2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分42分）.1．若，则是第象限角．（填“一”“二”“三”或“四”）2．设是虚数单位，则复数的虚部为．3．半径为2，圆心角为的扇形的面积为．4．已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为．5．已知数列的通项公式为，则数列是严格数列．（填“增”或“减”）6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为．7．在等比数列中，，，则．8．已知，则．9．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为．10．在△中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为．11．若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是．12．已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．14．若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．已知，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．有以下两个结论：①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；②若数列、均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．则以下选项正确的是（）A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知点，，，．若，，三点共线，求的值．18．已知复数，其中是正实数，是虚数单位．（1）如果，求实数的值；（2）如果，是关于的方程的一个复根，求，的值．19．在数列中，，，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求．20．如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和．（1）若一根长为的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过点且与两墙分别交于，两点（如图，其中点，分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且，．为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法．方法1：设，得到关于的函数：方法2：设，得到关于的函数；请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最大值．（2）若直角走廊的宽度均设计为（如图，现有矩形平板车，宽为1，长为（车高忽略），平板车可以灵活转动，并过点且与两墙分别交于，两点．为了求能通过该直角走廊的平板车长的最大值，请自行引入一个变量，并求出关于该变量的函数．（只求函数，不用求函数最值）．21．已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质．（1）判断，是否具有性质，并说明理由；（2）已知具有性质，且不恒为0．设，．证明：若为有限集，则中的元素个数为偶数．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1．若，则是第三象限角．（填“一”“二”“三”或“四”解：，则是第三象限角．故答案为：三．2．设是虚数单位，则复数的虚部为3．解：复数的虚部为3．故答案为：3．3．半径为2，圆心角为的扇形的面积为．解：，，．故答案为：．4．已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为2．解：满足函数的简谐振动的振幅为2．故答案为：2．5．已知数列的通项公式为，则数列是严格增数列．（填“增”或“减”解：根据题意，数列的通项公式为，则，由且，可得，因此，所以，即对所有满足条件的恒成立，因此数列是严格增数列．故答案为：增．6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为．解：已知向量，，得，，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：．7．在等比数列中，，，则．解：等比数列中，，，可得，故，，故，可得．故答案为：．8．已知，则．解：由，得，即，解得：．故答案为：．9．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为3．解：，故复数的几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆，其中，几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，则的最大值为圆心到点的距离加上半径，即．故答案为：3．10．在△中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为．解：在△中，由正弦定理得，即，化简得，三角形有两解，说明存在两个不同的取值，其中一个是锐角，另一个是钝角，结合，可知满足，因此，要使有两解，需满足，即，解得，可得的取值范围为．因此，的取值范围是．11．若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是，．解：令，，，代入区间端点得．等价于，满足该式的解为，在，内的解从大到小依次为，区间内需恰好存在2个解，即区间包含，不包含，故．两边同除以并反向不等号：，，所以的取值范围是，．故答案为：，．12．已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为．解：因为，则，，因为，与的夹角为，令，，，，则，所以，整理得，，令，则有正实数根，所以△，解得，因为，则，此时取得最小值．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．解：选项的最小正周期为，不符．选项．的最小正周期为，但当时，，在上单调递增，因此在区间内单调递增，不符．选项．，周期，不符合．选项．，是将轴下方部分翻折到上方，最小正周期为．当时，，在上单调递减，因此在区间内单调递减，符合．故选：．14．若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：，则在复平面内对应的点位于第一象限．故选：．15．已知，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：．16．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．有以下两个结论：①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；②若数列、均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．则以下选项正确的是（）A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题解：对于命题①，因为的各项均为正数，所以，，又，当时，，任取即可，所以为有界变差数列，当时，，若，则，令即可，所以为有界变差数列，若，则，当时，，显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列，综上，的取值范围是，，故命题①是假命题；对于命题②，因为，因为，所以，所以，又数列，为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有，又，所以，故命题②是真命题，综上，①是假命题，②是真命题．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知点，，，．若，，三点共线，求的值．解：设，由点，，，可得，，因为，所以，，，，所以，故，因为，，三点共线，所以，故，即，故，解得．18．已知复数，其中是正实数，是虚数单位．（1）如果，求实数的值；（2）如果，是关于的方程的一个复根，求，的值．解：（1）复数，则，，所以，因为是正实数，所以．（2）当时，，化简．因为是方程的根．则，化简整理可得，．所以，解得．19．在数列中，，，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求．解：（1）证明：因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，即；（2）由（1）知，所以．20．如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和．（1）若一根长为的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过点且与两墙分别交于，两点（如图，其中点，分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且，．为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法．方法1：设，得到关于的函数：方法2：设，得到关于的函数；请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最大值．（2）若直角走廊的宽度均设计为（如图，现有矩形平板车，宽为1，长为（车高忽略），平板车可以灵活转动，并过点且与两墙分别交于，两点．为了求能通过该直角走廊的平板车长的最大值，请自行引入一个变量，并求出关于该变量的函数．（只求函数，不用求函数最值）．解：（1）如图，如图所示，做，；方法1：由于，，，那么，可知；根据图可知△△，那么，解得；那么，因此；铁棒的最大长度是函数的最小值；方法2：设，那么，，那么；铁棒的最大长度是函数的最小值；（2）如图，设与底边夹角为，，根据图可知，，那么，，；，，；那么，故．21．已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质．（1）判断，是否具有性质，并说明理由；（2）已知具有性质，且不恒为0．设，．证明：