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（）A．676 B．675 C．672 D．671三、解答题（52分）17．设全集，集合，．（1）若，求与．（2）若，求的取值范围．18．设集合，集合，．（1）若且，求集合．（2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集．19．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求的值及用表示；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值．20．设集合，集合．（1）若，求集合．（2）若，求的取值范围．（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．21．设集合，，，，，．如果集合满足：对任意，，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”．（1）判断集合，2，与，2，是否为“单封集”，请直接写出结论．（2）若，，是“单封集”，且，，求．（3）若，，，是“单封集”，证明：，并求出的值．

参考答案一、填空题1．若集合，1，，，0，，则．解：集合，1，，，0，，则．故答案为：．2．已知集合，，，2，，若，则实数的值是2或3．解：因为集合，，，2，，又因为，则或．故答案为：2或3．3．已知，，则与的大小关系为．解：，则．故答案为：．4．已知集合，，则．解：集合，，联立，解得，，故．故答案为：．5．若，则．解：由题意可知，，所以，，所以．故答案为：．6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则16．解：由，为一元二次方程的两个实数根，得，，则．故答案为：16．7．使得有意义的的取值范围是或．解：有意义，则，解得或，故所求的取值范围为或．故答案为：或．8．已知，，则．（用含、的式子表示）解：因为，，即，，所以，则．故答案为：．9．设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围是，．解：因为，，若是的充分非必要条件，则，，，则，解得．故答案为：，．10．若对一切都成立，则的取值范围是．解：因为，所以，即，解得，所以的取值范围是．故答案为：．11．已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是或．解：设，为的两个不等的负根，则，解得，记集合，而方程无实根，则，解之得，记集合，若真假，则，若假真，则．综上．若、一真一假，则或．故答案为：或．12．设，若且，则的最小值为．解：若，则且，即，则，令，则，令，，当且仅当，即时取等号，此时．故答案为：．二、单选题13．满足，，，，，，的集合的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．32解：因为，，，，，，，则满足题意的集合分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种．故选：．14．已知，，，，则下列不等式成立的有（）A． B． C． D．解：对于，令，，满足，但，故错误，对于，令，，满足，但，故错误，对于，令，，满足，但，故错误，对于，，又，，故正确．故选：．15．不等式的解集是，则不等式的解集为（）A． B． C． D．解：不等式的解集是，，3为方程的两个根则，得则不等式可化为解得故选：．16．已知集合，，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（）A．676 B．675 C．672 D．671解：对于中的任意两个不同的元素，，都有，不妨设，都有，要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3，将这2027个元素按如下分组：，2，，，5，，，，2024，，，，故应在前675组中按周期3每组取一个元素，且第一组中不能取3，第一组中取1时，可得，4，7，，2023，或，4，7，，2023，这样的集合，第一组取2可得，5，8，，2024，，其中任意两元素差值都大于2，满足题意，故所含元素个数的最大值为．故选：．三、解答题（52分）17．设全集，集合，．（1）若，求与．（2）若，求的取值范围．解：（1）由可得，即，当时，，则，或，；（2）若，，若，则，解得，若，则，解得，故的范围为或．18．设集合，集合，．（1）若且，求集合．（2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集．解：（1）若，则，因为，且集合，中有2个元素，所以集合中也有2个元素，所以，，当时，，此时，，所以，则，，当时，，此时，，所以，则，，综上所述，，或，；（2）由，可得，即，又因为，所以，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为2，即，所以，，所以集合的所有真子集为，，．19．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求的值及用表示；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，则，解得，显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：．（2）由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层的厚度为时，总费用取得最小值110万元．20．设集合，集合．（1）若，求集合．（2）若，求的取值范围．（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）当时，集合中的不等式为，两边同时平方去掉绝对值符号，得到，展开式子得，移项合并同类项得．因式分解得．解得，所以集合．（2）若，则一元二次不等式无解．当，即时，不等式变为，显然无解，满足．当时，要使不等式无解，则二次函数的图象开口向下，且与轴无交点，即，解不等式，因式分解得，解得．结合，即，所以．综上，的取值范围是，．（3）因为，所以的取值范围是或，即集合或．解不等式，两边同时平方得．展开式子得移项合并同类项得．因式分解得．当时，不等式的解集为；当时，不等式变为，无解；当时，不等式的解集为．因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素．当时，，要使中只有一个元素，则，解得，不满足，舍去．当时，，要使中只有一个元素，则，解得，不满足，舍去．因此，不存在这样的值．21．设集合，，，，，．如果集合满足：对任意，，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”．（1）判断集合，2，与，2，是否为“单封集”，请直接写出结论．（2）若，，是“单封集”，且，，求．（3