2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）.1．已知集合，1，，，2，3，，则．2．陈述句“或”的否定形式是．3．若，，化简．4．已知正实数、满足，则的最大值为．5．已知函数的图象恒过定点．则定点的坐标为．6．已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为．7．已知恒成立，则．8．已知集合有且仅有两个子集，则实数．9．已知，，则用、的代数式表示．10．设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则．11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，3，，则集合的交叉数为．若集合，2，3，4，5，，则的所有非空子集的交叉数的总和为．12．对于任意两个正实数，，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则．二、选择题．（本大题共4小题，每小题3分，减分12分）13．若，则“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要14．设，，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则15．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（）A．6697 B．6698 C．6699 D．670016．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（）A． B． C． D．三、解答题：（第17-18题每题8分，第19-20题每题12分，第21题14分，共52分）17．已知集合为不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求实数的取值范围．18．已知，关于的不等式的解集为．（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围．19．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：，则经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位）（2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？20．已知、是关于的一元二次方程的两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）若，求整数的值．21．如果正整数集的子集，，，满足：①；②任意，存在，，使得，则称为集．（1）分别判断，3，与，2，3，是否为集（直接写出结论）；（2）当时，对于集，，，，设，求证：；（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．

参考答案一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）.1．已知集合，1，，，2，3，，则，．解：集合，1，，，2，3，，，．故答案为：，．2．陈述句“或”的否定形式是且．解：命题为全称命题，则“或”的否定形式为且，故答案为：且．3．若，，化简．解：，故答案为：．4．已知正实数、满足，则的最大值为．解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．故答案为：．5．已知函数的图象恒过定点．则定点的坐标为．解：函数的图象恒过定点，由，得，此时，定点的坐标为．故答案为：．6．已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为2．解：是幂函数，，解得或，当时，在上是减函数，满足题意．当时，在上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．7．已知恒成立，则7．解：原式转化为：恒成立，则，解得，所以．故答案为：7．8．已知集合有且仅有两个子集，则实数1或．解：若恰有两个子集，所以关于的方程恰有一个实数解，①当时，，满足题意；②当时，△，所以，综上所述，或．故答案为：1或．9．已知，，则用、的代数式表示．解：，．故答案为：．10．设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则．解：由，可得或，所以或，当时，，可得，当时，，可得，因此有，当，时，；当，时，．故答案为：．11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，3，，则集合的交叉数为．若集合，2，3，4，5，，则的所有非空子集的交叉数的总和为96．解：由题意可知，元素1，2，3，4，5，6在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的，它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次，则这些和的总和是：．故答案为：96．12．对于任意两个正实数，，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则．解：由与都是集合的元素，不妨设，，，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以，所以，，则，因为，所以，．故答案为：．二、选择题．（本大题共4小题，每小题3分，减分12分）13．若，则“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要解：若，则，若，则，所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．14．设，，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则解：对于，若，，取，，，，可得，故不正确；对于，若，则，故不正确；对于，若，，取，，，，则，故不正确；对于，若，则，所以，故正确．故选：．15．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（）A．6697 B．6698 C．6699 D．6700解：设，所以，因为，所以，所以，，所以的位数为6699．故选：．16．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（）A． B． C． D．解：关于的不等式即，，的解集中的整数恰有3个，，不等式的解集为，所以解集里的整数是，，0三个．，，，，，，综上，，故选：．三、解答题：（第17-18题每题8分，第19-20题每题12分，第21题14分，共52分）17．已知集合为不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求实数的取值范围．解：（1）原不等式等价于，即，解得；（2），若，则，，解得实数的取值范围是，．18．已知，关于的不等式的解集为．（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）已知关于的不等式，若时，则，即，则，则；（2）若，即关于的不等式恒成立，若时，即或，当时，，不恒成立；当时，恒成立；若时，则，则或，综上，的取值范围为，．19．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：，则经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位）（2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？解：（1）根据温度满足，把，，，，代入上式，得，解得，设经过分钟，这杯茶水由降温至，即，解得，所以欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要8分钟．（2）设平均每一万套所需的成本费用为万元，则，当且仅当，即时取等号，所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元．20．已知、是关于的一元二次方程的两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）若，求整数的值．解：（1）因为—元二次方程有两个实数根，可得，解得，即实数的取值范围为；（2）假设存在实数，使成立，由一元二次方程可得：，，因为，解得，而，所以不存在实数，使成立；（3）因为，要使其值是整数，，只需能被4整除即可，故，，，而，所以使的值为整数的实数的整数值为，，．21．如果正整数集的子集，，，满足：①；②任意，存在，，使得，则称为集．（1）分别判断，3，与，2，3，是否为集（直接写出结论）；（2）当时，对于集，，，，设，求证：；（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．解：（1），3，不是集，，2，3，是集；因为的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以不是集，由于，，，符合集定义，所以是集；（2）证明：因为，，，是集，且，因为是集合中最大的元素，且，所以，，