2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．已知的终边过点，则的值是．2．已知复数满足，则．3．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为．4．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是．5．已知向量满足，则．6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有条．7．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是．（填写正确的序号）①，0，；②，1，；③，0，；④，1，．8．已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为．9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，，则的最小值为．10．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围为．11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且△是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为．12．已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为．二、选择题（本大题共4题，满分16分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）13．若，是正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．15．在直三棱柱中，，，，是棱上的一点，则△的周长的最小值为（）A． B． C． D．16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个是严格增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，，求点到平面的距离．19．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．20．（18分）如图在四面体中，△是边长为2的等边三角形，△为直角三角形，其中为直角顶点，，、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．（1）求证：平面；（2）试探究当二面角的大小从增加到的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；（3）设，且△是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？21．（18分）已知是定义域为的函数，集合，若对任意，，，均有，则称是关联．（1）判断函数、是否是，关联，并说明理由；（2）若是关联，当，时，，求解不等式的解集；（3）判断“是关联”是“是，关联”的什么条件，并说明理由．

参考答案一、填空题1．已知的终边过点，则的值是．解：设的终边过点，则到坐标原点的距离，由任意角的三角函数定义，故答案为：．2．已知复数满足，则2．解：复数满足，故．故答案为：2．3．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为．解：设截面圆的半径，则，解得，所以截面圆的面积为．故答案为：．4．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是．解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，，，，圆锥的侧面展开图弧长，．故答案为：．5．已知向量满足，则1．解：因为，且，所以，即，解得．故答案为：1．6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有3条．解：如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的有：，，，共3条．故答案为：3．7．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是②④．（填写正确的序号）①，0，；②，1，；③，0，；④，1，．解：由题意知这三个向量，，共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底．对于①，由空间直角坐标系易知，0，，，0，，，0，三个向量共面，则当，0，，，0，，无法推出，0，，故①错误；对于②，由空间直角坐标系易知，0，，，0，，，1，三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由，0，，，1，，能推出，0，，故②正确；对于③，由空间直角坐标系易知，0，，，0，，，0，三个向量共面，则当，0，，，0，，无法推出，0，，故③错误；对于④，已知，0，，若，1，不是，0，的充分条件，则，，三个向量共面，即存在不全为0的实数，，使得，所以，，，0，，即，解得，与存在不全为0的实数，，使得矛盾，所以，，不共面，所以由，0，，，1，能推出，0，，故④正确．故答案为：②④．8．已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为，，．解：由图象单调性可得在，，大于0，在上小于0，在，，大于0，在上小于0，的解集为，，．故答案为：，，．9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，，则的最小值为．解：公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，，又，当时，，，，解得，，，令得，，，当时，，，不符合题意，故答案为：．10．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围为．解：根据，可得，当，时，，由题意，对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，所以，解得，即．故答案为：．11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且△是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为．解：不妨设菱形的边长为2，与的交点为，由题意可得△、△与△都是边长为2的等边三角形，，，，，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，故点到平面的距离为，设直线与平面所成的角为，，平面，平面，平面，到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，则，此时，，，，则△的边上的高为，，而，，故的取值范围为．故答案为：．12．已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为．解：过作于，过作交于，所以为二面角的平面角，所以，因为，令，所以，令，因为，，所以，，所以△中，，即，所以，所以△中，，，，所以；过作于，因为，所以与夹角为二面角的平面角，设其为，因为，，所以，所以．即二面角的余弦值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，满分16分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）13．若，是正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：，是正数，，当时，，当时，，当时，，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．14．已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．解：直三棱柱的所有棱长均为1，以为坐标原点，在平面内过作的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，1，，，，，，，，设直线与直线夹角为，则直线与直线夹角的余弦值为：．故选：．15．在直三棱柱中，，，，是棱上的一点，则△的周长的最小值为（）A． B． C． D．解：由题意可得，将三棱柱的侧面展开如图所示，当，，三点共线时，△的周长的最小，此时，即△的周长的最小值为，故选：．16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个是严格增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题解：因为，所以，又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的大小．【解答】（1）证明：因为底面，底面，所以，由底面为正方形，知，又，、平面，所以直线平面．（2）解：由题意知，，，两两互相垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，2，，，2，，所以，2，，，0，，，2，，设平面的法向量为，，，则，取，则，所以，1，，设直线与平面所成角为，则，，所以，故直线与平面所成角的大小为．18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，，求点到平面的距离．【解答】（1）证明：连接交于，连接，在直三棱柱中，有，为的中点，，，，，平面，平面，平面；（2）解：，，易得，，，在中，，，，又，设点到平面的距离为．由，，解得，点到平面的距离为．19．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．解：（1）如图所示，，又，所以，即三棱柱的高，又棱柱底面积，所以三棱柱容器的体积，即所求函数关系式为，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值为32，即，且的最大值为；（2）减掉的三个四边形材料面积之和为，则，解得：，因为正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为，又该正三棱柱的高为若金属球体的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，所以球的半径，该金属球体的最大体积．20．（18分）如图在四面体中，△是边长为2的等边三角形，△为直角三角形，其中为直角顶点，，、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．（1）求证：平面；（2）试探究当二面角的大小从增加到的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；（3）设，且△是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？解：（1）证明：四边形为平行四边形，．而面，面，面．而面，面面，，而面，面，面；（2），在平面上的投影满足，即在平面上的投影在线段的中垂线上，如图所示，将△补成边长为2的正三角形，当二面角为角时，即点在平面上，此时为，当二面角为角时，此时为中点，故在平面上的投影所扫过的平面区域为△，而，故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为；（3），，且△为等腰三角形，，取中点，由题意得：，，，满足，根据勾股定理可知，平面，，而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半，连接、，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，，，设点到平面的距离为，，，，，整理得，解得舍去）．21．（18分）已知是定义域为的函数，集合，若对任意，，，均有，则称是关联．（1）判断函数、是否是，关联，并说明理由；（2）若是关联，当，时，，求解不等式的解集；（3）判断“是关联”是“是，关联”的什么条件，并说明理由．解：（1）函数是，关联，理由如下：任取，，若，，则，，，即，，所以函数是，关联；函数不是，关联，理由如下：若，